Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике.djvu)

В. Ф. ДьЯченКО Десять лекций по изической математике ББК В19 Д93 УДК 519.6 Д 93 Дьяченко В. Ф. Десять лекций по физической математике — М.: Изд-во «Факториал», 1997. — 64 с. — 18ВХ 5 — 88688— 008-9. В учебном пособии излагаются некоторые аспекты математического описания и решения физических проблем, которые обычно относят к прикладной математике, математической физике, численным методам и т.

д. Для студентов и аспирантов математических специальностей. Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Проект № 97-01-14016. Научное а«данае Дьлчентсо Владимир Федорович Десять лекций по физической математике Формат 60 х 90716. Гарнитура литературная.

Усл. печ. л. 4. Подписано к печати 10.12.1997. Тираж 1000 экз. Заказ № 3 Издательство «Факториал», !17449, Москва, а/я 331; ЛР № 063637 от 22.07.1994. Отпечатано при содействии ООО «ТКД Фотопак»,! 29128, Москва, пр. Мира 192 Оригинал-макет подготовлен с использованием макропакета АР-ТВХ. © В. Ф. Дьяченко, 1997. © Факториал, оформление 15ВХ 5 — 88688-008-9. ПРЕДИСЛОВИЕ Математику принято делить на чистую и прикладную. Некоторые считают, что делить ее надо как физику — на теоретическую и экспериментальную. Можно также делить на юридическую и философскую, в первой абсолютизируется понятие доказанности, во второй — истинности. Перечисление можно продолжить, в каждой точке зрения что-то есть.

Но обилие этих «что-то» означает, что математика едина. Разные мы. Читая много лет лекции студентам механико-математического факультета МГУ, я все время удивлялся их испуганному взгляду на математику как на собрание патологических случаев, исключений из правил. На самом деле математика добрая, простая и довольно часто красивая. В этой книге рассказывается о некоторых аспектах физических теорий поля и вещества, рассматриваемых как объекты вычислительной математики. И первый вариант названия этих лекций кончался словами «...и численным методам».

Но это показалось мне тавтологией. Благодаря компьютерам в математику вернулось число. Сегодня с их помощью можно решить практически любую отдельную задачу. Все-таки математика — это числовая модель мира. И если бы у Ньютона был компьютер, он, возможно, не стал бы изобретать дифференциальное исчисление. Изложение материала ориентировано на математиков.

То есть на тех, кто знает, что интеграл — это просто сумма, а дифференциал — разность, кто думает, что физика — это очень сложно, что в ней есть что-то кроме математики. В этом смысле «физическая математик໠— тоже тавтология. Другой математики пока нет. Но остальные эпитеты уж очень затерты. Перед любым автором всегда стоит проблема отбора материала и интенсивности изложения. Рассматривая различные методы и результаты, я старался соблюсти чувство меры в стремлении к общности формулировок и полноте описания. Ведь обобщить факт часто легче, чем спуститься к нему из наиабстрактнейшего утверждения.

Чтобы не загромождать формул, я опускал всевозможные коэффициенты (4я, с,...), чего всегда можно добиться выбором системы единиц. Веря в читателя, я избегал унылых подробностей при проведении аналитических выкладок, свободно употребляя соглашения о векторных и тензорных обозначениях, немых индексах суммирования, 6- и 0-функциях и т. п. Вторая часть книги содержит задачи и дополнения. Это не упражнения по курсу лекций. Здесь собран довольно разнородный материал как по форме, так и по уровню. Наряду с простыми формулировками типичных прикладных задач присутствуют туманные постановки сугубо теоретических проблем.

Они развивают те или иные моменты затронутые в лекциях. Подбор их отражает лишь вкусы и опыт автора. Лекция 1 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 1. Электромагнитное поле — это пара вектор-функций Е(~, х), Н(~, ж), удовлетворяющих системе уравнений Максвелла. При соответствующем выборе единиц измерения эта система может быть записана в виде дЕ дН вЂ” — т7х Н+у =О, — +~7 х Е=О, (1.1) дт д1 '17 Е=р, ~7 Н=О. (1.2) — +С7 у=о. др да (1.3) Уравнения (1.2) являются по-существу условиями на начальные данные, т. е.

