Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986), страница 110

личастся от С„, (т) лишь знакоперемеиным сигналом о ( — 1)т — ', убывающим с воэ. т растанием т; в точке т = О Сво (О)= О и дельта-функция не возникает. 493 Второму слагаемому соответствует кепстр С, (д) исходного сигнала э, (Г), а первое слагаемое в соответствии с (16.39) приволит к следующему кепстру: М 2. ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ Пусть я (!) = ях (л!), л ) О, В соответствии с 42.3, и.

2 1 Яя (а) = — $, (а 1л) н 1п Ъо (а) = — 1п (л) -1-1п 8! (а/л) . л Кепстр сигнала я, (!) Ю 1 С»я (с) = — (п (л) — " е!ая «(а+ 2л,) 1 + — ~ 1п 3! (а)л) е»ич «(а = — !п (л) 6 (д)+л С, (ла). 2л т Изменение масштаба времени Г приводит к такому же изменению масштаба кепстрального времени Об кроме того, возникает функция 6 (4). При дискретизованнам сигнале изменеаие масштаба времени означает изменение шага Т при неизменном числе отсчетов А! (что необходимо для сохранения формы сигна.

ла). Положим Т, = лТ„л ) О, и запишем выражение (12.20) для з-преобразования сигнала яя (!) и — ! !ч — ! 3 (енот) ~~ я (т) е †' т, о» я,(т) е т=о т о При сжатии или растяжении исходного сигнала отсчеты функции я, (!) сохраняют свое значение (при А! = соля!). Таким образом, яг — ! ( «ог,) «у» я (л!) е-! !оч! т, 3 (е!ичг,) „!=о и кепстр 'от Ссо (т) = — ~ !п 3! (е!"ит ) соя (тлаТ!) «( (лаТ ). 2л,) Переход от шага дискретизации Т, к Т, = пТ, не изменяет структуры кепстра.

Изменяется лишь диапазон частот а, соответствующий одному обходу окружности едн. пичного радиуса на г-плоскости (от — п)Т», п)~Т! до — п~лТ„п!лТ!). Соответственно изменяетсн и масштаб кепстральнаго времени; ийтервалы между отсчетами кепстра на оси 4 будут Т, = лТ,. 3. СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА Применим преобразование Фурье к произведению и (!) =я (!) е ~«, где я (!) — «медленная» (модулирующан) функция со спектральной плотностью $ (а); е»и'! — несущее колебание.

Повторяя рассуждения, приведенные в з 2.7, п. 3, придем к спектру Зо (а)= )г я (Г) е!" е от б(=3 (а — ао). Тагд! )п Бо (а) =1п 8 (а — о»о) и кепстр сигнала л (!) Со (4) (п 3 (а — ао) е 'ч ба. г 2л 494 Перейдя к новой переменной () = в — в„ получим Ю С„(а) = — ~ !п 8 (й) с~ ~я бй ег"'з = С, (д) с'~'ч, 2л где С, (д) — кепстр исходного сигнала з (1). Итак, для определения кепстра С (р) модулированного колебания а (1) достаточно умножить кепстр С, (4) модулируюшей функции на евмч. В этом смысле эффект модуляции — домножение сигнала на несущее колебание проявляется одинаково для а (1) и С.

(д), 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА Сигналу з (1)= ' соответствует спектральная плотность 8 (в) = 1в8, (в) бзг(1) аг и логарифм 1п 8 (в) = 1п (иа) + 1п 8, (в). Поэтому С,(а) = — 1 !п((в) е'"ч бд+Сзг (д) =Сд„ф (а)+Сз, (д). 2л,) При дифференцировании сигнала зх (1) к кепстру Сга (а) добавляется кепстр С „ф (д), который запишем в форме Г, Г !п(гв) ) 2л 3 1 и» Спектральной плотности (1п из)/йа соответствует оригиналг — (у + 1п д) Х Х и (а), где у = 0,577...

