Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по термодинамике (Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по термодинамике.djvu), страница 12

71. Решение. Согласно первому началу термодинамики да=~и — ~ а. Исходя из условия, что 1=1(Т, 1), будем иметь: д1=( —,",) дт+(Я а~, Подставляя й в выражения для ЬЯ, получим: =~(Ф),+ ( —."'И-+ ( — '~), ~ Здесь введено обозначение х аг)г Тогда С =а), +КЕ) с,-с,— к( — „,) -~( — „) — ф — „), или а + ЗООЬ = 28,50 ) а + 800Ь = 40,1 .) ' Ее решение дает: а 21,54, Ь = 0,0232. Окончательно имеем: Ср (Т) = (21,54 + 0,0232 Т) кдж)(кмоль ° град). 73.

Решение. Экспериментальные данные не являются абсолютно точными; а имеют систематические и случайные ошибки. Поэтому нужно составить такую формулу зависимости теплоемкости от температуры С„= а+ ЬТ, которая приводила бы к минимуму погрешностей. Согласно теории вероятностей ошибка минимальна тогда, когда сумма квадратов разностей между вычисленными и экспериментальными значениями ~ ~ср — (а+ ЬТд~~~=ф минимальна.

Г 72. Решение. Интерполяционную формулу температурной зависимости молярной теплоемкости Ср аммиака представим в виде линейной функции: С =а+ ЬТ. Для определения постоянных а и Ь на основе экспериментальных значений Ср составим систему уравнений: Рассматривая эту величину как функцию а и Ь, из необходимого условия минимума ~р получим следующую систему уравнений для определения постоянных аиЬ: Х (С',о — а) — Ь Х Т, = О ~ (С" ,— а) Т; — Ь ~ Т';=О где п — число экспериментальных точек. Для упрощения расчета вместо Т введем переменную т-зоо ьоо Данные задачи для удобства сведем в таблицу: с т* Р т" с 140926 41 489 193,38. Подставив найденные значения сумм в систему уравнений и решив ее, найдем: аж28,08, Ьж42,2 ° 10 '.

Следовательно, Ср (Т) =-- (28,08 + 42,2 ° 10 ~Т) кдж)(кмоль ° град). 74. Р е ш е н не. Пользуясь первым началом термодинамики, запишем: сдт с,дт+(с,— с,)( — ''~дт. Отсюда (аТ вЂ” Ст) г(Т = (Ср — С„) — г()/. зоо 500 700 900 150О 2000 о 2 4 6 12 17 о 4 !6 36 144 289 29,13 29,76 31,10 32,44 34,99 35,96 о 59,52 124,40 194,64 419,88 611,32 Разделяя переменные и интегрируя, получим: оТ вЂ” Си1пТ =(ф— Си)!и )7 +1п А (А =-сопз().

После потенцирования имеем; аТ Т)тт е г = сопз1. 75. Решение. Используя результат задачи 61, запишем первое начало термодинамики в виде: бд=С, 7Т+(С,— С,)( — д') )т. Для адиабатического процесса 69 = О, поэтому или (Т+ ', ',ЛТ=О, где у =С /С, Гдк~ Далее производную ( —.) следует выразить через Т ( дТ)р и )т из термического уравнения состояния. с 76. ТРТ =сопз1, где у= —. с 77. Т()т — д) г =сопз1. 78.

Решение. Для идеального парамагнетика ба =('„~) 7Т+[(© — р,Н~()М. Отсюда С (д77) С„=С +[®) — р,н~®) . С помощью полученных выражений для адиабатического процесса в переменных М (намагниченность) и Н (напряженность магнитного поля) получим дифференциальное уравнение: дТ дТ с„ (ан) 71Н+ у (дм) 77М=О, где у= с 87 лн Используя термическое уравнение состояния Т =— 1А = сопз1), вычислим производные Тогда дифференциальное уравнение адиабаты преобразуется к виду: ан дМ вЂ” =у— Н М При у=сопз1 в результате интегрирования получим НМ "= сопз1.

