Манзон Б.М. Maple V Power Edition (Манзон Б.М. Maple V Power Edition.djvu), страница 10

> ЕпчЕхр1асЫ := ~киег > во1тт1=во1че [ежив, (х, у, в) ): > твар(в1втр1Ыу, (во1п[1), во1тх(2) ) ) ) ((х = 2, у = 3, ~ =1), (х = 2, у = 3, ~ =1) Решение тригонометрических уравнений Начнем с примера > во1че( сов(х)+у = 9, х ); а — агссоз(у — 9) Таким образом, мы находим только главное решение тригонометрического уравнения; чтобы найти все решения, необходимо ввести команду > ЕпчА118о1ис1опв : пхчхе: которая устанавливает для переменной операционной среды ЕптА)!Яо!ц!1- овя значение !гве. Теперь решение того же уравнения 6 Примеры вычислений 67 > волге( соа(х)+у = 9, х ); л — агссоа(у — 9) — 2 В1- гг + 2 В7- агссоа(у — 9) + 2 л У7- где В- и с- — натуральные числа.

Пример посложнее > аевйатсаес(пг =ас1ке. (сов (х) "2+1/2)+аг2а~ (а1п(х) *2+1/ 2)и2г ег7п:= — т!4 сов(х)'+ 2 + — !4 яп(х) + 2 = 2 1 2 2 > во1в г =во1уе (ее1п, х) ) 1 3 юа:= — гг+ 2 а У.- — — л + 2 7г У. 4 Решение неравенств Приведем два примера > ао1лге( х"2+х>5, х )7 1 1 к~я Й ~ —,Ор ~- — — д! 2 2 !7 Кеа1Кап8е Ореп — — — — ч 21!, с 2 2 > во1уе( (х-1) *(х-2) *(х-3) < О, х) 1 Кеа! Кап8е ( — е, Орел(1)), Кеа1Кап8е (Ореп(2), Ореп(3)) 4(ар!е умеет решать также трансцендентные неравенства, например > ипег1п г= ехр(х) *х" 2 >= 1/2: > во1уе( ипесп, (х) ))елга1й(")) 1 7 ! ДЕ Ь ~%( — 1,— — 2 (< (2~.

Ь ~% — — а)), 4 4 (2 (.атЬеп1т' ~ — — ч2 < х) !') '14 ( — 2.617866616 < х, х < — 1.487962064), ( .5398352768 < х) 68 Мар!е Ч Ром~ег Ес()т!оп Следуюший пример системы неравенств > во1зге((х+у>=2, х-2*у<=1, х-у>=0, х-2"у>=1), (хлу))Р 1 (х = 1 + 2 у, — < у) 3 6.3. Нахождение экстремумов функций, симплекс-метод > геас111Ь(ех~гезва) г Ептг Ехр11сфп:= пхзхе: В следующем примере находятся экстремумы функции г при дополнительных ограничениях я! и а2: > х фю (хл2+ул2) л (1/2) г/ д1,м хл2+ул2 16ю0) д2 := х+у+г 10) ./;= (х" + у' — е х/:= х' + у' — 16 = 0 д2:= х+ у+ ~ = 10 В команде ех1геша четвертым аргументом является имя„которому мы хотим присвоить значение переменных в точках экстремума.

> ехпгепга(й, (д1,д2), (х,у, г), 'в') ) ( — 6 + 4 Г2, — 6 — 4 '(2) > в) ((е = — 4'Г2+ 10, у = 2 2, х = 2~Г2), (е = 4ч2 + 10, у = — 2 Г2, х = — 2 Г2)) Для применения симплекс-метода необходимо загрузить пакет аппр!ех > гевеагп)вгфпЬ[вывр1ех): Хагп(пц, пен бей(п(стоп аког гаах(ы(ае Жагп~пд, пен с!ей(п(с(оп аког гл(п1за> ве 6. Примеры вычислений 69 В следующем примере максимизируется функция оЬ) при дополнительных ограничениях свата: > спа~в := (3*х+4*у-3*а <= 23, 5*х-4"у-3*а <= 10, 7*х+4~у+11*х <= 30)г оЬЭ г= -х + у + 2*вг звех1ш1хе(оЬ3,спаса ипфоп (х>=О,у>=О,г>=0))) (х = О, ~ = 1/2, у = 49/8) 6.4.