— постоянная Эйлера; и (д) — единичный скачок в момент Г !п ((в) ) а= О, а произведению 1в(, 1соответствует производнаи Г 1 ар — — Ну+!и д) и (д)]= — ~(у+)па) 5 (с)+ — и(д)~=Сд„ф (а). Ч Таким образом, окончательно 1 С, (а)= — ~(у+)п д) 5(д)-~- — и (д)~+См (а). При интегрировании сигнала получается аналогичный результат, изменяется лишь знак перед С иф (а). Отметим, что дополнительный кепстр, обусловленный дифференцированием или интегрированием, не зависит от исходного сигнала. 5. СЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ По заданным сигналам зг (1), зз (1) и их кепстрам С,г (а), Сзз (а) невозможно составить общее выражение для кепстра суммы з (1) =- з, (1) + з, (1). Необходимо предварительно вычислить результирующую спектральную плотность 8 (в) = 8г (в) + + 8, (в). Исключением является случай, когда зт (1) и зз (1) полностью совпадают по форме и отличаются лишь по величине и по положению во времени, благодаря чему их сумма з (1) может быть представлена в виде свертки.

Этот случай был рассмотрен в 9 16.6. 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ СИГНАЛОВ Для нахождения кепстра сигнала з (1) = зт (1). з, (1) требуется знание свертки нх спектров 8 (в) и 8, (в), поэтому установить прямую связь между С,г (д), С,з (и) и кепстром С, (а) не представляется возможным. ' См., например: Справочник по специальным функциям1Пад ред. М.

Абрамови. ца и Н. Стигана. — Мл Наука, 1979. 495 Приложение [ ПРАВИЛА ПЕРЕХОДА ОТ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО ЛАПЛАСУ 7-. (р) К СПЕКТРАЛЬНО[![ ПЛОТНОСТИ 8(ш) Пусть заданному сигналу з (1) соответствует изображение по Лапласу бв (р), которое не имеет особенностей в правой р-полуплоскости, на имеет единственный полюс в точке рг = йо на линии йо.

На основании теоремы Коши можно показать справедливость равенства в+в 1 3 (!) =- 2пв бв(Р) е бР = — гез + — ~ б,((ы) ево в((!ы), с)0. 2 Р' 2пв' = — е Йв С 2 9 (ы) = [б (ы — ыо) +б (го+ овоВ+!ы!(ы] — ыз) . 2 З, з(!) =з!пы,й г) О; б,(р)=ы.)(ыЗ+р') (П1. 1) Смысл этого равенства в том, что контур интегрирования совмещается с линией йо и обходам справа особой точки по полуокругкности бесконечно малага радиуса г.

При обходе особой точки по замкнутому кругу интеграл равен вычету гез, а при об- ходе полуокружности (г 0) получается гез 1 2 Рв' Проиллюстрируем применение выражения (П!.!) на примерах простейших сиг- налов, изображения Ув (р) которых имеют полюсы на оси йо. 5(!) ! 1)0 ьв(р) 1)р Полюс рз=О, гез о=1; 1 1 з(1)= — + — ~ бв(!ю) егчи Йо. (П1.2) 2 2п Ю Спектральная плотность первого слагаемого в правой части (П1.2) равна пб (ы) [см.

(2.97)], а второе слагаемое является результатам интегрирования сплошного спек- тра соответствующей сигнум-функции [см, (2.99Ц. Таким образом, замена в бв (р) переменной р на йо в итоге приводит к выражению для спектральной плотности еди- ничного скачка $ (о)) = пб (ы) + 1/!ы, совпадающему с (2,100). 2. з(1)=сов мой ! > 0; йв(Р)=РДовоз+Р). Полюсы ргж — ш йов, рг гез Р=+ Йвв ре ! рг ! гез — — эС 2р . 2 Р= — Йвв Спектральная плотность Полюсы р!л= ж !ыо гоо гхм ! ! ! = — его' гез = — — е я, 2ы 2 ' ' 2 5(ы) —; — "(6(ы — ыо) — 6(го+озоЦ+ыо!(ыо ы ).

2 Из приведенных примеров видно, что к спектральной плотности, получаемой подстановкой р = гы в изображение по Лапласу, нужно добавить дельта-функции, обус. ловтенные полюсами функции 6,(р) ка оси !ы. Приложение 2 ПРАВИЛО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ СИГНАЛА Пусть исходному сигналу з (!) соответствует изображение по Лапласу 6, (р), не имеющее полюсов в правой р-полуплоскостн н на аси гы.