на класс решений. Действительно, продифференцировав эти уравнения по времени, мы, в силу (1.1) и (1.3), получим тождества. Таким образом, эволюция электромагнитного поля определяется системой (1.1) — шестью уравнениями для шести компонент поля. В случае ограниченной области требуется еще рассмотреть условия на границе. 2. Полезно проверить корректность постановки эволюционной задачи, т. е. непрерывную зависимость решения от начальных данных.

Возмущение начальных данных приводит к возмущению решения, которое удовлетворяет (в силу линейности задачи) той же системе уравнений (1.1), но однородной. Поэтому достаточно убедиться, что у последней нет решений, растущих сколь угодно быстро. Для этого воспользуемся методом разделения переменных Фурье. Рассмотрим функции вида Е Е ць*- О ОЕ Н=Н ец '>, (1.4) Здесь р и у — соответственно плотности заряда и тока — задан- ные функции, связанные соотношением где Й вЂ” произвольный действительный вектор (нас интересуют только ограниченные при )х! — + оо решения), Ео и Но— комплексные векторы. Подставляя (1.4) в однородные уравнения (1.1), (1.2), получаем систему линейных однородных уравнений относительно Ео, Но.' — 1ыЕо — гЙ х Но —— О, ыыНо + в'Й х .Ео = О, гЙ Ее=О, (Й Н =О.

Используя правила векторной алгебры, убеждаемся в том, что нетривиальные решения существуют лишь при =Й 2 2 > (1.5) т. е. при действительных ш. А это значит, что среди решений вида (1.4) нет растущих решений. Так как это множество решений довольно богато, то можно предположить (и доказать), что таких решений у системы (1.1) нет вообще и задача корректна. 3. Решения уравнений (1.4) описывают электромагнитные волны в вакууме, где Й (волновой вектор) указывает направление распространения волны, а поле, определяемое действительной (или мнимой) частью .Е и Н, как нетрудно установить, вращается в плоскости, ортогональной волновому вектору, описывая эллипс.

Эти волны заполняют все «пустое» пространство. Понятие поля, родившись просто как способ описать взаимодействие тел на расстоянии, стало реальностью, не меньшей, чем само пространство. Не исключено, что и сами тела, частицы, вещество — особенности поля (или результат взаимодействия полей). 4. Для численного интегрирования системы (1.1) можно предложить следующий метод. Область расчета заполняем точками с координатами 1" = пт, ль = ЙЬ„у, = 1Ь, г = тЬ„(1.6) где т, Ь„Ь„, Ь, — шаги расчетной сетки (параметры дискретизации), а и, Й, 1, т пробегают целочисленный ряд значений.

Каждой точке соответствует пара векторов Е„",, Н„", От системы дифференциальных уравнений (1.1) перейдем к ее дискретному аналогу (Р,Š— Р хН+Э)"„, =О, (Р,Н+Р х Е),"„=О, (1.7) где Р— дискретный аналог градиента (ЄЄ, Р,), а операторы ЄЄЄ, Р, определяются формулами сн1 с -~ (Р ~)й ~ипь ~ыт 2т ,а... 4 -:4~-- 26, (1.8) (а-. А -:Ую-- 2Ь„ Я.,ч — 7 "я *' 'ы™ 26, Если значения Е", Н" до некоторого п известны, то конеч- но-разностные соотношения (1.7) позволяют получить их значе- ния на следующем, (и+1)-м слое по времени для всех внутренних точек области расчета.