ГдМ'~ С /дМ ъ 79, 1 — ~ =-М.~ — ), где С,и и Сн — тепло- ~ дН Л,~ Сн ~ дН Л' емкости магнетика соответственно при постоянной намагниченности М и при постоянной напряженности магнитного поля Н. Гд11 Сс гд11 80. ( — ) = — ( — ), где С~ и Сг — соответственно ~д11ад С1 ~д1)г' теплоемкости прн постоянной длине и при постоянном натяженни. У к а з а н и е: Следует записать первое начало термодинамики в виде 6(г С,(дг) И+С,(дг),УР 81. Решение. Пользуясь соотношением р= —, и выразим С помощью дифференциального уравнения аднабаты "+ (~:),( — ':),-= находим, что или При получении последнего равенства 6ыло использо- вано тождество В результате для о, получим: (=Ю Найденное выражение для скорости звука позволяет с определить отношение теплоемкостей — , если из с опыта известны скорость звука и изотермический коэффициент сжимаемости 8.

82. Решение. Используя результат задачи 81 получим: ./т с е, = ф — )гТ . где у = —, н — молярная масса. = к — ь (")"' 84. Решение. Запишем первое начало в виде Ьа=С, )Т+(С,— С,)(Я ( (1) оЯ = С г)Т. (2) Подставляя выражение (2) в (1) и поделив все члены на С вЂ” Сг, получим дифференциальное уравнение политроп: с — с ~~Т (дн) В случае идеального газа 89 Тогда дифференциальное уравнение примет вид: с — с, ат л' с,-с,' т к В результате интегрирования получим: Т7" ' =сопе1 с — с, или в переменных р и 1г: р*г'"=сопз1, где а=с 85. Р е ш е н и е.

Выражая теплоемкость С через Сю легко получить соотношение с с1э1 ч — т С, =э-1' В рассматриваемом случае, когда у = 1,4 и и = 1,32, с 1 С„4 ' Из уравнения Т'гд"=сопз1 определяем, что ЛТ(0, Поэтому внутренняя энергия в данном процессе умень- шается и Я =4, А=Я вЂ” 50=59, т. е — = 5. А Я Таким образом, в данном процессе газ совершает в пять раз большую работу по сравнению с количеством поглощенного тепла. Большая часть. работы совершается за счет уменьшения внутренней энергии газа.

86. Решение. Теплоемкость для данного про. цесса С=" тС„ при этом и ) у, так как политропа круче адиабаты, а следовательно, и ) 1. Поэтому рассматриваемый процесс характеризуется положительной теплоемкостью С ) О. Изменение температуры определяем из уравнения политропы в переменных Т и Р: при сжатии Л*г'( О, поэтому ЬТ ) О и Я = СЬТ ) О. 90 87 А 18 6, 10здж И/ 6 54. 10з дж 88.

КТ'> О, так как Т$ а4- сопз1, 89. С = 2 (у + 1) Ст. ! 90. С = — Ст, р=аТз (а =- сопз1). 91. С= — Ст, ЬТ<0; температура при расширении уменьшается. 92. Внутренняя энергия уменьшается, т. е. Рве !2. ЛУ <О, 93. п=0,9, ЛУ 2 ккал=8,4 10' дж. 94. п=0,9. 96. С =ЗСт, — = —, ЛТ <О. — У 96. С(п)= т! Ст. График С(п) изображен на рисунке 12. 97. Указание.

Нужно использовать выражение С= — тС . и — ! а ! -!— 98. (р+ — „,)()т — Ь) и =сопз1. Указание. Нужно использовать выражение для Ср — Сг, полученное при решении 'задачи 61. 100. Решение. Интегрируя соотношение Сев т дУ1 — по температуре и принимая во внимание т Ы— ои~ — „, ! =О, получим У(Т) = ~ Сто!Т+Ум т. е. ау)т о Используя данное в условии выражение для Ср и значение !с = 1,986 кал/(моль град), найдем: У (г,) — и 1г,) = ~6,63(1, — !1) + + 0,0! (1з — !1) + 2,4 10 (гз — 11)). В рассматриваемом случае ЬУ ж 8,64 ° 10з —" ьл !02.

Решение. Процесс происходит без теплообмена с окружающей средой, так как сосуд теплоизолирован. Тогда на основе первого начала термодинамики заключаем, что ЬУ = — А. При расширении работа газа А1 = О, ибо масса поршня пренебрежимо мала и во второй части сосуда создан идеальный вакуум, поэтому при расширении газа температура его остается постоянной, равной Т,. Прн адиабатическом сжатии газ совершает работу Ам равную ,1 ~о, ~1 Здесь Р1 — объем сосуда, Р,= —, — =С„, так Ф'1 Р 2 ' т — 1 как газ идеальный.