В результате интегрированна палУчитса сигнаЛ зи„(!) с изобРажением й, (Р)/Р, так что с+! хинт (г! =, ) ! р !. (р) ел~!(р, !) О. (П2. 1) 2н1,~ р с — !' По аналогии с (П1.1) перейдем к выражению ! ! 1 зиит (Л = гезс — о+ — гм 6о Вы) !иг,~ е!" с((ио) = но ! ! !' 6,(по) = — гез + — ~ с!то! йо. 2 с=о 2п ) !ы (П2.

2) ! — гез .2пб (ы) = н5 (0) 6 (ы) . а=о Итак, в общем случае 5иит (ы) =-п5 (О) 6 рв) +5 (го)г!о!. Пранллюстрируем это выражение примерами. 1, з 1!) = 6 (!)! 5 (ы) = 5 (0) = 1; знит (Π— ! — единичный скачок. По формуле (П2.4) Винт(ы) =нб(ы)+!)! (П2. 4) т См.; Тропин Ю. В. Утеряна дельта-функция! — Радиотехника и электроника, 1966, № 2. Вычет функции ьс (р) есг!р в полюсе р=О гезр а — й~(0) =.5 (0), (П2,3) где 5 (0) — спектральная плотность исходного сигнала з (!) на частоте ы = О.

Напомним, что 5 (0) равна площади сигнала, так что, если выполняетсн условие (з (!) с(! -о = О, то гезр о обращаетсн в нуль и подынтегральная функция й, (!ы)Лы = $ (ы)Лы полностью определяет спектральную плотность функции з„ят(!). Если же условие 5 (0) =--0 не выполняется, то 5 (!ы))!ы определяет только сплошную ! часть спектРа' фУнкции свит (!).

СлагаемомУ же 2 гезр о соответствУет спектРальнаа плотность 2. з (/) = сое "з, 1;ъ 0; 8 (оз) =,, 5 (0) =1; зх+ 1«в зннт(1) =(1 — е "з), 1> О. /оз 1«сз1 Зннт (оз) = пб (ю) — (1/зз) / ~~ — ~ — з —, 11/тн, (/( < тн/2 3,,(/) =' (/) > тн/2 — пРЯмоУгольный импУльс Длнтельнастью тн н амплитУДой 1/тнз 5 (ю) = гйпс (ыт„/2), В (0) = 1; О, 1 ( — т„/2, эянт (1) = 1/2+//тн, ) 1(< тн/2, 1, 1) тн/2. К концу импульса з„нт (/) достигает максимального значения, равного рое остается постоянным; 1 Знвт (оз) =пй (ы)+ — з1пс (озтн/2).

4. з(!) =з1пс (п//тн); 3 (ы)=-! ( ю ! ( зз/тн О, )ы))п/т„), 5 (0) =1; 1 1 зннт П) = — + — 51 (и//с„); 2 и пб (и)+1/!ы, (ю) ( и/т„, Вант (ю) = О, (ю))п/тн. 1, като- Приложение 3 СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОИ .„,н- с — «*~ "" ) «,««о«о«,~. (П3.1) Это выражение получается нз (3.97') заменой т на 1 — /о [прн /о = 0), а также переменной интегрирования / на х. интеграл в (пЗ.!) имеет смысл коррелнцнанной функции Вл (1) комплексной огнбающей А (1).

Удобно указанную функцню записать в форме з Вл (!)= ) А(х)А'(х — /) з(х, что равноснльно изменению знака сдвига /. Тогда (П3.1) переходит в о ых (1) =С вЂ” Ке ез"' ) А (х) А* (х — 1) з(х =С вЂ” Ке (ез"' Вл (1)1„(ПЗ.2) совпадающее с (13.55). 498 Сигнал на выходе согласованнога фильтра совпадает по форме с корреляцнанной функцией входного сигнала, поэтому в случае укаполосного сигнала (13.54) целесообразно совершить переход к аналитическому сигналу, что позволяет воспользоваться соотношением Приложение 4 СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО СИГНАЛА Обобщим выражение (13.65) с учетом условия физической осуществимости фильтра !о Ы О, а также отказа от требования симметричности сигнала А (!), Исходный узкополосный сигнал запишем в форме а (!)=А (!) сох [ыо! + 0(!)1=1«е [с ~" А (!)], где А (!) = А (!) е! 1«! — комплексная огибающая сигнала.