Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика.djvu), страница 48

муле (4) задачи 9,2 0В'~ - ~р! (1Р' — 1Ю. 244 Умножая последнее равенство на произвольный множитель а и складывая с равенством (4), имеем: Тогда (4) 2 — = й ха аа! рИ (йтг — В' ) 1п —. )! +! Как легко видеть, Я7~ (йх! — йх!)!и — ) О В'у при любых В'! и В'). Поэтому В заключение заметим, что из выражения (!) вытекает формула Больцмана при условии равенства вероятностей всех микросостонний. Г!усгь Я вЂ” полное число минросостояний системы.

Из (3) следует ~~~'В'! — — () В';= 1 Тогда И5 — йХХР,! (Вт — Ч !) 1п Вг. и! ! ! Заменяя индекс суммирования ! на!, а ! на 1, получаем: — =йХХр)г(йг! — )Р!) 1п)Рр г!! (5) В силу принципа детального равновесия ру! — — рйн складывая выражения (4) и (5), приходим к формуле ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Пусть заданы функции д, = 4, (х, хз, .„, хг); ! = 1, 2.. Из ннх можно построить определитель дпт д41 дцг дх,дх, '" дхг дзз дца де, дх, дх, дхг дог деу дцу дх, дх, дху который обозначается как д(цн рм ", цу) д(х„х„..., ха) (П. 2) и называется якобианом.

Если величины х; и д; обозначают два набора ортогональных криволинейных координат точки в /-мерном пространстве, то д41дпа " дчу = дхздхз -. дху. д(йы дм ..., 4)) (П. 3) д (х,, хз, ..., ху) 2. Докажем формулу е 1 е а«дх и Допустим, что для й-й с1епени х формула (П.4) выполняется. И х"е '"дх =— аеет е Интеграл с и = й + ! проинтегрируем по частям: 1 а+1г, (а+!)! е хаме а«дх= — — (хеюе а«] -(- — ! хзе-а«дх= о 246 и! хае а«дх =— (П. 4) аа+з о прн а ) О и целых положительных л. Используем метод полной математической индукции.

При л = О: 3. Сделаем в интеграле (П.4) подстановку х = у'. После несложных преобразований получаем формулу л! узл+'е 'У Ау — — ' (П 5) 2а" ьх о 4. Для вычисления интеграла 2 г А = ~ е л«зах = 2 ~ е а«~Ах = — ~е 'лаз используем тождество лл 00 Аз — )Г Й ~е л г(р= — Де !"+л1~(ятр. О а 00 Рис. 47 з Сделаем замену переменных в двойном интеграле: г = ) аз+ р'! ф= агс13 —, Р 4 Аз = — ( ) е г гг(таф.

а о! б о и В последнем выражении интеграл по г вычисляется с помощью (П, 5). А' — — —. а Следовательно, е акад« = 1 1' а (П. 6) 5. Продифференцируем равенство (П.б) по а )' гс е-л«зхзах = 2аз!3 Повторяя дифференцирование, на л-м шаге получаем: 1 3 ... ° (2л — 1) Г и 1' е а«зхзлнх (2а)"- з' а ' (П. 7) 6.

Согласно (П. 7) 1 ° 3 ... (2п — 1)л Га е хзбх= 2 (2а)" зг а (П. 3) 247 которая соответствует переходу от декартовых к полярным координатам на плоскости (з, р). Поэтому произведение ЙАр заменяем на п(пйр (рис. 47). Сделаем подстановку у =- к'. Получаем; ! т ! 3 ° " (2и — 1) Г л е аху ' г(у = (2а)" а а (П. 9) 7. Приближенная: !,ормула Стирлинга имеет вид 1пх! =к!пх — х (х)) 1)„ (П. !О) 8. Найти чисто способов, которыми можно разложить У различных шаров по т ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось заданное число шаров ль Решение. В первый ищик мы можем положить л! шар стольким числом способов, сколько сущес вует сочетаний из У по ль Пусть в первый ящик уже положено и, каних.то шаров. Тогда во второй ящик мы можем положить л, из оставшихся У вЂ” и, таким числом способов, которое равно Сии'и .

