Матвеев А.Н. Квантовая механика (Матвеев А.Н. Квантовая механика.djvu), страница 64

Между тем уравнение Клейна— Гордона является уравнением второго порядка по времени, и следовательно величины Ч" и дед~ в некоторой точке могут быть заданы независимо. Это значит, что величина 9, определяемая формулой (93.1!), может быть и отрицательной. Следовательно, выражение (93.1!) нельзя рассматривать как плотность частиц. Поэтому в течение ряда лет уравнение Клейна — Гордона не получало признания в качестве уравнения для описания поведения частиц. В дальнейшем стало ясно, что его можно рассматривать как уравнение квантовой теории поля и тем самым избежать трудности с отрицательной плотностью.

Волновая функция в уравнении Клейна — Гордона имеет лишь одну компоненту, т. е. является скаляром. Если у волновой функции несколько компонент, то у частицы, которую зта волновая функция описывает, кроме степеней свободы, связанной с перемещениями частицы, имеются внутренние степени свободы. Эти внутренние степени свободы проявляются как ее спин. Тот факт, что волновая функция в уравнении Клейна — Гордона имеет лишь одну компоненту, означает, что описываемая этим уравнением частица не имеет внутренних степеней свободы, т. е. не имеет спина.

Можно сказать, что спин частицы, описываемой уравнением Клейна — Гордона, равен нулю. Такие частицы часто называются скалярными. Поскольку спин электрона равен 1!2, уравнение Клейна — Гордона неприменимо для описания электрона. По-видимому, оно пригодно для описания п-мезонов, спин которых равен нулю. Трудность с отрицательной плотностью частиц при этом обходится методами квантовой теории поля.

9 94. Уравнение Дирака Трудность с отрицательной плотностью частиц и неприменимость уравнения Клейна — Гордона к частицам со спинами 1/2 заставляют искать другое уравнение, которое было бы пригодно для описания электрона. Такое уравнение было получено Дираком. Для того чтобы избежать трудностей с отрицательной плотностью частиц, необходимо избежать наличия производных по времени в выражении для плотности. Но это возможно лишь в том случае, когда само волновое уравнение содержит только первую производную по времени. Пользуясь требованием релятивистской ннвариантности, отсюда сразу заключаем, что и производные по координатам должны также входить в уравнение только в виде первых производных. С другой стороны, принцип суперпозиции состояний требует, чтобы уравнение было линейным.

В результате получается, что искомое волновое уравнение должно быть линейным дифференциальным уравнением первого порядка как по времени, так и по пространственным координатам. Чтобы его получить, естественно воспользоваться приемом, с помошью которого было получено уравнение Клейна — Гордона, но при этом учесть только что изложенные соображения. Исходным 94 21 Заказ 3й 1094 32! (94. 2) Ро глос Ро Р»' Ро Ро Ро Р» и напишем формально о Е=-с ~,' а„р„, (94.

3) и=о где величины аи пока не определены. Эти величины должны быть выбраны таким образом, чтобы после возведения обеих частей равенства (94.3) в квадрат получилось релятивистское соотношение между энергией и импульсом в виде (93.1). Требование перехода соотношения (94.3) после возведения его в квадрат в соотношение (93.!) дает условия, которым должны удовлетворять величины аи. Возводя обе части равенства (94.3) в квадрат, находим Е = — со Уо ~~ аиаи' Рири' =с ' з,~! (аиаи'+ !ои аи) Р„ри..

(94.4) и' и и, и' Чтобы правая часть (94.4) совпала с правой частью уравнения (93.1), которое удобно записать в виде Е'= '(Р!+Р~+Р~+ Р!) (94.5) необходимо, чтобы величины а„удовлетворяли следующим соотношениям: аиаи + аи аи =- 26ии (94.6) т. е. величины аи аи должны антикоммутировать друг с другом при разных значенийх индексов р и р". аиаи' = аи аи (р о- р ), (94.6а) а квадрат каждой из величин аи должен равняться единице: а'„' =- 1. (94.6б) Вообще говоря, для того чтобы оперировать с соотношением (94.3), не обязательно иметь явный вид величин аи.

Достаточно знать соотношения (94.6), которым эти величины удовлетворяют. Однако явный вид величин а„часто бывает полезен для решения о»2 из релятивистского соотношения между полной энергией и импульсом (93.1), которое удобно записать в виде Е = с )/ р'+ и'„со. (94.1) Если от этого уравнения перейти к операторному равенству по формулам (92.9), то получающееся уравнение будет уравнением первого порядка относительно времени, но не относительно производных по координатам, поскольку оператор производных входит под знак корня. Чтобы освободиться от этой трудности, необходимо произвести «линеаризацию» правой части уравнения (94.1) путем «извлечения» корня. Введем обозначения конкретных задач. Дирак предложил в качестве следующие четырехрядные матрицы: !о о о о! о о оо — ! о ОΠΠ— 1 величин а„ взять о о о о о ! о ! о ! о о о о! о оо оо (94. 7) 0 00 — ( 0 0 ! 0 0 — ! 0 0 — 1 о 00 0 о — 10 о Нетрудно непосредственным перемножением и сложением матриц (94.7) убедиться, что они удовлетворяют соотношениям (94.6)„ понимая, что в правой части этого соотношения стоит единичная матрица.