Дифференцирование Команда 41ГГ(параметр!, параметр2) обеспечивает дифференцирование выражения (первый параметр) по переменной (второй параметр). Аргумент команды должен содержать, по крайней мере, одну переменную дифференцирования, последующие параметры интерпретируются как переменные для дифференцирования более высокою порядка. Приведем пример > хевсахсаЫЙЙ ( х*3 + у*2, х, у)) 6 к" у Для выполнения многократного дифференцирования по одной переменной для сокращения записи можно использовать в команде 61ГГ оператор 5. > 61йй ( х" б/61, х$6 ) у > сН.йй ((в*3+2"а-5)/(С"2-3*С), в$2, С)) з (2 г — 3) — 6 (!' — 3!)' Для выполнения дифференцирования применяется также дифференциальный оператор РЦ(Г), где à — выражение, задающее функцию, ! — натуральное число.

Если à — функция от одного аргумента, то Р(Г) вычисляет производную от Г, например > Р(алп)) соя Производная также функция одного аргумента Р(Г)(х) =- 4!ГГ(Г(х), х). Таким образом Р(Г) эквивалентно впарр!у(41(Г(Г(х), х), х). 70 Мер!е У Ромрег ЕдШоп > Хр(ватт)(х)р сох (х) > Хр(вз.тт) (Рх) р Если à — функция и аргументов, то Щ1](Г) вычисляет частную производную по отношению к ь-тому аргументу. В обшем случае 0[1,)[(Г) зквивалентно 0[1[(Щ[(Г)) и 0[[(Г) = Г. Приведем примеры.

> Хр(ехр+сов*2+Ра+Сать)р ехр — 2 ьйп сов + 1 + ьап' > Хр(1п)р А ь 1/А > ХР ( ХР ( й ) ) р Ф") (Г) Для многократного дифференцирования функции от одной переменной применяется оператор Г)РРп, где и — кратность дифференцирования. > (Х)992)(й)р (О' ') (Г) > (Х)99тт) (й) р (РУ"') (.Г) Производная от композиции двух функций (сложной функции): > хз(К9д)р (О (Г))еа Г)(а) > Хр(вхтх9у)р созе ()у Для выполнения многократного дифференцирования по заданной переменной функции от нескольких переменных применяется оператор Р[6п1(Г), где 1 — номер переменной. и — кратность дифференцирования.

> Р[з4п) (й) р (),, (Л > ХРИ,Э) (й) р 6. Примеры вычислений 7Ь > лл(1 5) (л) Р(2 1) (л) ! 0 > ИЦ(Р(2,ЦИ»1 В,(О„(1)) Оператор дифференцирования применяется также к функциональным операторам и процедурам. > й 1= х->х*21 > Р(й) 1 х -+ 2 х > й г= (х,у) -> ехр(х*у)1 1:= (х, у) -+ еви > РП (К)1 > Р(1) (й) 1 (х, у) -+ у еяи > В(2) (й)1 (х, у) -+ у еои Пусть > к := рхос(х) 1оса1 с1,~21 е1 Ф и хл21 е2 е = вхп(х) 1 3"с1*с2+2"х*с1-х"с2 елбе Вычислим производную от Г по аргументу х.

> В(й)1 ргос(х) )оса! 12, 1!х, 12х, 11; 1!х:= 2'х; 11:= х"2; 12х:= сов(х); 12:= в1п(х); 3" 12'11х + 3*11л12х + 2л1! + 2*хл1!х — 12 — х'12х ЕП1) 72 Мар!е Ч Рочяег Ег Шоп Проверим правильность вычисления производной. > !Л(й) (х) — г1лйй(й(х),х) ! 0 6.5. Пределы Для нахождения предела выражения или функции в Мар1е используется команда!ив!1(параметр1, параметр2). Первый параметр — выражение„второй параметр — имя переменной, приравненное значению переменной в точке предела. Необязательный третий параметр — направление предела.

Если направление не задано, вычисляется стандартный двусторонний предел. Если предел не существует, в качестве ответа возвращается сообщение "ипдебпед". Если Мар!е не способен вычисли~ь предел (однако он может существовать), возвращается невыполненная команда. > 1лвллс( сое(х)/х, х=Рл/2 )! > 1ллвЫ(( -х"2+х+1) / (х+4), х=лпйхпл.~у ) л > 1ллвлт.( ~ап(х), х=Ра/2)Л илг(е/)леЫ В большом количестве случаев выражение, которое не имеет двустороннего предела, имеет односторонний предел: > 1ллвл~( ~ап(х), х=Рл./2, 1екс)! > 1ллвИ( сап(х), х=Рл./2, клд)лс)Л > 1ллвл~((1+а/х)*х,х=лпйлпЫу)! В команде Иви! может присутствовать также необязательная опция сощр!ех или геа) в качестве третьего параметра аргумента. Эта опция определяет, в комплексной или действительной области вычисляется предел. 6.

