Давыдов А.С. Квантовая механика (Давыдов А.С. Квантовая механика.djvu), страница 117

-'ОЭ В некоторых приложениях удобно пользоваться другими представлениями Ь-функции, например 6(х)=!Нп— 1 а а-вв а ав+ хв Прн подстановке любого из представлений Ь-функции, например (А,4), (А,б), в операторное уравнение знак предельного перехода надо выносить из-под знака интеграла. Часто используются представления 6-функций через различные полные ортоиормированные системы функций. В случае функций ф„(х), соответствующих дискретному спектру, 6(х — х') = Х вр'„(хЯ„(х'). в ! (А, 7) При х= О функция „равна —, при возрастании абв1а (хО солютного значения х она осциллирует с периодом 2Й~Ф. Инте- грал от этой функции, взятый в интервале — оа (х ~ оа, ра- вен единице независимо от значения в.. Таким образом, (ип — при ь'- оа имеет все свойства Ь-функции.

в1п (АЦ ввх Пользуясь (А,4), можно доказать равенство Ю вЂ” ~ ~'~!(6=6( ), часто используемое в этой книге. Действительно, ОФ А — ! евв"е(й= (ип -й — ! е'А"г(й= (ип — 1=6 (х). 2Я ..! 1 В У ьв ЛХ во -А МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ (А, 11) (А, 13) ) 1. !' Ь сах(кх) Мп((.х) ) ах~ 1 х„хх Вычисление интегралов, содержащих 6'(х), осуществляется ин- тегрированием по частям при учете того, что 6(х) = О, если хФ О.

Таким образом, ) Ь'(х)Р (х) с(х= — Р'(О). Производная от Ь-функции удовлетворяет соотношению хЬ' (х) = — 6 (х). (А, 16) Функция 6(х) является четной функцией х, следовательно, производная Ь'(х) является нечетной функцией. Поскольку Ь-функция является четной функцией, то выполняется равенство ( ( 'Ь, если а>0; 1 — '(с, если а < О. 6(х) с(х=1 е Для функций фх(х), соответствующих непрерывному спектру, 6 (х — х') = ) ф„'(х) ф„(х') с(Р. (А, 8) Приведем теперь ряд равенств, которым удовлетворяют Ь-функции. Смысл этих равенств состоит в том, что они дают одинаковый результат, если их применять в качестве множите- лей под знаком интеграла 6( — х)= 6(х), (А, 9) хб(х)=0, (А, 10) Ь (ах) = — б (х), ! ! а! 1 (х) Ь (х — а) = 1 (а) Ь (х — а), ) 6(а — х) 6(х — Ь)с(х=Ь(а — Ь), ах) Ь (х а) + 6(х+ а) (А 14) 2!а! 6 (х — хс) 6[~р(х)) =,'~„— —,', (А, 15) 5(:*),$' где хс — простые корни уравнения 4~(х) = О.

Можно также определить производную по х от Ь-функции, ,которую обозначим 6'(х). Одним из представлений Ь'(х) яв- ляется А! СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНОЙ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА атз Трехмерная б-функция Ь(г) определяется равенством б(г) = б(х) Ь(у) Ь(х) =(2Н) ~ е'"'Г(ой, где интегрирование ведется по всем значениям л„йв, й, функция б(г) обладает свойством ~ Ь(г) Р(г) е(ог = Г" (0), (А, 17) если интегрирование проводится по области, включающей точку г= О. Приведем также полезные равенства б(г) = —, б (Г! б(г'. — Г) = —,, б(и' — л)Ь(г' — г), где л' и п — единичные векторы в направлении г' и г; интегрирование по г совершается от точки г = О. В некоторых случаях под знаком интеграла встречается сингулярная функция ~(х) — = !Нп !.в в ов (А, 18) где знак У указывает, что вычисление интеграла надо проводить в смысле главного значения. Такое же свойство имеет и сингулярная функция 1нп (х — (е) = (пб (х) + У вЂ”.

-1 1 в+о Х Наряду с б-функцией часто используют другие несобственные функции. Например, б+ (х) = б" (х) = —.!Нп (х — (а) ~. (А, 20) ~я' а-во С1помощью (А,20) и (А,6) получаем Ь+ (х)+Ь (х) =1!Гп —,, =Ь(х), Ь+ (х) — Ь (х) = 1!Гп —. 1 х а.+о я! в+а (А, 21) Дельта-функция б(х), рассматриваемая как функция комплексного перемснного, имеет два полюса первого порядка в 22 А. С.

дввывов Вычисление таких интегралов легко выполнить„если учесть, что ~ (х) = нб (х) — )У вЂ”, (А, 19) МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ Ь (г) = Ь+ ( — г) = Ь+ (г) = (Ь+ (г*))* ° Функции Ь+(г) и Ь (г) можно записать в виде Ь+ (г) = —., Ь (г) = — —. 1 1 25ях ' влрх ' если условиться выбирать путь интегрирования соответственно над и под точкой г = О. Б. Операторы момента количества движения в сферических координатах В $ 7 была даны выражения проекций оператора момента количества движения в декартовых координатах (Б, !) Найдем вид этик операторов в сферической системе координат.