Например, для а, имеем 1000 1000 1000 0100 0100 0100 0010 + 0010 0010 0001 0001 0001 т. е. деиствительно а',=1, где под ! понимается единичная четырехрядная матрица: 1000 010 0 0010 0001 Аналогично для а, н гга соотношение (94.6) принимает следующий вид: 0 00 — 1 0 01 0 0 О( 0 0 00 — 1 аоз+оапз 0 . 0 0 ! 0 0 0 + 00 0 0 — 10 0 0 01 0 0 00 — ! 0(00 О 00 — 1 0 01 0 1000 1 00 0 0 — (О 0 0001 0 — 10 0 1 00 0 0010 0 — 1 0 0 0000 — ю' 0 0 0 0000 0 0 0 — 1 0000 0 0 — 1 0 0000 21~ 323 т. е.

действительно азаз + адар — О, где под 0 понимается нулевая матрица: 000 0 000 0 0000 000 0 (94.9) Нетрудно проверить, что матрицы а„являются эрмитовыми матрицами, для которых а+ ~= а„, где операция эрмитовского сопряжения означает перестановку элементов матрицы в другие места, симметричные относительно главной диагонали, и взятие комплексного сопряжения к этим элементам. Например, '( Š— с ~ а„р„| Ч'= О. (94.10) Поскольку величины а„являются четырехрядными матрицами, волновая функция Ч" в (94.!0) должна иметь четыре компоненты, которые удобно записать в виде столбца: Ч', Ч~г Чг= Чч~ (94.

11) Поэтому уравнение Дирака (94.10) является системой четырех линейных уравнений относительно четырех компонент волновой функции Ч'. Производя перемножения на матрицы а„, указанные в (94.10), можно эту систему уравнений записать в следующем виде: (Š— тас')Ч,— с(р„— (р„) Чг,— ср,Ч",=-О, (Š— тосэ) Ч"2 — с (р*+ гра) Тз+ ср,Ч'„= 0 (Е+ тос~) Ч~з с (р„— тра) Ч~г ср %1 —— — О, (Е+ т,с') Ч~ — с (р + (ра) 'Р,+ср,Ч~ =О.

(94.12) Уравнение Дирака (94.!0) удобно также переписать по-дру- С учетом (94.3) уравнение Дирака для свободной частицы может быть записано следующим образом: гому. Введем векторную матрицу а, компонентами которой по осям координат являются а„аз, а„т. е. а=(а„аз, аз). (94.13) Тогда уравнение (94.10) может быть записано следующим образом: (Š— с(а, р) — тосзоз) Ч'=О, (94.14) где матрица ао обозначена через оз, как зто принято (оз = ао).

Выписывая в явном виде операторы Е и р, имеем — —.— Ч' — —. (а, т) Ч' — тосопзЧг= О. йд оа ! дз т Эрмитово сопряженная волновая функция Ч' записывается в виде одной строки: Ч" — -- (Чг)'1'з Ч"з Ч"о). (94.16) Сопряженная волновая функция Ч'+ ставится слева от четырехрядных матриц, чтобы соблюсти правила умножения матриц. Кроме того, необходимо везде перейти к комплексно сопряженным величинам. Поэтому уравнение (94.15) относительно сопряженной функции Ч'+ записывается следующим образом: — ". д, Ч'=-'~'(~Ч", а) — тФЧ"Ез — О. (94.! 7) Расписав это уравнение по компонентам, получим систему уравнений, которая совпадет с системой (94.12), если в последней перейти к комплексно сопряженным величинам.

Для того чтобы получить выражения для плотности заряда и плотности тока, умножим уравнение (94 17) справа на — Ч', а уравнение (94.!5) — слева на — Ч"'+' и из первого уравнения Ь вычтем второе уравнение. В результате получаем уравнение — (еЧ'+Ч') + б(ч (есЧ'+аЧ') = О, (94 !8) которое имеет вид уравнения непрерывности иэ электродинамики.

Отсюда заключаем, что выражения для плотности заряда и тока записываются следующим образом: о = еЧ'+Ч', 1=- есЧ'+аЧ'. (94. 19) Ясно, что эти выражения для плотности заряда и тока сохраняют свой вид и при наличии внешнего поля, поскольку в этом случае в левой части уравнений (94.15) и (94.17) добавляется соответствующий член, который после умножения уравнений на сопряженную функцию и вычитания сокращается.