Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости.djvu), страница 31

Самая главная трудность связана с аппроксимацией конвектив»ых членов. Прямое применение обычного конечно-элементного метода дает аппроксимацию, во многом подобную центрально.раэностпой схеме; но мы хорошо знаем, что такая аппроксимация мончет в ряде случаев привести к физически неправдоподобным результатам. Необходимо получить аппроксимацию, подобную схеме против потока или экспоненцнальпой схеме, но непонятно, как это можно сделать для нерегулярных сеток.

2. Использование сеток с узловымн точками, расположенными в шахматном порядке 1сьь $ Г>3), оказалось возможным вследствие того, гго сеточные линии были напранлспы параллельно осям координат и можно было соответствующим образом сместить в этих направлениях составляющие скорости. В случае треугольной сетки также надо сделать что-то подобное; если бы все переменные рассчитывались в одних и тех же узловых точках, обязательно возннклн бы трудности, аналогичные рассмотренным в б 5.2, 3. В большинстве из опубликовашьях работ, в которых метод конечных элементов применен к расчету задач гипродинамики для получения полей компонент скорости и давления, используется прямое одновременное решение уравнения неразрывности и всех уравнений количества движенпя.

Так кзк прямое решение очень трудоемко, требуется сформулировать метод последовательного решения 1тнпа процедуры 3)МР) Е) этих уравнений. 4. Для большинства исследователей, работающих в области гидродинамики и теплообмена, конечно-элементный метод все еше кажется окутанным покровом таинственности. Вариационная формулировка и данса метод Галеркина не поддаются простой физической интерпретации.

В соответствии с духом этой книги было бы весьма желательно разработать вариант метода конечных элементов, который бы сделал действительно понятным физический смысл дискретных аналогов исходных уравнений. Метод конечных элементов иа основе интегрирования по контрольному объему. В недавних работах 14, б) указанные выше трудности успешно преодолены и сформулирован конечно. элементный метод, тесно связанный с описанным в этой книге методом днскретвзацив. Рассматривалась двухмерная задача, но это делалось таким образом, чтобы иметь возможность распространить полученные результаты на трехмерный случай без дальнейших усовершенствований. Ниже следует краткое описание наиболее существенных особенностей предложенного метода. 1. В случае треугольной сетки значения зависимых переменных определены в узловых точках, лежащих в вершинах треугольников.

Дискретные аналоги строятся с помощью метода контрольного объема, т. е. дифференциальное уравнение интегрируется по показанному на рнс. 7.2 типичному контрольному объему. Контрольные объемы образуются линиями, соединяющими центры масс каждого треугольника с серединамн его сторон. Такая конструкция б>ыла ранее г>редломгена в 182). Из рис. 7.2 видно, что контрольный объем составлен нз частей треугольных элементов с вершиной в точке Р. Внутри этих же элементов лежат соответст- 13! вующие грани контрольного объема. Дискретный аналог находится путем споловиня вкладов от этих элементов в интегральный баланс для контрольного объема. 2, Для расчета потоков, попадающих внутрь элемента через грани контрольного объема, нужны функции формы, описывающие изменение Ф на элементе.

Обычная функция формы для треугольного элемента имеет внд Ф= а+Ьх+ су, (7.1) где постоянные а, Ь, с выражаются через значения Ф в трех узловых точках. Для задач с копаекцисй и диффузной использование этой фуокцни приведет к /~ / ~/ ч х огиф Рнс. 7.3 й(акротрсзтольники и малые трстгольники: Рве. 7.2. Контрольный объем (заштрпхован) в треугольной сетке о — места определения р, и, о, Ф; к — места определения и, о.

Ф результатам, во многом аналогичным результатам, даваемым центрально-раз. постной схемой метода конечных разностей. Так как при больших числах Пекле эти результаты становятся физически неправдоподобными, применение функций (7.1) неприемлемо. Для прсодолсв этой трудности в (4) предложена слелующая функция формы: риХ Ф = Л+В ехр — + С)', Г (7.2) 132 где и — результирующая скорость в элементе; Х и у — коордвнаты, направленные соответственно вдоль направления результирующей скорости п по нормали к нему. Постоянные Л, В, С зависят от значений Ф в вершинах треугольника, После обсуждения в гл. 4 численного метода для задач совместной конвек. ции и диффузии причины использования в (7.2) экспоненты должны быть совершенно очевидпымп.

