Базаров И.П. Термодинамика (Базаров И.П. Термодинамика.djvu), страница 76

Система с одной степенью свободы называется момоеариаитиой. Не изменяя числа фаз такой системы, можно изменять или температуру, илн давление, или концентрацию одной из солей раствора. 2. /с=3, в=5 (раствор, тря кристалла, пары воды), следовательно, У'=/с+ 2 — л = О. 3. /с=3 (вода, сахар, керосин), л=4 (пар, два раствора, лед), следовательно, 7= 1. 10ЛЗ. Правило фаз не изменнтся. Действятельно, если в целом во всех фазах системы недостает ш компонентов, то это уменьшает число переменных на т, но одновременно на столько же уменьшится и число уравнений для химических потенциалов. 10.14. Функцня и„зависит только от т и Т, но не зависит от свойств вещества стенок, окружающих полосп.

Это непосредственно следует из второго начала термодвнамиви. В самом деле, пусть даны лве полости А и В, стенки которых состоят из разных веществ, но приведены в соприкосновение с тепловьпги резервуарами одной н той же температуры Т. Предположим, что в этих полостях для одного и того:ке определенного участка спектра установились различные значения и„. Спроепируем небольшое отверстие, сделанное в А, на тахое же отверстие, сделанное в стенке полости В, Прикроем отверстия цветными стеклами, так подобрав их, чтобы они пропускали свет только тех частот ч, которым соответствуют различные значения и„.

Пусть, например, и„ в полости А больше, чем в полости В. Тогда В получает от А больше энергии, чем излучает само в обратном направлении. Значит, температура резервуара, окружающего А, станет понижаться, а температура резервуара, окружающего В,— увеличиваться до тех пор, пока оба значения и, не сделаются равными. Возникшую разность температур можно было бы использовать с помощью тепловой машины для получения работы. Следовательно, различие значений и„ для полостей А и В позволило бы построить вечный двигатель второго рода, Поэтому, по второму началу термодинамики, значения и„ для всех частот в обеих полостях должны быть одинаковыми независимо от вещества стенок. 10.15. Как известно, отверстие в полости ведет себя как черная поверхность и излучение, покидающее через нее полость, по интенсивности и спектральному составу идентично излучению абсолютно черного тела с температурой Т.

Вычислим, какую энергию в интервале частот б» испускает за 1 с полость через отверстие площадью г)В при плотности излучения и„ в полости. Энергия излучения в интервале г)ч, выходящего из отверстия за ! с по направлению нормали к 45 в телесном угле дв, очевидно, равна доле дв/(4к) от энергии в цилиндре с основанием г)В и высотой с (с †скорос света): и„Мг) Всг)в((4х), а энергия излучения, выхолящего из отверстия под углом 0 к нормали, и„дог) Вс4 в соз О /(4я). Общая энергия в интервале интегрированием выражения (1) Так как г(в=япйдОдя, то я г)ч, исходящая за ! с из отверстия, определится по полусфере. искомая энергия равна 1 — иг)»бас ~ ~ созОяп040дв=-и„г)»бас.

4" о о (2) С другой стороны, отверстие имеет ту же спектральную энергетическую светимость, что и черная поверхность той же площади, а именно (3) Приравнивая выражения (2) и (3), получаем соотношение а„= си„/4 355 между спектральной энергетической светимостью черного тела и плотностью излучения той же частоты внутри полости. 10.16. Импульс фотона частоты ч равен йч)с. Если 0 †уг падения фотона на зеркало, то изменение его импульса в результате удара о зеркало будет 2йчсозй(с, так как изменяется только нормальная его составляющая. Если падающее излучение полностью диффузное, то число фотонов, падающих со всех сторон на площадку, одно и то же.

Поэтому, если в 1 ем' содержится и фотонов, то плотность фотонов, направление движения которых заключено внутри телесного угла г)в, равна рдв, где р не зависит от 6 и определяется из того, что полная плотность р=и)(4я). Таким образом, число фотонов, падающих на 1 смг в секунду в телесном угле г)в с осью, наклоненной под углом падения О, равно рссозбс)в, а давление этих фотонов (26ч/с)созО рссоабдоз=ийчсоз265!п65)6. Полное давление равновесного излучения найдем интегрированием этого выражения по всем углам падения; из ийч и р=пЫ соз'Оз!п65)6= — = —, 3 3' о где и †плотнос энергии излучения.

10.17. Если на спектральньзй интервал, ограниченный длинами волн от ) до 2+4)Х или соответствующими частотами от ч до ч+!зч, приходится энергия излучения дЕ, то 4)Е= из(5)).)= и„!Оч! и спектральная кривая распределения излучения строится как кривая зависимости из от Х и и, от ч. Так как ),=с!ч, то (М.у).=)г)ч|(ч и и,=Лзиз/с. х =3, 1-ехр(-х) (3) которое имеет решение х=2,8412, приводящее к закону смещения Т(ч = Т).=0,005097 м К. Дифференцируя формулу (2) по )., получаем уравнение х =5, 1 — ехр( — х) (4) которое приводит к значению х=4,9651 или к закону Вина в его обычной форме Е„Т= 0,002896 м. К.

Отсюда следует, что максимум функции и„приходится на частоту ч, которой соответствует длина волны ) в 4,9651)2,8214=1,759 раза больше, чем та длина волны ).„, на которую приходится максимум и,. То, что максимумы функций и, и и„не совпадают обусловлено тем, что равным интервалам длин волн не соответствуют равные интервалы частот. 356 Отсюда видно, что положения максимумов функций из и и„не совпадают, поскольку различны те значения Х, при которых максимальны из и ).2из и, следовательно, длина волны Х, на которую приходится максимум функции и„ и частота ч, на которую прихолится максимум функции и„ не соответствуют друг другу (Х„ч Фс). В этом можно также непосредственно убедиться, если определить ч из формулы Планка для спектральной плотности энергии по шкале частот; 8кчз Ьч 8я/сзТз хз з з з (1) с' ехр[йч(()сТ)] — 1 сз62 ехрх — 1 из Х из формулы Планка дла спектральной плотности энергии по шкале длин волн: 8ийс 1 8я)сзтз х' 5 4 4 (2) Хз ехр[йс)(цсТ)1-1 с464 ехрх — 1' где х=Ь)()сТ)=Ос)(ИТх).

