Фок В.А. Начала квантовой механики (Фок В.А. Начала квантовой механики.djvu), страница 4

Получаемая в результате многократного повторения статистика и позволяет судить о подлежащем исследованию распределении вероятностей. Полный опыт (т.е. опыт, доведенный до конца и позволяющий сравнение с теорией) состоит из совокупности начального и поверочного опытов, притом не однократных, а повторенных много раз. Здесь уместно еще раз напомнить, что при данном начальном опыте (при данных начальных условиях) заключительный опыт может быть поставлен различным образом (в нем могут измеряться различные величины) и для каждого типа заключительного опыта существует свое распределение вероятностей. Таким образом, перед теорией стоит задача так характеризовать начальное состояние системы, чтобы из него можно было получать распределения вероятностей для любого типа заключительного опыта.

Тем самым будет получена полная характеристика вытекающих из начального опыта потенциальных возможностей. Поскольку заключительный опыт может относиться не к тому же моменту времени, как начальный, а к более позднему, теория должна давать также зависимость вероятностей и потенциальных возможностей от времени. Установление такой зависимости будет играть ту же роль, как и установление законов движения в классической физике. Гла ва11 МАТЕМАТИЧЕСКИИ АППАРАТ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ й 1. Квантовая механика и задачи на линейные операторы Важным шагом на пути к созданию современной квантовой механики было установление Бором двух постулатов, характеризующих свойства атомных систем.

Первый постулат Бора утверждает существование стационарных состояний атомов и атомных систем, в которых они не излучают и не поглощают энергию. В этих состояниях атомные системы обладают энергиями, образующими дискретный ряд Еь Ем..., Е„,... (уровни энергии). Согласно второму постулату Бора, излучение, испускаемое или поглощаемое атомной системой при переходе с уровня энергии Е на уровень Е„, монохроматично, и его частота ч определяется из условия Š— Е„= йч, где й есть постоянная Планка. Эти постулаты резко противоречат требованиям классической механики и электродинамики, но полностью подтверждаются на опыте.

Естественной поэтому является идея заменить классическую теорию такой, какая гармонировала бы с постулатами Бора и представляла бы логически стройную систему. Задача об определении стационарных состояний атома, характеризуемых определенными значениями энергии (и некоторых других постоянных интеграции), представляет аналогию с теми задачами математической физики, в которых определенные состояния системы выделяются из ряда остальных. Это— задача на собственные колебания и, общее, на линейные операторы и их собственные значения (Е1пепжег1ргоЫете).

В задачах такого типа ряд значений данной величины сам собой выделился бы из других мыслимых значений. Такого рода обоснование идеи квантования осуществляет квантовая механика, начиная с основополагающей работы Шредингера (Ьсйгоб(пдег) % г1 ПОНЯТИЕ ОБ ОПЕРАТОРЕ И ПРИМЕРЫ ОПЕРАТОРОВ 19 1926 года о квантовании как задаче на собственные значения операторов. Квантовая механика сопоставляет каждой механической величине определенный линейный оператор, и математический аппарат, которым она пользуется, есть учение о линейных операторах.

5 2. Понятие об операторе и примеры операторов Подобно тому, как функция есть рецепт, позволяющий по данному числу х найти другое число у = )(х), так оператор есть рецепт, позволяющий по заданной функции ~р(х) вычислить другую функцию г]г(х) =- Е[чг(х)]. (1) Л ин ейным оператором называется такой, который обладает следующими свойствами: Е(~р, + фг) = Е(р,) + Е (~рг), Е (а~р) = аЕ. (~р), (2) где ~рь ~рг, ~р — произвольные функции и а — произвольная постоянная. Мы будем иметь дело только с линейными операторами, поэтому можно пе прибавлять каждый раз слова «линейный».

Объектами применения операторов могут быть функции одной или нескольких переменных как непрерывных (например, координата), так и прерывных, принимающих только отдельные значения (например, уровень энергии или его номер). Непрерывные переменные могут либо принимать все значения, либо меняться в определенном промежутке.

Прерывные переменные могут принимать как бесконечный, так и конечный ряд значений. Независимые переменные мы будем всегда предполагать вещественными; функции же, к которым применяются операторы, будут у нас, вообще говоря, комплексными. Задавая оператор, нужно прежде всего указать, к функциям от каких переменных он применяется.

Типичными операторами, действующими над функцией от непрерывной переменной х, являются: умножение на х и дифференцирование по х: Е [[(х)] — х[(х), Е [1(х)] — — 1(х). В случае умножения на х переменная х играет двоякую роль: она входит, во-первых, как аргумент в )(х) и, во-вторых, как оператор. Весьма часто встречается в физике оператор Лапласа (Еар!асе), который обозначается обычно символом и дг) дг( дг1 Ь((х, у, з) = —,, + —, + —,. ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ао Некоторые линейные операторы могут быть представлены в виде определенного интеграла Ц (х) = ~ К (х, $) г' (е) ТЦ.

й (3) В таком случае функция К(х, $) называется ядром оператора. В качестве примера ядра приведем решение уравнения Пуассона (РО1ззоп) бР=~. Если функция )(х, у, г) задана во всем пространстве и если пре- дельные условия для Е суть: Е = 0 на бесконечности, то реше- ние уравнения Пуассона, как известно, дается формулой Мы видим, что оператор 6 имеет ядро, равное 4пг 4Я.~/(х — $)~+(у — Ч)Р+(г — ~)~ Если из уравнения ~ (Р)=) н надлежащих предельных условий вытекает уравнение М()"-) = Р, (6) Совокупность коэффициентов К„называют «матрнцей» этого оператора и говорят, что оператор представлен в виде матрицы.

