Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994).djvu), страница 51

восстанавливается обратимость, заложенная в микроскопических законах движения. Итак, Н-творца Больцмана может быть верна лишь для ограниченных промежутков времени а«Т . Причина ограниченности Н-теоремы Больцмана заключается в том, что газокинетическое уравнение Больцмана (80.16) является лишь приближенным уравнением, в котором не учитываются возможные флуктуации плотности числа часпщ, т. е. функции Дг, т, г), входящей в интегральный член, учитывающий столкновения часпщ друг с другом. Возникает, таким образом, необходимость отыскания иных определений неравновесной энтропии, для которых возможно строгое доказательство неравенства (24З), но в то же время не запрещалась бы возможность возвратов, т.

е. убывания энтропии при г- Т еОчевидио, в сиду иесиимаемссти фазовея иидкссти таксе ие ее количестве вте кт через драгие части помркиести в. Зоб времени приблизытельно равномерно распределяются по всему фазовому объему 6«. Однако при более детальном рассмотрении оказывается, что плотность вероятности очень резко, екпчкообразно изменяетея от точки к точке. Пусть исходная неравновесная, усредненная по фазовому объему Ь плотыость вероятности равна зве (Х, О) = — ез (Х), 1 С где аз — полный объем всего доступного фазового пространства. Очевидно, соответствующая фазовая плотность после перемешывания в момент Т 1п — "' — "' бх> 1и-' -'бх, (86.8) о и или, сократив на константу ез и использовав условия нормировки — ах=1 — дХ=1, д(х) Г1 С,~ С (86.9) получим р(Х) Ы р(Х) дх>0.

о (86.10) «Здесь и далее под С полразумеметса фазовый объем, определеивмй в $ 85, либо «объем» типерповераиости задаииоа эиертии. 308 зве(Х, Т)«« —, (86.5) С так как эта плотность не зависит от Х, а также в сылу условия нормыровки )зве (Х, Т) бХ=1. (86.6) Докажем, что знтропия Яе, определяемая формулой (86. 1), удовлетворяет неравенству Уе (Т) >У«(0). (86.7) Подставляя (86.4) и (86.5) в (86.1), последнее неравенство можно записать в следующем виде: Замечая, что условие нормировки (86.9) можно записать также в виде Г 11-~р(Х~] бХ=О, (86.11) и складывая правгяе и левые части (86.10) и (86.11), получаем | ( (Х) )п р (Х)+1- р (Х)) аХ>0.

(86.12) с Но последнее неравенство действительно всегда имеет место, по- скольку при любых положительных у гр1п1Р+1 — гр>0. Действительно, т. е. г= — й ) . (х, ~) 1 (х, ~) бх. по Но для последнего выражения легко доказать, что (86.14) (86.15) поскольку дв — = ~Нн~. д! 309 4 — Ь)п Ю+1 — Ф=)п р. ае Но 1пгр>0 при гр>1, 1л гр<0 при гр<1 и, таким образом, функция [гр 1п гр+ 1 — гр) имеет минимум при гр =1, т.

е. справедливо неравенство (86.13), причем знак равенства справедлив при ~р = 1. Итак, неравенство (86.7) действительно имеет место при любых начальных распределениях. Иначе говоря, процесс перемешнвания приводит к возрастанию энтропии Я'. Легко видеть, что в последнем гиббсовском определении неравновесной энтропии (86.1) величину Ь~ из (86.3) нельзя положить равной нулю, т. е. функцию 8(Х) заменить на произведение Б- функций. Действительно, в этом случае в~ (Х, г) = м (Х, г), В этом легко убедиться, рассмотрев производную по времени от интеграла, стоящего в (86.14): 4 Г Г дчс — ~ ю(Х, 1) )пю(Х, у) ЙХ= ~ — [)и в+1] ЙХ= де пп по з» /дУГ дсо д)У д»~ — ()птв+1)1Нч~)оХ= [1пче+Ц ) ~ — — — — ~ бХ. „, ~,дче дрл дрь деа) ' (86.16) бп пп Полагая, как обычно, Н= К(Р)+ У(Д) и замечая, что дес +ф " дсо 1)пю+Ц вЂ” бра — — 1)пул+Цу ~ — ~ — брь дрс -со ~ дрл — со ф +со +со д + со двс г дел а на бесконечности ис-+О, получаем, что правая часть (86.16) равна нулю, т.