Примеры вычислений 73 6.6. Интегрирование Как определенные, так и неопределенные интегралы в программе Мар/е вычисляются при помощи команды !и!(параметр!, параметр2). Аналитическое интегрирование Сначала рассмотрим неопределенное интегрирование. В этом случае первым параметром аргумента команды !и! является интегрируемое выражение, а вторым — переменная интегрирования. Результат интегрирования (если он найден) выводится без стандартной константы интегрирования.

Этим достигается возможность многократного использования результата в дальнейших вычислениях. Если )и! не находит интеграла, команда возвращается невыполненной. Далее — некоторые примеры неопределенных интегралов. > л.пс(2*х*ехр(х" 2),х) у е' ' В определенных интегралах ко второму параметру команды !п( добавляются пределы интегрирования.

> хевйахйу 3.пс (вхп(а*х) *2/ (х" 2), х=0 .. хпкйпхйу) у 1 — а)япппз(а) я а 2 Рассмотрим еше один интеграл > лпс(1од(х)"а,х=0..1)у оегуптее апеедпаеьоп: сап'е оееепттпе гг спе 1пеедса1 1а сопеепдепс. Неес1 По Хпое Еье аьдп ое --а 1+а 'п111 псе Епу гпоетгпгее тппедпаеаоп апо с11еп саке 11т1са.

1п(х)' Нх о Мар!е уточняет знак величины !+а. Предположим, что а> — 1: > аввпуве (а>-1) у хпс ( 1од (х) "а, х=0 .. 1) у ( — 1)' Г(А) А 74 Мер!е Ч Рохчег Ес)11(оп Теперь все в порядке. Вообще, команда ааавще во многих случаях позволяет не только найти значение интеграла, не имеющего в общем случае первообразной, но и значительно упростить полученное выражение, как, например, в следующем примере > 1пс(1/(х"2+а*2) /(х*2+Ь"2),х О..лпйз.пл.су) 1 я ( — сзяп(а) Ь + сзип(Ь) а) 2 (а' — Ь') а Ь Введем предположения относительно параметров > аввтпве(а>О,Ь>0)л 1пе(1/(х'2+а'2)/(х'2+Ь"2),х=0..1пхл.п1еу)л 2 Ь- а- ГЬ- -ь а-) Опция сопйввовз, добавленная в качестве четвертого аргумента команды 1в1, вынуждает Мар1е игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования.

> л.пе( 1/(х-1)*2, х=0..2,соп~фпиоив)л В отличие от команды а1(1 простым добавлением переменных интегрирования в команду 1в( невозможно задать многократное интегрирование. С этой целью интеграл по одной из переменных включается в качестве первого параметра в аргумент интеграла по другой переменной: > 1пе ( 1пг.

( х*2 * У*3, х ), У)1 > 1п~ ( 1п~ ( Ап~ ( х"2 *у"2* в*2, х~1 ..2 ), у=1 ..2 ), в=1 ..2 )Л 343 27 6. Примеры вычислений 75 В следующем примере интеграл выражается через полный эллиптический интеграл первого рода ЕИр((сК, для упрощения сложных радикалов применяется команда гайпогюа1. > ?пС( 1/в<1хС( в1п(х) ), х~О..И./2 )= 1пс( 1/вцхс( взл(х) ), х=О..Р1/2 )ехадлохзва1(")т 1 ЕП(рг)сК(3 — 2'Г2) (Зз12 — 4) дх — 4 ь х я1п(х) — 2+ ~2 Численное интегрирование Для выполнения численного интегрирования используется команда ета10 > зпс (1/(екр (х*2)+х), к=0..1) т 1 йх о2) + о > езга1й ( лпс ( 1/( ехр (х"2)+х), х=О ..1 ))) .5859203128 В следующем примере при помощи команды ета)Г(1щ, 20) находим прибли- женное значение интеграла с точностью 20 значащих циФр.

> Епс( ехр(зг-зг"2/2) /(1+1/2*акр(зг) ), зг = -1пйзп1су..зпкзпЫу )ф > езга1й(", 20)т !.8055770б2297049б788 76 Мар!е Ч Рочгег Ее(Шоп 6.7. Суммы и произведения Конечные и бесконечные суммы вычисляются командой вввз(параметр1, параметр2). Параметрами, также как в команде интегрирования, являются выражение, переменная и пределы суммирования. В конечных суммах диапазон суммирования может содержать числовые или символьные значения. Приведем несколько примеров.