Таним образом, первые два ящика мозкно заполнять С"', С~" способами. Нетрудно андсть, что все т ящиков можно за— и, полнить числом сгособов, равным М! (М вЂ” п,) ! — Ф вЂ” л,— и, †... — лт, л 1(У вЂ” и1)! лз! (М вЂ” лх — и,)1 (М вЂ” л,— л,†... — ит,)! лт! (У вЂ” ит — и, — ... — лт)! Полагаем, что (М вЂ” и, — п, — ...

— ил,)! = О! = !. Сокращая одинаковые мно. жители в числителе и знаменателе, получим: У! Я= и,!и,! ... ит! и . У! (т — !)! = (У+ т — !)! Отсюда (У+ т — 1)! И= М! (т — !)! 1О. Найти число способов, которыми можно разложить У неразличимых шаров по т ящикам так, чтобы ни в одном ящике не было более одного шара (т ~ У), Решение.

Пусть шары уже разложены каким-нибудь одним нз возможных способов. При атом т -- У ящиков должны быть пустыми, а М заполненными, Все другие распределения можно получить, переставляя ящики между собой. Новые распределения 248 9. Найти число способов, которыми можно разложить М шаров по т ящикам, считая все шары сонершенно одинаковыми, неразличимыми.

Решение. Положим все шары в один ряд друг за другом. Вставим между ними (гл — !) перегородок. При этом получаем одно из числа возможных распределений шаров по ящинам. Все остальные распределения можно получить, делая перестановки шаров и перегородок. Причем новые распределения получаются только при перестановке каного-нибудь шара и перегородки, перестановки одних только шаров или одних только перегородок между собой не порожда)от новых распределений. Пусть шары и перегородки допускают Р разных способов перестановон.

Если Й умножить на У! перестановок одних только шаров и на (гл — 1)! перестановок одних только перегородок, то получим в результате все возможные перестановки из У + т — ! объектов — шаров и перегородок. Таким образом: получаются, если переставить местами заполненный и пустой ящик. Перестановка мегкду собой только пустых вли только заполненных ящиков новых распределений не дает, Пус гь 2 — число возможных способов разложить шары.

Оно равно числу перестановок пустых и заполненных ящиков. Если Р умножить иа число перестановок одних толы<о пустых ягников ((ш — гу)!) и на число перестановок одних только заполггсггггых ящиков (дг!), то получим полное число перестановок ящиков. Таким образом, т! ь) Дг! (гл — йг)! = и!. Отсюда Я = ЛЧ (гп — йг)! ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ЧТЕНИЯ Анс ел ь и А. И. Основы статистической физики и термодинамики. — Мл 1973. Б а з а р о в И.

П, Термодинамика. — Мл 1976. Г е л ь ф е р Я. М. История и методология термодинамики и статистической физики. — Мл !98!. Л а н д а у Л. Д„ Л и ф ~и и ц Е. М. Статистическая физика. — М .: !973. Л е о н т о в н ч М. А. Введение в термодинамину. Статистическая физнка.— Мл 1983. Матвеев А.

И. Молекулярная физика. — М.: !981, Р у и е р Ю. Б., Р ы в к и н М. М. Термодинамика, статистическая физика н кинетнка — Мл 1972. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение Глава 4 1. Элементы теории вероятностей 19 Глава 27 33 251 4 3. 4 4. $5. 6. 1. Элементы теории вероятностей и некоторые ее приложения в молекулярно-кинетической теории 1.1.

Распределение вероятностей для значений случайной физической величины (8), 1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей (9), 1,3. Вычисление среднего значения случайной величины. Оценка разброса ее значений (9), 1.4. Многомерные распределения вероятностей (10), 1.5. Гауссовский закон распределения вероятностей (1О), 1.6. Теорема об относительной флуктуации аддитивной физической величины (11) Распределение молекул идеального газа по скоростям 2.1*. Вывод распределения Мансвелла (12), 2.2'.

