Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости.djvu), страница 12

Действительно, для того чтобы этот коэффициент был положительным, шаг по времени должен быть достаточно малым, т. е. аг')ав+ап Для постоянного коэффициента теплопроводности и Лх= (бх),= (бх),ч это условие запишется в виде (3.39) Л( < рс (Лх)'/2й. Если это условие нарушается, то могут возникнуть физически неправдоподобные результаты, так как из отрицательности коэффициента следует, что увеличение Тга приводит к уменьшению Те ,Уравнение (3.39) является хорошо известным критерием устойчивости явной схемы.

Следует заметить, что этот результат можно получить из физических соображений, основанных на одном из четырех основных правил. Особенностью условия (3.39) является то, что уменьшение Лх для улучшения точности аппроксимации по пространственной координате вынуждает использовать намного меньшие Лй Обычно схема Кранка — Николсона считается безусловно устойчивой. Иногда это объясняют исходя из того, что физически реальное решение будет получаться независимо от значения шага по времени. Однако в этом случае могут иметь место колеблющиеся решения. Устойчивость в математическом смысле просто гарантирует, что эти колебания будут, в конечном счете, затухать, но это не обеспечивает физически правдоподобного решения. Несколько примеров подобных решений, полученных с помощью схемы Кранка — Николсона, можно найти в (451. В рамках нашей модели такое поведение легко объясняется.

Для /=0,5 коэффициент при Т„' в уравнении (3.36) становится равным а,Р— (ав+а„,)/2. Для постоянного коэффициента теплопроводности и равномерной сетки этот коэффициент, как видно, равен рсЛх/Л/ — я/Лх. Когда шаг по времени недостаточно мал, этот коэффициент может становиться отрицательным, что делает возможным физически неправдоподобный результат. По-видимому, приемлемый линейный профиль на рис. 3.5 является хорошим представлением температурно-временной зависимости только для малых временных интервалов.

В пределах больших интервалов по существу экспоненциальное уменьшение температуры аналогично резкому снижению профиля в начале с последующим плоским концом. Допущения, сделанные для полностью неявной схемы, в этом случае ближе к действительности, чем линейный :50 где й„, пах а~ = (бх)д, ' р Л) (3,41) ар = ав + а, + а' — Зрбх. Ьх ав= (бх),' Ь =- ЗсЛх + а ' Т",; Видно, что при ЛТ вЂ” сс это уравнение приводится к стационарному дискретному аналогу.

Основным принципом полностью неявной схемы является то, что в пределах всего шага по времени температура принимается равной новому значению Тр. Таким образом, если коэффициент теплопроводности Йр зависит от температуры, он должен пере- считываться через Тр в итерационном процессе точно так же как и при решении стационарной задачи. Другие моменты процедуры решения стационарной задачи, такие, как аппрсжснмацня граничных условий, линеаризация источникового члена, ТРМЛ и др, в равной степени применимы к нестацнонарной задаче.

Детальное рассмотрение одномерной задачи дает набор приемов для перехода к двум и трем измерениям. 3.4. ДВУХ- И ТРЕХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ Дискретный аналог для двух измерений. Часть двухмерной сетки показана на рис. З.б. Для узловой точки Р соседние точки )Уг и Е расположены по направлению оси х, точки Л' и Е (обозначающие север н юг) — по направлению оси Гь Контрольный объем, окружающий точку Р, показан штриховыми линиями. Глубина профиль, используемый в схеме Кранка — Николсона, особенно для больших временных шагов. Если потребовать, чтобы коэффициент при Т~э в уравнениьг (З.Зб) не был отрицательным, то только постоянная величина )=-1 обеспечит это условие (конечно, это не имеет смысла для ()1).

Таким образом, полностью неявная схема ()=-1) удовлетворяет требованиям простоты и физически обоснованного поведения.. Именно по этой причине будем рассматривать в этой книге полностью неявную схему. Следует признать, что для малых шагов по времени полностью неявная схема не так точна, как схема Кранка — Николсона. Причина этого видна из рис.

3,5; температурно-временная кривая близка к линейной для малых временных интервалов. Имеется схема„ в которой используются достоинства обеих схем н не содержатся их недостатки — это эяспоненциальная схема, описанная в (45). Эта схема, однако, несколько сложна, поэтому не рассматривается в настоящей книге. Полностью неявный дискретный аналог. Запишем уравнение (3.36) в полностью неявном виде.