е. действительно выполняется условие (86.15). Итак, среди рассмотренных нами возможных выражений для неравновесной энтропии только (86.1) и (83.9) возрастают со временем в соответствии с законом возрастания энтропии. Учитывая, что (83.9) фактически является частным случаем (86.1)е, выражение,Р (см. (86.1)) можно рассматривать как наиболее общее определение возрастающей со временем неравновесной энтропии. Выражение (86.14) не изменяется со временем и поэтому может служить лишь определением равновесной энтропии или определением энтропии неравновесной системы, но в фиксированный момент времени. 87.

Микроскопическая необратимость в микроскопическая обратимость Поскольку Н-георема Больцмана имеет смысл, эквивалентный термодинамическому закону возрастания энтропии (83.1), являющемуся математическим выражением необратимости макроскопических процессов, постольку зта теорема доказывает необратимость газокинегнческого,уравнения Больцмана. Однако уравнение Больц- оДействительио, выбирая осредввюшую фувхдюо 8 (Х) в виде (86.3) и полатев Ь; О, а все остальные Ье- со, получаем ив (86.1) выравевие (83.9).

310 мана выведено из уравнеыыя движения статистического фазового ансамбля, обратымого во времени, так же как и лежащие в его основе уравнения Гамильтона. Возникает, таким образом, парадокс макроскопической необратимости, получающейся из микроскопической обратимости. Этот парадокс, очевидно, возникает в любои статистической теории, основывающейся на обратимых микроскопических уравнениях движеыия и получающей необратимые макроскопические уравненыя движения.

Действительно, любое макроскопическое состояние является функцией микроскопического состояния. Но из-за обратимости уравнеыий микродвнжения система может спонтанно переходить как из некоторого микроскопического состояния а в состояние Ь, так и, наоборот, из состояния Ь в состояние а без каких-либо внешыих воздействий. Следовательно, и с макроскопической точки зрения система может спонтанно переходить как из макроскопического состояния А (соответствующего микросостоянию а) в состояние В (соответствующего микросостоянвю б), так и наоборот — из В в А.

Но если мы доказали необратнмость макродвижения, то спонтанный переход без посторонних воздействий возможен только в одном направлении, например из А в В, и невозможен из В в А. Указанное противоречие легко разрешается, если учесть, что необратимые макроскопические уравыения движения для любой изолированной системы должыы быть справедливы лишь начиная с некоторого начального момента времени, т. е.

момента приготовлеыия системы, до которого оыа не была изолированной. Так, например, необратимый процесс теплопередачи от тела более горячего к телу более холодному начвнается с момента приведеныя этих тел в тепловой контакт друг с другом. До этого момента тела былы разделены и потребовалось некоторое заданное внешнее воздействие для их соединения, т. е. для включения процесса теплопередачи.

Следовательно, для изолированной системы необратимые уравнения двыжения должны быть справедливы только начиная с некоторого начального момента времени. Если же система является изолированной и не подвергающейся никаким внешним воздейсгвыям, то в такой системе необратымый процесс может возыикнугь лишь в результате споытанной флуктуации. Так, в рассмотреныом вьппе примере состояние, когда из двух находящихся в тепловом контакте тел одно имеет температуру Т» а другое — температуру Т„отличную от Т» может осуществиться лишь в результате спонтанной флуктуации. Но в этом случае до момента г, теплота переходила от холодного тела к горячему, а после ~ь — от горячего тела к холодному.

Иначе говоря, до момента ~ь процесс те~лопроводности протекал в обратном по времени ыаправлении, а после гь — в прямом. зп 50 Рис. б5 В первом случае, когда система образуется путем соединения двух неодинаково нагретых тел, временная зависимость общей энтропии имеет внд, изображенный на рис. 65. Во втором случае для всегда изолированной системы возможна лишь временная зависимость общей энтропии, изображенная на рис. 66. Следовательно, как в первом, так н во втором случаях возрастание энтропии должно иметь место лишь начиная с момента гь.

До момента г, во втором случае явно должно иметь место не возрастание, а убывание энтропии. В первом случае вообще до момента ~ь энтропия неизменна, т. е. могут быть справедливы . законы необратимости в любом направлении течения времени. Таким образом, и уравнение Больцмана должно быть справедливо лишь начиная с некоторого начального момента времени гь, т. е. момента прнготовлення неравновесной системы. В случае же, если при помощи уравнения Больцмана рассматриваются спонтанные флуктуации, уравнение (80.16) должно применяться лишь с момента г, (например, с момента, когда функция Н максимальна или энтропия минимальна). До этого момента необходимо применять уравнение, отличающееся от (80.16) знаком правой части (чтобы функция Н не убывала, а возрастала).