Вычисление давления газа на стенку сосуда. Физический смысл параметра 5(14), 2.3. Распределение Максвелла для модуля скорости, Энергия идеального газа(16) 2.4. Свойства максвелловского распределения по скоростям (17) Задачи к главе 1 11. Основные памятия н примципы !статистической физнии Микроскопическое описание маяроскопической системы в классической статистике 3,1. Предмет н метод статистической физики (22), 3.2.

Микроскопиче- ское состояние (23), 3.3. Фззовое пространство (24) Микроскопическое описание состояния квантовой системы 4,1. Задание микросостояния квантовой системы (27), 4.2, Расчет числа возможных состояний для идеального газа (29), 4.3. Соотношение неопределенностей и число квантовых состояний (30) Функция статистического распределения в фазовом пространстве 5.1. Вероятность состояния и вероятность значения физической вели- чины (33), 5.2.

Макроскопические величины как средние аначения по состояниям (34), 5.3. Квазинезависимые подсистемы (35), 5.4. Состоя. ние статистического равновесия (36) Законы статистического распределения 6.1. Теорема Лиувилля и зависимость функции распределения от энергии (38), 6.2. Микроканоническое и каноническое распределения 57 Глава 62 82 85 Глава 89 в 12 9 13 8 9 9 1О 9 П (41), 6.3. Термодинамическая вероятность, или статистический вес ма- кросостояния системы.

Статистическое определение энтропии (42) Каноническое распределение Гиббса . . ., .. . .. .. .. . . 45 7.1. Вывод канонического распределения из микроканонического (45), 7.2. Статистическая температура (48), 7.3. Каноническое распределение в квантовой и классической областях. Квазикласснческое приближе- ние (51), 7.4. Сводка основных понятий и принципов статистической фнзиии (53). Задачи к главе П 54 П!.

Законы статистической термодинамики Описание макроскопической системы с помощью термодииамических величин 8.1. Параметры термодинамического состояния (57), 8.2. Равновесное состояние в термодинамике (58), 8.3. Внутренняя энергия (59), 8.4. Тер- модинамическая температура (60) Первое начало термодинамики 9.1. Равновесные процессы (62), 9.2. Работа в термодинамике. Теплота (63), 9.3. Первое начало термодинамики (64) Второе начало термодинамики 10.!. Связь изменения энтропии системы и теплоты (бб), 10.2.

Неравно- весные процессы и запои возрастания энтропии (68), ! 0.3. Второе начало термодинамики. Обратимые и необратимые процессы (70), 10.4. Следст- вия из второго начала термодинамики как его другие формулировки (72), 10.5. Основное термодинамическое равенство-неравенство. Мак- симальная работа процессов (75), !0.6. Абсолютная шкала температур (76), 10.7. Особенности трактовки второго начала термодинамики (78) Третье начало термодинамики П.! Формулировка и статистическое обоснование третьего начала тер.

модинамики (82), П.2, Недостижимость абсолютного нуля температуры (83), 1!.3. Следствия из третьего начала термодинамики (84) Задачи н главе !П !У. Термодинамические функции. Вычисление термоцннзмических функций с помощью канонического распределения Уравнения состояния и термодинамическая функция 12.1. Уравнение состояния (89), 12.2. Термодинамические потенциалы или характеристические функции (90), 12.3. Свободная энергия(90), 12.4. Термодинамический потенциал Гиббса и другие термодинамические функции (92), 12.5'. Нахождение одних термодинамнческих функций через другие и особенности применения функций (93) Термодинамика систем с пенеменным числом частиц 13.1.

Химический потенциал. Основное термодпнамическое равенство. неравенство для систем с переменным числом частиц (95). 13.2, Зази. 4 14 4 !5". Каноническое распределевие Гиббса для систем с переменным числом частиц !06 Задачи к главе !Н 108 Глава 117 121 !28 132 138 ', 16. 17. ! 18 9 !9 9 20 симость термодинамических функцив от числа частиц (96), 13.3*. Боль шцй термодинамический потенциал Гиббса (97) Вычисление термодинамических функций с помощью канонического распределения 98 14.!.