Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986), страница 109

Этот вопрос рассматривается в 5 16.10. Можно, однако, привести большое число сигналов, для которых указанные затруднения не существуют. Это особенно относится к дискретным последовательностям, а также к сигналам, выраженным через дельта-функцию. Например, для основного испытательного сигнала з (() = б (1) очевидны слелуюшяе равенства: 8 (ы) = 1, 1и 8 (ы) —.— О, С, (д) = О. (!6.42) 1 С, (41 = — ) е сш ' есш«пес=а (4 — /«). 2л Кепстр рассматриваемого сигнала з (/) содержит всего лишь один импульс б (я— — /з), задержанный (на оси с/) на время /,. Приведем еще пример контннуального сигнала вида з (/) = 1/л/, — со ( / ( ео, для которого спектральная плотность (!6.441 1 Г с.

сов ш/ с. Мпоз/ 1= — / при ш ) О, Б (ш) = — ) с(/ — с ) — с(/ 3 с ~=+с при ш<0 (см. $ 3.9, с. 93). Учитывая, что ч-с' = с+с"/з и 1п (е" С"/з) = ~ йс/2, получаем — сл/2 при оз > О, 1п 8 (со) = +йт/2 при ш (О. Таким образом, !п Б (ш) отличается от 8 (ш) только коэффициентом л/2 из чего следует, что кепстр рассматриваемого сигнала з (/) = 1/л/ л 1 1 С, (д) = — — = —. 2 яд 2с/ В данном примере кепстральное преобразование не изменяет формы функции. Приведем еще пример сигнала вида з (с) = а /л (аз + /з), для которого спектральная плотность 8 (ш) = е о(и( и !п 8 (ш) = — а!ш!.

Запишем это выражение в следующей эквивалентной форме: — а [ — О (сш) прн се > О, !п 8(ш)= — а (+ О (/ш) при ш ( О. От предыдущего примера 1п Я (ш) отличается множителем !ш, соответствующим операции лнфференцировання, а также заменой л/2 на а; следовательно, обратное пре. образование Фурье, определяющее кепстр, дает 16.10. СВОИСТВА КОМПЛЕКСНОГО КЕПСТРА Предполагается, что ФЧХ спектра О, (а) — непрерывная антисимметричная функция а, а О„, (а) — главное значение аргумента, определяемое «по модулю 2л», т. е. с отбрасыванием целого числа 2л, так что !О„„)- л. Неоднозначность можно устранить, основываясь на непрерывности функции О, (а) н задании ее значения на какой-либо фиксированной частоте. Из-за нечетности функции О, (а) целесообразно положить О, (0)= 0 Продифференцируем !п Я (а) по частоте: ! с(8 (ш1 — 1п $(а) =— с/ш 8 (ш) с(ш 489 Одной из основных операций при определении кепстра является логарифмирование спектральной плотности входного сигнала.

Рассмотрим этот вопрос сначала с позиции континуального сигнала з (/), спектральная плотность которого $ (а) = 5 (а) есо ' '. Логарифм этой функции следует записывать в общей форме ! п $ (а) =! п 5 (а) + с 0„(а) =! п 5 (а) + с 10„.л (а) + )с2л). (16.45 Тогда функцию 1п Я (ы) можно определить с помощью интеграла Ш 1п Я (ы) = ~ — йа, ! из(м) 8 (и) йг о (16,47) имея в виду, что при 9, (0)=0 и нормировке 5 (О)=- 1 1п о (0)=-0.

Определенная таким образом функция !п Я (га) является однозначной. Используем аналогичный способ устранения неоднозначности комплексного логарифма для дискретного сигнала. Логарифмическая производная по аналогии с (16.46) ! и5 (г) — 1п6(г) = —. нг $ (г) Нг или т" (г) = Ь' (г)(Я (г), где штрих обозначает производную по г, а г' (г) = 1п Я (г) рассматривается как г-преобразование, которое можно записать в виде ряда т'(г) = 1п Я(г) = ~ у(т) г — ~п (16.49) Заметим, что применив к (16.49) обратное г-преобразование, получим у (т), которое есть не что иное, как искомый кепстр (комплексный). Однако предварительно необходимо устранить неоднозначность комплексного логарифма !п 6 (г).

