Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости.djvu), страница 8

Здесь иаы достзточио записать средисс зиачспис 5 в виде 5 — — 5 -, '5,Т,, где 5с представляет собой постояипую составляющую 5, а 5г — коэффициент (ьчевидио, что 5~ ис есть зпа некие 5 в точке Р). Паличие Ти в (2,16) отражает тот факт, по при записи срсдиего зизчеиия 5 мы предполагали, что зиачсиис Тр распрострапястся па весь коптрольиый обьсм, друшщи словами, использовался покззаииый иа рис.

3 з,а ступсичатый профиль (следует заметить, ~то мои.по использовать ступенчатый профиль для 5 и кусочио-пикейный для члсиа г(Тгг(х). Х(искрстпытг зла тог зравпсяия тсплопроводпости с липеарязовзппым всточипковым члсиом будет иметь такой же вид, как в (2.13), по с др)тими выражеииямп для коэффицисптов: артр — — асТс+ аггТш+ Ь, (2.17) где аа = йе((ЬХ)е! а!Р .— — !гм/(ЬХ)м! а, = ар+ агг — 5рбх! Ь = 5сбх. (2.18) Теперь моэкио сформулировать осиопиыс правила, которым должпы подчиняться дискретиые аналоги урзвиеиий для обеспечения физичг1остп рсшсиия и сохраиеиия полпого баланов, Эзи кажущиеся простыми правила имеют глубокий смысл, и мы иа протяжении веси кииги будем руководствовзться ими при разработке методов 2.2, ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ 32 Правило 1.

Соответствие потоков на границах контрольного объема. Выражение потока через границу, общую для двух прплегаюгцих контрольных обьемов, при записи дискретных аналогов уравнения для этих объемон должно быть одним и тем же. Обсуждение. Очевидно, что тепловой поток, покидающий один контрольный объем через его границу, должен быть равен потоку, входящему через эту границу в соседний контрольный объем. В противном случае пе будет сохраняться полный баланс теплоты.

Хотя это требование и легко понять, надо следить, чтобы не было даже небольших его нарушений. Для изображенного па рис. 2.2 контрольного объема можно было рассчитать тепловые потоки ИТ(г(х на границе по квадратичному профилю, проходящему через Тпэ Тр и ьТ.-При использовании аппроксимации такого же типа для следующего контрольного объема градиент с(Т/с(х на общей границе окажется рассчитанным по различным профилям в зависимости от того, какой из контрольных объемов рассматривается.

Получающееся несоответствие ' ЙТ(г(х (и, следовательно, теплового потока) показано на рис. 2.5. К несоответствию потоков может привести также предположение о том, что все потоки на границах данного контрольного об.ьема описываются с помощью значения коэффициента теплопроводности в центральной точке (еп. Тогда тепловой поток на границе е (показаниой на рис. 2.2) будет выражен через кп(Тн— — Тн)у(б„), для окружающего точку Р контрольного объема и через кн(Тн — Тн)~(бх), при записи разностного аналога для контрольного объема с точкой Е в центре.

Чтобы избежать таких несоответствий, полезно помнить, что поток на границе рассматривается сам т Ф по себе, а не как принадлежащий определенному контрольному объему. Правило 2. Положительность коэф- I Фициентов. В большинстве из интере- 2 сующих нас задач влияние значений зависимой переменной в точках, соседних с некоторой узловой, на зна- и и б бб чение в этой узловой точке обусловлено процессами конвекции и диффузии. Следовательно, увеличение значения в одной узловой точке должно, при прочих равных условиях, привести к увеличению (а не уменьшению) значения в соседней узловой точке.

Тогда, как видно из уравнения (2.13), из увеличения Тн при увеличении Тн следует, что коэффициенты ан и ап должны иметь одинаковый знак. Другими словами, в общем случае, описываемом уравнением (2.15), знаки коэффициентов перед значениями зависимой переменной в соседних точках аьь и коэффициента перед ее значением в центральной точке ан должны быть одинаковыми.

Можно, конечно, выбрать их так, чтобы они все были положительными или отрицательными. Договоримся записывать разностный аналог с положительными коэффициентами. Тогда правило 2 можно сформулировать следующим образом: все коэффициенты (ар и а„ь) всегда должны быть положительными. Комментарии. Из определения коэффициентов (2.14) видно,что иллюстрация дискретизации уравнения теплопроводности [см. ' Лля границ, расположенных посередиве между узловыми точками, показанный пз рис.

2.5 тип квадратичного профиля не приводит к какому. либо несоответствию Это вызвано тем, что угол наклона касательной к параболе в точке, лежащей посередине между двумя узловыми, в точности равен углу наклоня прямой ливии, соединяющей значения зависимой переменной в этих точках. Однзко это свойство параболы следует рассматривать кзк случайное, и в общем случае следует избегать изменения выражений на границах между узлами при переходе от одного контрольного объема к другому. 2 ззю зм 33 (2.13) ) действительно удовлетворяет правилу и ьложительностк коэффициентов. Однако, как будет показано позднее, имеются многочисленные аппроксимации, в которых данное правило часто.