Последняя формула представляет полную аналогию с формулой (3), причем роль ядра играет здесь матрица (К„ ). то операторы Е и М называются о бр а т н ы м и. В нашем примере обратными являются операторы Л и 6. Если переменная принимает только отдельные значения, их всегда можно перенумеровать: поэтому функцию от прерывной переменной всегда можно представить как функцию от целого числа — номера значения этой переменной. Всякий оператор, действующий над функцией )„ от целого числа и (точнее, результат его применения к этой функции), может быть представлен в виде суммы йз1 ОПЕРАТОР, СОПРЯЖЕННЫИ К ДАННОМУ 21 $ 3. Оператор, сопряженный к данному. Самосопряженность ~ [уй (Г) — 1 +(д) 11 г(т = О, если независимые переменные непрерывны, и Х [й.Л У.) — ~" (й.И.1 = 6, если они прерывны.

В первой формуле интегрирование, а во второй — суммирование распространяются на все значения независимых переменных в данной области. Символ с(т в первой формуле есть элемент объема области. Чертой сверху мы обозначаем комплексные сопряженные величины. Общие условия для г и д, о которых мы упоминали, состоят в следующем. Функции Г и д, во-первых, должны быть таковы, чтобы написанные суммы и интегралы имели смысл, т. е.

были сходящимися, и, во-вторых, должны удовлетворять предельным условиям, вообще говоря, различным, смотря по виду оператора 1.. Если оператор Ь+ совпадает с Е, то последний называется с а м о с о и р я ж е и н ы м. В случае прерывной переменной оператор й может быть представлен в виде (6) 5 2 и формула (1*) примет вид (1") (2) Чтобы это равенство имело место тождественно при любых 1 и д, необходимо, чтобы коэффициент при каждом произведении д„~ы равнялся нулю. Приравнивая нулю величину комплекс- ') В математической литературе уиотребляются также термины «ирисоелиненный» и «союзный». Каждому линейному оператору а.

можно привести в соответствие некоторый другой оператор Ь , которьш удовлетворяет определенному функциональному уравнению и называется «сопряженным» к данному оператору *); мы будем обозначать его той же буквой, что и данный оператор, но с прибавлением креста наверху [1 ). Общее определение сопряженного оператора может быть сделано следующим образом.

Положим, даны две функции 1 и Ат, удовлетворяющие некоторым общим условиям, которые будут указаны ниже, а в остальном совершенно произвольные. Функциональное уравнение, из которого определяется сопряженный оператор ь", имеет вид ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЯ МЕХАНИКИ 1Ч. ! 22 ную сопряженную, получим следующее выражение для элементов матрицы сопряженного оператора: К+„= К„. (3) Для самосопряженности оператора необходимо и достаточно, чтобы элементы его матрицы удовлетворяли условию К =К„ (3') Такая матрица называется Эрмитовой (Неггп((е).

Если расположить ее элементы в виде таблицы так, чтобы первый их значок давал номер строки, а второй — номер столбца, то все элементы на главной диагонали (т. е. с одинаковыми значками) будут вещественны, а каждые два элемента, лежащие симметрично относительно главной диагонали, будут представлять комплексные сопряженные величины. Рассмотрим случай одной непрерывной переменной и положим, что оператор Ь имеет ядро К(х, ~). Обозначая ядро сопряженного оператора через К+(х, с) и пользуясь формулой (3) $2,можем написать условие сопряженности (1) в виде ~ ~ (К (х, $) — К ($, х)1 а (х) ( ($) и'х сЦ = О.

(4) Чтобы это равенство имело места для любых двух функций ) и д, необходимо, чтобы множитель при них под интегралом равнялся нулю. Отсюда получаем следующее выражение для ядра сопряженного оператора через ядро данного: К+(х, 5) =К(В, х). (5) Таким образом, ядро сопряженного оператора получается из ядра данного перестановкой аргументов и переходом к комплексной сопряженной величине. Условие самосопряженности имеет вид (б*) К (х, $) = К (В, х).

Совершенно аналогично определяется ядро сопряженного оператора в случае нескольких независимых переменных. В примере, рассмотренном нами в предыдущем параграфе, ядро оператора б, обратного оператору Лапласа, не меняется при перестановке координат двух точек х, у, з и 5, ть ь, так как, сверх того, это ядро вещественно, то оператор 6 самосопряженный, Если обратный оператор самосопряженный, то и данный оператор тоже самосопряженный.

В частности, таковым должен быть и оператор Лапласа; это легко проверить непосредственно, пользуясь нашей общей формулой (1). Мы имеем, в Обычных вскториальных обозначениях, д ° Л| — бя ~ = д 1ч [я угад ) — (угад д) Л, (6) ПРОИЗВЕДЕИИЕ ОПЕРАТОРОВ 23. поэтому, если 1 и д обращаются в нуль на бесконечности, то ~ (д ° Л) — Лд ° Дс(т = (г((ч(д 8габ 7 — (йтаг(д) Д г(т = 0 (7) по теореме Гаусса (Ахацеа).

Рассмотрим еще один пример. Положим Ц=— дг дх (8) и найдем сопряженный оператор. Имеем ь ь (9) если только ) = д = 0 на концах промежутка. Поэтому мы можем положить й 7= — —. + дг дх дй 7э, дх ' ((0) Таким образом, наш оператор Е не является самосопряжепным. Но если мы умножим его на чисто мнимую постоянную, например на — (, то новый оператор .