Следовательно, для изменения внутренней энергии получим: ЛУ = тСтТь(2т — 1). Ло' 5 103. й о 7' 104. ЛУ = 30,8 ккал, А = 6,2 ° 104 дж, Я = 43,2 ккал. !06. А=2,86 10'дж, О= — 1,7ккал, М3= — 8,5ккал. 106. ЛУ=-О. !ОТ. ЛУ= —,Р'~', ~( — ') — 1~, ЛУ = 0 при изотермическом процессе; йУ = ~~ — ) — 11 при адиабатическом прор,Ь'~ Г/ 1', тт 7 ! ! 2 цессе.

108. 77(Т, У) =СгТ вЂ” -„;+ (То. 109. ЛТ ж — 6,86 град. 110. Я=а( — — — ). 111. А= а( — — — ) — Сг (Тт — Т~), / 1 ~а сг Т (К вЂ” Ь)" где Т,= 112. ЬТ = — 0,136 град. 113. 1,= У„( ~г, — Я вЂ” У. ( ~, — —;). 114. ЛУ ж 1,6 10' дж. 116. У = 3ИаТ вЂ” Угзл I Ч гоуат А~ = р~(Уз — У~) и для второй изобары А, = р,(У, — У,).

Таким образом, Я=А=(р, — р2)(У,— У,). 117. Я = А = й(Т2 — Т~)!п — '. Ра ' 96 где е — заряд электрона; ез — электрическая постоянная. 116. Р е ш е н и е. Изменение внутренней энергии для кругового процесса равно нулю, так как начальное состояние совпадает с конечным. Поэтому работа А, совершаемая газом, и поглощенное им тепло Я равны друг другу.

При изохорных процессах работа равна нулю, а при изобарных она определяется соответственно для изобары с р = р, 118. А =Я =-СУТ,М 119. А=Я=(Ти — Т,)Х х,'(1(1п Р' + С 1п — '). 120. А=т(Тз — Т~)Х )~ я!п —, где т — число ! 2 У, ' Рис. !3. киломолей идеального газа. 121. („! = — т(с(Ти — Т,)1п Р', где ч — число кило- Ри молей идеального газа. 122. Решение. Изобразим оба перехода на диаграмме Р, У (рис. 13). Изменение внутренней энергии Л(7! в предположении, что азот является идеаль- 5 ным газом и Си= — 1х, равно: 2 Л(7! = — тй. ((Тл — Т,) + (Т, — Тй)).

Абсолютные температуры выразим через давление и объем: 5 Л(7 = 2 (Рирг Р!Уд. После подстановки числовых значений получим: Л(7! =5,065 ° 1Ои дж Работа системы в рассматриваемом случае равна: А! = Р, (Ги — У!) = — 607,8 дж. ф = тСр (Тд — Т~) + тС~ (Ти — Тд). 7 Поскольку Ср — — )с, то Ф! — 2 (Р!Уи Р!и!)+ 2 (Риги РМи)= — 101,3 дж. 7 5 Во втором случае из первого состояния во второе переход идет через промежуточное состояние В.

94 Изменение внутренней энергии Л(7ц, работа Ац и поглощенное тепло Яп могут быть найдены следующим образом: 5 5 ЛЦп — — — чЯ((Тв Т,)+ (Т, — Тз)) = ~ (Ртт'т — Р71) Л(7п —— 5,065 ° 10т дж, Ац=рт(Гт — У,)= — 1823,4 дж, 5 7 Я,т — — (ртУ, — р,)',) + — (р,Гт — рт$',) = — 1316,9 дж. Сравнивая результаты для Л(7, 11 и А в первом и во втором случаях, замечаем, что: Л(7~ = Л(7ц„ Я~ ФЯп, А| ФА~т. 123. !) Л(7= — 10з дж, А= — 2,3 ° 10' дж, Я= — 3,3 ° 10з дж; 2) Л17 1Оз дж А= — О 74. 1Оз дж, Я = — 1,74 ° 1Оз дж.