Преобразованиям х=гз!пйсозф, у=гз)пйз(пф, г=гсозО соответствуют обратные преобразования г'= х'+ ух+ г', соз О= —, (уф= —, у Следовательно, дг — = з(п О з 1п ф, дг — =сов О дх д8 да со5 О 51п ф мп 6 г ду — =О дф дх СО5 ф Г 51П 8 дс — =з(пйсозф, дх дв со5 8 со5 ф дх 51П ф др г 51п 8 точках 1а н — /а с вычетами, соответственно равными 1/(2И1) н — !/(2л1). Прн интегрировании выралсеннй, содержащих Ь(г), путь интегрирования должен проходить между этими полюсами. Соотношения (А,20) и (А,21) остаются справедливыми и для комплексных значений х. При этом а1 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 67$ Используя эти соотношения, находим Ь вЂ” — »й к — — „— д Гдг д дЕ д дф д1 = — И~гяп9созф ~ — — + — — + — — 1— 1 де дг дк да де др3 — гз)пеяпф~ — — + — — + — — )= — !6 —.

(Б,2) lдг д дЕ д дф д1 д ~дх дг дх дЕ дх дф» дф' Таким же путем получаем Ьх= гй (зщ ф ~-+ с19 О соз ф — ), (Б, 3) Ь„= — )6 (соаф — — с1я951пф — ). д д ~ (Б, 4)» Следовательно, Ь'=Ьх+Ье+Ьх — — — Д'~-~ — й- ~ ~5)ПО дЕ)+ 51а»Е д» 1. (В, 5).

Вместо операторов Ь„, Ьр часто используют линейные комби-. нации Ьх + (ЬР = йене ~ — + г с1п 9 — ), дф д . д1 — 1ЬР—— йе-гт — — +)с1д 0 — 1. е Г да дф (' В. Линейные операторы в векторном пространстве. Матрицы Для облегчения чтения книги напомним некоторые определения, связанные с векторными пространствами конечного н бесконечного числа измерений. Понятие векторного пространства является обобщением понятия обычного трехмерного пространства. 1. Комплексным векторным пространством )т называют бесконечную совокупность комплексных величин А, В, С, ..., для которых определены линейные операции сложения и умножения на комплексные числа. Сами величины А, В, ...

называются векторами пространства Я. Векторное пространство )т является линейнылг пространством, т. е. оно обладает тем свойством, что любая линейная' комбинация двух векторов (например, аА + ЬВ, где а и Ь— комплексные числа) образует вектор, принадлежащий тому же векторному пространству. Каждой паре векторов А и В в вак ° торном пространстве сопоставляется число (А)В), называемос скалярным произведением векторов. Определенле скалярногб произведения дано в разделе 1т' этого параграфа.

22» мАтемАтичебкие дОпОлнения 676 Если в векторном пространстве )с существует система п незавлсимых ортонормированных векторов е„ез...,, е„; е,еа й,а, таких, что любой вектор из векторного пространства )с может быть представлен в виде ллнейной комбинации векторов еь например л А= Х А,ег, (В, !) ! то говорят, что векторное пространство имеет и измерений. Векторное пространство бесконечного числа нзмереннй называют гальбгртоеым лросгранстеом. В качестве векторов (элементов) гильбертова пространства можно рассматрнвать лннейное множество функцнй, определеннык в конечной нлн бесконечной областн ь).

Прн этом каждой паре функцнй ф($) н ф(й) линейного множества сопоставляется скалярное пронзведенне, которое обозначается выраженнем (ф(ф), удовлетворяющее четырем условиям: 1) (ф! ф) = (ф )ф) ' 2) (аф~+Ьфз! ф) = а (ф~ ! ф)+Ь (фз ! ф); 3) (ф! ф) ~О, 4) еслн (ф(ф) О, то 1р(я) — = О.

Иногда линейное множество функцнй со скалярным провзаеденнем, удовлетворяюшнм указанным свойствам, называют функциональным гальбергоеым пространством. Векторы состояний квантовых систем образуют функанональное гильбертово пространство. Полную совокупность независимых векторов е, называют базисной системой векторов, илн бизисолс векторного пространства. Комплексные числа А, в разложении типа (В,!) называют координатами вектора А. В функциональном гнльбертовом пространстве базнсной системой векторов является полная совокупность собственных функций любого лннейного самосояряженного оператора, определенного на множестве функцнй, входяшнх а гильбертово пространство.

Координаты вектора однозначно определяются заданием вектора н слстемы базисных векторов еь Выбор базисных векторов может производиться многими способами. Одному вектору в разных системах базисных векторов соответствуют разные системы координат. Следовательно, значения координат существенно зависят от выбора базиса. Однако некоторые величины, образованные из координат, не зависят от выбора базиса н определяют свойства самих векторов, например их длину, взаимное расположение и др. Переход от одного вектора А векторного пространства )с к другому вектору В того же пространства при заданном базисе е, осуществляется линейным преобразованием координат Вг = Х вгаАА. (В, 2) в| ЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 677 Коэффициенты этого преобразования образуют квадратную таблицу чисел.