С этой целью продифференцируем (16.49): 'г" (г) = ( — т) у (т) г — — ' = Б' (г) (6 (г) и умножим г" (г) на г: гт' (г) = ~', [ — ту(т)[г — =г6' (г)3(г). Входящий в это выражение ряд по отрицательным степеням г представляет собой г-преобразование последовательности ( — ту (т) ), поэтому с помощью (16.40) получаем — ту(т) = — 4[г$' (г)Ж(г)[г — ' Ыг, 2гн ц с у (т) = — — 4 [Б' (г) ~Я (г)! г г(г. 2п(т (16.

50) 490 Найденное таким образом значение у (т) можно обозначать символом С„ аналогичным обозначению кепстра мощности С,. Приведенные рассуждения справедливы при условии, что окружность единичного радиуса на г-плоскости входит в область сходимости функции 1п Б (г). Заменив контур интегрирования С на [г[ = 1, перепишем (!6.50) в форме у(т) ~ (Я (есыт))о(есют))есыт1т+з11((соТ) =С (ит) т)1.

(16 51) Итак, комплексный кепстр найден без обращения к логарифму и, следовательно, однозначно. При т=0 значение кепстра можно определить непосредственно из второй части выражений (16.41): л С, (О) =д(0) = — ~ 1п5 (е'ыт)с1(озТ) = л = — ~ (!п($(еют)(+1агй6(е™)) с((озТ) Поскольку агд Я (еа"т) является нечетной функцией частоты, получаем: С,(0) = — $ 1п13(е'"') (т((соТ) (16.51') — л Наряду с описанным методом, основанным на логарифмической производной, широко распространен метод прямого вычисления комплексного логарифма с помощью БПФ.

При этом используются соотношения тт — ! и-1 у(лз) = — чрт 1п Я(а) ес1зл/тт1лю = — яра (1и 5(оз)+. Л1 У л=а л=а +1(Оагл(оз)+й 2п!) е'1'л1и>" т=0, 1,.„, йг — 1. Главное значение аргумента О, „(ы) вычисляется на ЭВМ непосредственно с помощью стандартной программы.

Это главное значение фазы затем «разворачивается» так, чтобы получились отсчеты из непрерывной ФЧХ спектра сигнала. Непрерывная ФЧХ О, (оз) и отсчеты О, (и Лсо) показаны на рис. !6.17, а, а главное значение О,га (оз) — на рис. !6.17, б. фат ззт а> оз гв то!1 Ф о аозт 2зт Рис. 16.17. Устранение неоднозначности фазы 9,(ы): а) непрерывная ФЧХ аь(юи а) главная часть фазы; в) яорреяоз тпруюгаав последовательность 49! В пределах одного интервала Аю набег фазы значительно меныпе и.

На частотах ю =- пбю, где скн ч 9, (оз) превышает -!-и, для восстановления истинного аргумента требуется добавить — 2ги соответственно при скачке — и требуется добавить + 2п. Нз рис. ! 6,17, в изображена корректирующая последовательность, добавляемая к последовательности О„„а (и). В заключение рассмотрим важный для практики случай входной последовательности (з (и)), лг ) О, когда г-преобразование (одностороннее) определяется выражением 5(г) — Х $(т) г т (16.52) т=о причем полюсы и нули функции 8 (г) расположены внутри единичной окружности, т. е.