Дифференцируя фоРмУлУ (1) по ч, получаем уравнение Если разделить всю площадь, охватываемую кривыми и, и и„, на большое число вертикальных полос, то соотношение площадей полос в том и другом случаях представит некоторое распределение плотности энергии по спектру, которое будет определяться только выбором ширины этих полос. Функция и, дает спектральное распределение энергии по равным интервалам длин волн ОЛ.

Функция и„ дает другое распределение, когда равными интервалами являются разности частот Он, которые не равны г!Л. Вообще, каждая новая функция длины волны, отложенная по оси абсцисс, дает свое решение вопросу о равенстве спектральных интервалов и свое собственное положение максимума излучения. Для устранения этой произвольности в положении максимума излучения дЛ необходимо отложить по оси абсцисс безразмерную величину — = д (1п Л) = Л (дн! !ОЛ( (дн! =!01пн(. Тогда ОЕ=и,Л =щн и соответствующие спектральные и Л и плотности излучения и,„=и„Л=и„н будут иметь совпадающие максимумы при таком Л =с/н„, которое опрелеляется из уравнения х =4, (5) 1-е й Й получающегося из приравиивания нулю или — (и„н), или — (ихЛ). дн ' ОЛ Найдем корень уравнения (5).

Записывая его в виде 4(1 — е *)=х, замечаем, что корень близок к значению 4. Положив поэтому х=4 — и, получаем для и уравнение 4е ~е'=и. Так как и — малая величина, то можно заменить е' на 1+и, тогда 1 и= 4 =0,0793 ~/ е4 и, следовательно, Поэтому х4 йн 1(ИТ)4 йс)(7 ЛТ)=4 — и=3,9Т07, 7 Т=0,003668 м К. Аналогично решают уравнения (3) и (4). 10.18. По формуле Планка, плотность энергии излучения ОЕ, приходящаяся на спектральный состав и; и+он или Л; Лч-ОЛ, равна 8кйнз ОЕ=и,Он=в с' ехр (лн(()гТЦ вЂ” ! или и„бн 8яй~ х4 ц а з з Он аТ с'азин ехрх — 1 или и„дЛ 8кй" х4 4 3 ОЛ, аТ сзааЛ ехрх — 1 где х=лн(()гТ)4 йс((ЛЕТ). 357 8лЬс ОЛ Л' ехр(йг((Л)гТ)) — 1 а полная плотность энергии излучения, по закону Стефана — Больцмана, равна и =аТ .

Поэтому относительная спектральная плотность излучения, приходящаяся на спектральный участок и; и+он или соответствующий ему интервал Л; Л+ОЛ, равна Дифференцируя любое из этих выражений по х (т. е. по температуре Т) и приравнивая производную з)ц)з)х нулю, приходим к уравнению х =4, (1) 1 — ехр ( — х) откуда хз йс/()угТ„)=З,гз207 и )Т„=О,Збб8 (Т вЂ” температура, при которой на участок ).; ).-ь з) ), илн соответственно ч; ч + з)ч приходится наибольшая относительная спектральная плотность излучения).

Из выражений для ц видно, что максимальное значение ть возможное при каждой длине волны )., будет одинаково по всему спектру, если постоянно по всему спектру относительное значение з)й/й=)з)ч)/ч=)з))пч). 10.19. При адиабатном расширении системы без совершения работы ее внутренняя энергия не изменяется. Поэтому (7=оТ~У=оТз()'+ Гз), откуда ~зг,=гДГ зЗзй. н з=з ~'~зз=з~з(зп з;-~из(зта з 3 зз-п~ ° з зз=ЧГз+ ~ ~зГ. 1020.

Закон Стефана — Больцмана и=аТ~ и выражение р=и/3 справедливы и в гравитационном поле. Вместе с тем верно также, что давление и плотность излучения на нижнем уровне больше, чем на верхнем. Дело в том, что коэффициент а в законе Стефана — Больцмана зависит от скорости света в вакууме, а она не постоянна в гравитационном поле. 10.21. Излучения от разных тел, впущенные в полость с белыми стеклами, находится в термодинамическом равновесии, хотя температуры различных лучей разные.

Это равновесие не является устойчивым, так как не обладает максимумом энтропии. Но если в полость внести пылинку, то получается равновесное излучение, соответствующее устойчивому равновесию с одной и той же температурой для всех лучей. Устойчивое равновесие между излучениями различных частот наступает при максимуме энтропии Ю=) Ь(ч)з)ч, о если энергия (или плотность энергии) и= ) и(ч)з)ч остается постоянной.

Это о означает, что при переходе возможно малой энергии от излучения одной частоты к излучению другой частоты вариация энтропии ЬЯ=О при Ьи=О, т, е. М= Ы(ч)з)ч=~ Ьи(ч)з)ч=О ( дЬ(ч) ~ ди(ч) о о при Ьи= ( Ьи(ч)бч=б. о Умножая последнее равенство на множитель Лагранжа ( — С) и сющдывая с первым равенством, получим — С Ьи(ч)дч=О. о 358 Ввиду независимости отдельных монохроматических групп лучей друг от друга подынтегральное выражение равно нулю и, следовательно, д5(ч))ди(ч~»=С.