Для этого введем линеаризованный источннковый член, который примем уменьшающимся во времени. В результате получим арТр —— а Т.+а, Т,. + Ь, (3.40) объема в направлении оси г предполагается равной единице. Обозначения, введенные на рис, 2.2 для расстояний и ш Р е б Лх, (бх), и т. д., РаспРостРанЯютсЯ здесь на два измерения. Вопрос расположения ч граней контрольного объема по отноше- Б нню к узловым точкам остается все еще открытым.

Расположить их точно носе- '1 редине между соседнимн точками можно, но можно применить и другие спор к собы, некоторые из них будут рассмотрены ниже. Полученный здесь дискретооггтуоньнмйг объ ный аналог можно будет использовать в ем (загятрнхованная область) ляя двухмерного любом подобном случае. случая Выше было показано, как рассчитать тепловой поток на грани контрольного объема между точками Р н Е. Предположим, что полученное таким образом значение дя распространено на всю поверхность площадью ЛуХ 1.

Интенсивность переноса теплоты через другие поверхности контрольного объема можно определить подобным образом. В этом случае дифференциальное уравнение рс — = — ~/е — )+ — Р— к) + 5 дт д т дт х д г дт х (3.42) дт дх ~ дхУ ду~ дук) можно быстро привести к дискретному аналогу арТр= а Те+а, Тн +а'Ттт+а Тз+Ь, (343) где = /е,Лу/(6~),; а = /е Лу/(бх); а = я,Лх/(6у),; ар = рсЛхЛу/Л/; ар = ав+ а, +ам+ аз+ар — БрЛхЛу. а„= /евЛх/(бу)„; Ь = ЯсЛхЛу+аоТо; (3.44) Произведение ЛхЛу представляет собой контрольный объем.

Дискретный аналог для трех измерений. Для построения трехмерной конфигурации добавим еще точки Т и В (вверх и вниз) на оси г. Дискретный аналог имеет вид а Тр=-а Те+а, Т, +амТм+азТз+атТт+ вТв+ Ь, (3.45) тде /4ЛуЛг/(бх); а, = /ен,ЛуЛг/(бх); ЬЛгЛх/(бу); а = /т ЛгЛх/(бу),; /г,ЛхЛу/(бг),; ав — йвЛхЛу/(бг)„; рсЛхЛуЛг/Л/; Ь = ЗсЛхЛуЛг+ арТзр, а + а +а,+а +а +а +аор — ЯрЛхЛУЛг (3.46) а т о ар= а р Здесь интересно остановиться на физическом смысле коэффнхгиентов дискретного аналога.

Находящиеся рядом коэффнпненты аь аи, ая, ..., ав представляют собой проводимости между точкои Р и соответствующими ей соседними точками. Член аг0Т,Р— внутренняя энергия (отнесенная к М), содержащаяся в контрольном объеме в момент П Постоянный член Ь состоит из этой внутренней энергии и мощности тепловыделения в контрольном объеме, яв.ляющегося результатом действия источника $с, Коэффициент а„ в центральной точке представляет собой сумму всех соседних коэффициентов (вклиочая аг", который является коэффицентом в соседнеи по времени точке) и содержит вклад от линеаризованного источникового члена.

Рещение алгебраических уравнений. Следует отметить, что, создавая дискретные аналоги, мы получали их в линейной форме, хотя и не предполагали, что для их решения должен быть использован особый метод. Таким образом, на этой стадии можно использовать любой подходящий метод решения. Полезно рассматривать получение уравнений н их решение как две отдельные операции„и нет необходимости учитывать влияние одной из них на другую. До сих пор мы получали многомерные дискретные аналоги с помощью прямого распространения результатов, полученных при рассмотрении одномерной задачи. Единственной процедурой, которая не может быть непосредственно распространена на многомерную задачу, является алгоритм, учитывающий трехдиагональность матрицы коэффициентов.

Прямгяе методы решения алгебраических уравнений (не требующие итераций), применяемые к двух- или трехмерным задачам, становятся более сложными и требуют существенно большей машинной памяти и затрат вычислительного времени. Для линейных задач, в которых необходимо только один раз обратиться к,процедуре решения алгебраических уравнений, можно использовать прямые методы, но в нелинейных задачах уравнения решаются с неоднократно подправленными коэффициентами, поэтому применение прямых методов представляется неэкономичным.