При малых числах Пекле функция (7.2) переходвт в зависимость (7.1), являющуюся подходящей функцией формы для решения задач теплопроводности Через (7.2) в конечно-элементный метод вносятся идеи экспоненциальиой схем ~ Фактически с помощью экспонепдиальной функции формы достигаются несколько болыпие результаты. В то время как в гл. 4 прп агпроксимации использовалось локально-одномерное представление, в зависимости (7.2) учитывается направление результирующей скорости. Вследствие этого при использовании основанного па (7.2) копечно-элсмсгмпого метода влияние фиктивной днффузни намного меньше, чем при аппроксимации, рассмотренной в гл.

4. 3. Идся, связанная с введением шахматной сетки, состоит в том, что рас~ет давления осуществляется на сетке, отличной от сетки, в узлах которой определяются все остальные переменные, Давление рассчитывается в >злах макротреугольников, обозначенных на рис. 7.3 кружками. Каждый макротреугольник делится на четыре меньших.

Эти малые треугольники образуют сетку для составляющих скорости и всех других переменных, за исключением давления. 4. Метод реализован в алгоритме последовательного решения типа процедуры 31МР[.ЕК. Уравнения для давления н поправки давления выводятся из уравнения неразрываости, записанного для контрольного объема, определяемого в соответствии с малыми треугольными элементами, Описанный здесь в общих чертах конечно-элементный метод, основанный на интегрировании по контрольному объему, еще сравнительно мало проверен и опробован; конечно, в него могут быть внесены многочисленные усовершенствования. Этот метод, однако, является логичным и эффективным расширением метода дискретизации на случай треугольных сеток. Глава 8 ,ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ В данной главе приведено несколько примеров использования рассмотренного в этой книге численного метода.

Метод был тцгательно проверен и апробирован и применялся для решения множества практических задач. В написанной вскоре после начала использования процедуры $!МРВЕ обзорной статье [41] приведены примеры использования метода. С тех пор в технической литературе появилось большое количество дополнительных приложений метода. Ниже дан неполный список этих публикаций Расчеты двухмерных эллиптических задач, включающих гидродинамику и теплообмен, осуществлены в [1, 20, 23, 35, 39, 40, 47, 48, 52, 60, 77, 79, 80].

В работе [27) приведена модификация основного метода расчета для случаев, когда в пределах одной расчетной области имеются области дозвукового н сверхзвукового течений. Турбулентное теченне химичес>ги реагирующего газа в двухмерных камерах сгорания было рассчитано в '[30[ Решение трехмерной эл. липтической задачи, включающей турбулентность,горение и излучение, получено в [56, 58). Трехмерные эллиптические задачи решались также в работах [10, 46, 57, 59]. Метод решения трехмерных параболичесвх задач применялся для исследования сложных практических проблем в [16, 36, 38, 49, 51, 53, 71).

Цель данной главы заключается в том, чтобы дать читателю представление о некоторых прилозкеннях, а не обсуждать все перечисленные исследования. Так как этой цслн лшзкно достичь с помощью нескольких примеров, достаточно выбрать нх из числа задач, решенных автором н его сотрудниками. Интересно отметить, что решения всех представлснных здесь задач были получены с помощью только трех программ расчета, имеющих многоцелевое назначение. Программы различаются только размерностью н параболическим илн эллиптическим характером рассчатриваелгых задач.

Эти три программы рассчитаны на решение соответственно: 1) двухмерных эллиптических, 2) трехмерных параболических н 3) трехмерных эллиптических задач. В каждой программе могут рассматриваться декартова алн цилвндрнческая системы координат. 133 Конечно, применение программы к конкретной задаче трубет выбора подходящих математических моделей для соответствующих физических процессов [таких, как турбулентность или химическая реакция) и определения конкретных условий задачи [такнх, как геометрия, свойства жидкости н граничные условия).

Хотя такая адаптация часто требует значительных усилий, все-такн использование многоцелевых программ расчета очень удобно В трех нз восьми приведенных здесь примеров [см. 6 8.4 — 8.6) рассматривается турбулентное течение В 6 8.5 и 8.6 используется широко распространенная й — е-модель турбулентности [34], а в й 8И применяется один из вариантов модели, основанной на ионцепции длины пути смешения, В рассмотренной в 3 8.8 задаче исследования теплогидравлнческих характеристик парогенератора для описания течения через пучок труб используется концепция распределенных сопротивлений.