нарушается. Обычно следствием этого является физически неправдоподобное решение. Наличие отрицательного «соседнего» коэффициента может привести к ситуации, в которой увеличение температуры на границе вызывает уменьшение температуры в ближайшей узловой точке. Нас будут устраивать только те аппроксимации, которые при всех оостоятельствах гарантируют положительность коэффициентов. Правило 3. Отрицательность коэффициента при линеаризацни. источникового члена. Из определений коэффициентов (2.18) видно, что коэффициент ар может стать отрицательным за счет 5р.

Это~о можно полностью избежать, потребовав, чтобы 5р не был положительным. Сформулируем теперь правило 3 в следующем виде: при линеаризации источникового члена в виде 5=5с+5рТр коэффициент 5рвсегда должен быть отрицателен или равен нулю. Замечания. Правило 3 не настолько произвольно, как оно звучит. На самом деле для большинства физических процессов угол наклона касательной к кривой, описывающей источниковый член как функцию зависимой переменной, отрицателен. Действительно, если бы 5р был положительным, физический процесс мог бы стать неустойчивым. Г1оложительпость 5, свидетельствует о росте источникового члена при увеличении Тр, а это, в свою очередь, может привести, если нет эффектинного механизма отвода теплоты, к возрастанию Тр и т. д.

С вычислительной точки зрения вс избежание неустойчивостей и физически нереальных решений целесообразно сохранять 5р отрицательным. Дальнейшее обсуждение линеаризации источникового члена проведено в следующей главе. Следует отметить, что принцип отрицательности 5р существен для счета. Правило 4. Сумма соседних коэффициентов.

Часто в рассматриваемое уравнение входят только производные зависимой переменной. При этом функции Т и Т+с (Т вЂ” зависимая переменная данного уравнения, с — произвольная постоянная) удовлетворяют дифференциальному уравнению.

Это свойство дифференциального уравнения также должно отразиться в его дискретном аналоге. Следовательно, уравнение (2.18) должно быть удовлетворено и в случае, если Тр и все Т„ь увеличить па постоянную. Из этого требования следует равенство ар сумме соседних коэффициентов. Таким образом, правило 4 можно сформулировать в виде: для случаев, когда дифференциальное уравнение удовлетворяется также при добавлении к зависимой переменной постоянной величины, необходимо, чтобы пр = Х пкь. (2.!9) Обсуждение. Легко видеть, что уравнение (2.13) действительно удовлетворяет этому правилу. Оно означает, что значение в средней точке Тр является средневзвешенным значений в соседних точ- ках Тнь.

В отличие от коэффициентов в (2.13) коэффициенты уравнения (2.17) пе подчиняются данному правилу. Однако для этого случая правило неприменимо. Если источниковый член зависит от Т, то сумма Т+с не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Однако даже в этих случаях правило 4 не следует забывать, так как его можно применять при рассмотрении частного случая уравнения. Если, например, положить в (2.17) 5„=0, правило можно применить и оно дейстнительно выполняется. Если дифференциальному уравнению удовлетворя1от как Т, так и Т+с, искомое температурное поле не становится неоднозначным или неопределенным.

Значения Т можно сделать определенными с помощью соответствующих граничных условий. Выполнение правила 4 гарантирует, что, например, при увеличении температуры границы на постоянное значение все температуры увеличатся точно на это же значение. Можно взглянуть на правило 4 с другой стороны: при отсутствии источника и равенстне температур в соседних точках температура в центре 7'и должна иметь такое же значение.

В этих условиях только плохая аппроксимация не дает Тг=Тьь, 2М. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящей главе были сделаны некоторые основополагающие выводы о характере развиваемого в данной книге метода дискре.тизации. На простом примере сформулированы четзяре основных правила, определяющих основные принципы, которые лежат в основе дальнейшего анализа. Для удобства в качестве зависимой переменной использовалась температура Т. Ниже в гл. 3 также будет использоваться переменная Т, а затем, начиная с гл. 4, мы перейдем к обобщенной переменной Ф.

Конечно, все правила этой главы применимы п для переменной Ф. Конвективный член в обобщенном дифференциальном уравнении (1.13) требует специального рассмотрения. Этот нопрос проанализирован в гл. 4. Остальные трн члена уравнения (1.13) рассмотрены в гл. 3 на примере задачи теплопронодности. ЗАДАЧИ 2.1. Путем разложения в ряд Тэйлора около точки Р (см. рис. 2.2) покажите, что конечно-разностная аппроксимация второй производной г('Т)г(хэ имеет вид гРТ 2 ( Тн — ТР Тр — Ти, дхз (бх), + (бх).

( (бх), (бх),„! 2.2, С помощью метода вазе~пенных невязок получите дискретный аналог уравнения (2 1О). Используйте следующий код построения, предполагая для простоты постоянстно й и 5. Пусть весовая функция (Р'=0 везде, кроме интервала между точками )Р и Е (см. рис. 2.2). Предположим, что весовая фуцкцяя кусочно-линейна и равна единице в точке Р и нулю в точках )Р и Е. Умножим уравнение (2.10) ва весовую функцию и проинтегрируем на интервале от )Р .ло Е.