радиус сходимости ряда (16.52) г, ( 1. Подобные последовательности называются м и н и м а л ь н о -ф а з ов ы и и, по аналогии с системами, передаточная функция которых К (г) имеет особые точки (полюсы и нули) внутри круга )г! = 1 (см. 9 15.9). Таким образом, модуль и аргумент г-преобразования минимально-фазовой последовательности однозначно связаны, а комплексный логарифм !пав(ег"г) =1п) 6(е'"г)(+!О (ю) обладает тем свойством, что его действительная и мнимая части образуют пару преобразований Гильберта.

В этом случае комплексный кепстр можно вычислять по формуле С„(т) = у(т) = 2 х — ( 1и) $(ег"') ) сов(тшТ) г((юТ), 2п,! — и которая отличается от (16.20') только степенью !5 (е'"')) в аргументе логарифма. Из последнего выражения видно, что комплексный кепстр минимально- фазового сигнала з (т) равен кепстру мощности С, (лг) того же сигнала, и для его получения можно воспользоваться схемой, представленной на рис. 16.11. Простейшим примером минимально-фазового сигнала является з (!) = = е — "', ! ) О, с г-преобразованием $ (е'"') = 1/(! — е — "'е'"т), имеющим нуль га = 0 и полюс г„= е — "' ( 1 (см.

(12.22)1. Сигнал з (!) = Аге — "', рассмотренный в 9 16.7, является другим примером минимально-фазового сигнала. 16.11. НЕКОТОРЫЕ СВОИСТВА КЕПСТРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ По аналогии с теоремами о спектрах, изложенными в $ 2.8, рассмотрим связь между некоторыми преобразованиями исходного сигнала з (Г) и преобразованиями кепстра. Установление этих связей представляет интерес в основном применительно к хомплексным кепстрам. !.

СЛВИГ СИГНАЛА ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Пусть исходному сигналу зз (Г) со спектральной плотностью Зх (ю! соответствует кепстр см (о), при задержке сигнала на га получим функпию времени з, (г) = з, (!в — га) со спектральной плотностью 8 (ю) = е !опвг (га), логарифм которой !п За (ю) = — !юга + !п Зг (ю).

492 1 Сю [д) = — Го — ) ио е'ео йо. 2п,) (16.53) Учитывая, что функции 6 (4) соответствует спектральная плотность, равная единице, множитель !ы можно рассматривать как спектральную плотность функции в( в)4 б (4). Тогда (16.53) определяет функцию б (4), и, следовательно, й) Ого (4) = — !о 6 (4) й) (!6.54) Таким образом, кепстр сигнала эо (Г) = зв (à — Го) и' Сов (4) = — Го — б (4)+С~в (4).

й) Иэ сопоставления (16.55) и (16,54) вытекает, что кепстр смещенной дельта-функции 6 (! — Го) равен — Го 6 (4). Оперирование производной дельта-функции затруднив! й) тельно, однако при обработке сигнала можно исключить участок кепстрального времени в окрестности точки д = О. Рассмотрим соотношение между С„(т) и С„(т) для цифрового сигнала э, (т] = = эв (т — то) Основываясь на методе г-преобразования, получаем 8 (егмт) е — гт,в г 8 (евиг), !п 3» (е'ег) = — !то юТ г 1п 8» (е~ег) Применяя к этому выражению обратное г-преобразование по формуле (12.28), по.

лучаем (16.55) 1 (' С„(т)= — !впо — ( иТе~~ит в((иТ)+С,г (т), 2п где С„(т) — кепстр сигнала э, (вп), а 1 Сго (т) = — !т — ( хеГт» в!х. 2п При т = О интеграл обращается в нуль, так что С„(О)=О. При т ~ О ) хе~~»в(х= ) х сов (тх)в(х+! ) 'х гбп (впх) в)х — л — л — и ебп (тп) — тп соз (тп) и =2в — — 2! соз (тп) т' т ввпо ( вт ) то Сго (т) = — — ~ — 2в — соз (тп)~ = — ( — 1) 2п ~ т т Таким образом, при т Ф О Свз (т)= — ( — 1)т '+Ст (т). Как видим, в случае цифрового сигнала кепстр С„(т) задержанного сигнала от.