Граничные условия доставляют значения в граничных точках. Для начала рекуррентного процесса требуются значения на двух слоях. Начальные условия дают значения только на ну- левом. Значения первого слоя следует вычислить с помощью какого-либо другого алгоритма, либо просто перенести с нулево- го (совершив ошибку порядка т). Заметим также, что все множе- ство значений сеточных функций Е"„, и Н„", можно разбить на подмножества значений, связанных соотношениями (1.7). Выби- рая одно из них, мы существенно сократим объем вычислитель- ной работы. 5. Теоретическое исследование качества описанного алго- ритма (называемого схемой «кресте)„ как всегда, сводится к про- верке аппроксимации и устойчивости.

Первое означает, что лю- бое решение дифференциальной системы (1.1) почгпи удовлетво- ряет конечно-разностным соотношениям (1.7). В данном случае эта проверка тривиальна. Для любой гладкой функции 7 выпол- нены равенства Р,У = — + 0(т ), Р~ =7)'+ О(Ьз), (1.9) А это значит, что, подставляя в соотношения (1.7) значения точного решения, в главных членах мы получим дифференциальные выражения (1.1), т. е. нуль, и, следовательно, соотношения (1.7) удовлетворяются с точностью О(т, Ь ). Отсюда следует, что 2 2 разность (6Е, 6Н) между численным и точным решением удовлетворяет соотношениям того же вида; 0,6Š— Нх6Н=О(т~,Ь~), О,БН+Ох6Е=О(т",Ь~) (1.10) и нулевым (или малым) начальным данным.

Так как правые части (1.10) не равны нулю, то решение этой системы становится отличным от нуля уже на первых шагах по времени. Вопрос в том, сохраняется порядок О(т, Ь ) в даль- 2 2 нейшем или решение возрастает до конечных величин О(1), что означает неустойчивость решения и конечность ошибки.

В силу линейности задачи справедлив принцип суперпозиции. А именно, решение можно представить как сумму решений, каждое из которых удовлетворяет соотношениям (1.10) на одном слое, а в дальнейшем определяется однородной частью системы (1.10) (т. е. при равной нулю правой части). Тем самым проверка устойчивости сводится к исследованию поведения решений однородной системы. Исследование устойчивости почти полностью повторяет исследование корректности.

Применим опять метод Фурье и рассмотрим решения вида 6уи 6уо Лп пьг+БР+ х) (1.11) с произвольными действительными у, ф, Л. Подставляя выражения (1.11) в однородную часть системы (1.10) и используя то, что сеточные функции (1.11) являются собственными для разностных операторов (1.8), убеждаемся, что условием существования решения такого вида, вместо (1.5), является равенство + + + = О, (1.12) которое является уравнением для определения Л.

Среди решений вида (1.11) нет растущих, если (Л! не превосходит единицы. Оценивая корни квадратного уравнения (1.12), убеждаемся, что это имеет место только тогда, когда выполнено неравенство Это и есть условие устойчивости алгоритма. Если оно не выполнено, то, несмотря на аппроксимацию, как бы малы ни были т и Ь, близости численного и точного решения не будет. 6. Мы исследовали устойчивость (как и корректность) идеализированной задачи, не учитывая ее ограниченность в пространстве. Практически всегда этого оказывается достаточно для оценки качества алгоритма решения любой эволюционной задачи. Принципиальную схему проведенного исследования мы будем использовать и в дальнейшем.

Заметим также, что технология проверки аппроксимации всегда довольно элементарна и сводится, как и в рассмотренном случае, к оценке отличия конечно-разностных комбинаций от соответствующих дифференциальных. Наоборот, исследование устойчивости часто представляет проблему и успех достигается не всегда. Положение спасает то, что расчет по неустойчивому алгоритму практически нельзя реализовать, так как численное решение будет катастрофически нарастать, имея источником ошибок не только аппроксимацию, но и округление величин, неизбежное в расчетах. Таким образом, алгоритм сам сигнализирует о неустойчивости. В то же время при отсутствии аппроксимации мы фактически будем решать (может быть, и успешно) другую задачу, не подозревая об этом. Лекция 2 СПЛОШНАЯ СРЕДА д~ д(/е) аз+ ах (2.3) 1.