Фок В.А. Начала квантовой механики (Фок В.А. Начала квантовой механики.djvu), страница 10

Говоря о свойствах операторов, мы имеем главным образом в виду коммутативность их с другими операторами и закон нх изменения во времени. Так как этот закон связан с видом оператора энергии (см. ниже 5 13), то ясно, что выбор «удобных> комбинаций простейших операторов находится в зависимости от выбора этого основного оператора. Классическая Гамильтонова функция имела различный вид, смотря по тому, принималась ли во внимание теория относительности или нет. При этом Гамильтонову функцию, удовлетворяющую требованиям теории относительности, удалось построить лишь для задачи одного тела; для многих тел это оказалось невозможным. Такое же положение вещей мы имеем я в волновой механике. И здесь оператор энергии для теории относительности удалось построить лишь для одного тела, причем он коренным образом отличается от нерелятивистского.

Изучением его мы займемся в пятой части этой книги, посвященной теории Дирака; здесь же мы рассмотрим оператор энергии без поправки на теорию относительности. В классической теории кинетическая энергия, выраженная через прямоугольные составляющие количества движения, имела вид т= —,' (р';+р'+р,), Если здесь рассматривать р„р,, р, как операторы (6) 3 3, то выражение (1) будет представлять собой оператор, который мы можем толковать как оператор для кинетической энергии.

Заметим, что если бы мы написали кинетическую энергию не в прямоугольных, а, например, в сферических координатах 2т ~р~ + Ы РР г'Мп'б рэли (2) и здесь толковали бы р, рв, р как — 13 —, — 13 —, д . д Г ' Р дг' дд ' д — 1й —, то мы получили бы другой оператор Т*, не совпадаюд~р ' щий с Т. Мы предположим, что переход от классической основлния квхнтовон мвхлникь функции к квантовым операторам нужно делать именно в прямоугольных координатах, а не в каких-либо других. Если классическое выражение в прямоугольных координатах не содержит множителей, которые, будучи истолкованы как операторы, были бы некоммутативны, то переход к операторам будет однозначным.

Однако необходимо еще убедиться, путем сравнения теории с опытом, насколько аналогия между классической и квантовой теорией законна. Оператор (1) для кинетической энергии может быть выражен через оператор Лапласа. Если мы заменим р„р„, р, их выражениями (6) й 3, мы получим Ю Тф = — — бф, 2% где Л вЂ” оператор Лапласа. После того как вид оператора установлен, можно, разумеется, перейти к любым переменным, например, к тем же сферическим координатам. Производя для этого случая замену переменных, получим (4) Если мы введем операторы д д . д Рг = 'Д з Рв = — ~й з Р = ~й д (б) дв ' мы можем оператор (4) написать в виде ! Это выражение отличается от (2) только порядком некоммутативных множителей: если бы они были коммутативиы, то оба выражения совпали бы.

Мы знаем, что собственные значения оператора Лапласа отрицательны: следовательно, собственные значения кинетической энергии положительны, как это и должно быть. В качестве собственных функций кинетической энергии можно взять, например, общие собственные функции операторов р,, рю р„которые, как мы знаем, имеют вид (2 й)-ч д (ю +ю +'з ) (7) Любая функция вида (7), в которой сумма квадратов параметров р„', р„', р,' имеет определенное значение 2гпТ: (8) а также любая линейная комбинация таких функций (сумма или интеграл) есть собственная функция кинетической энергии, соответствующая собственному значению Т = Т'. Следовательно, КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ эти собственные значения бесконечной кратности.

Из функций вида (7) можно составить такие комбинации, которые бы в то же время были собственными функциями других операторов, коммутирующих между собой и с оператором кинетической энергии. Физически это соответствует тому, что заданием кинетической энергии состояние электрона еще не вполне определяется, так что можно, кроме нее, задать также и значения некоторых других величин, например, количества движения.

Для свободного электрона оператор кинетической энергии Т является вместе с тем и оператором Гамильтона. Для электрона в поле с потенциальной энергией (7(х, у, г) мы можем по аналогии с классической теорией написать оператор Гамильтона в виде суммы операторов для кинетической и потенциальной энергии и = — (р'„+ р'„+ р",1+(7(х, у, г), (9) разумея под оператором (/(х, у, г), действующим иад функцией от координат, умножение на (7(х, у, г). Уравнение для собственных функций оператора О напишется В9 — —,уф+и(х, у, )ф=Еф, (10) 9 9.

Каноническое преобразование Мы видели, что состояние электрона может быть описано функцией от координат или от других независимых переменных, например, составляющих количества движения. Переход от одних независимых переменных к другим называется к а н о н и ч еским преобразован нем. где Е характеризует энергию. Это уравнение было предложено Шредингером в 1926 году и носит название уравнения Шредингера.

Мы займемся подробным исследованием его и решением для ряда случаев во второй части этой книги; но мы укажем уже сейчас, что следствия из него, за исключением некоторых деталей, хорошо оправдываются на опыте, что служит подтверждением законности сделанных при его выводе гипотез. Уравнение Шредингера может служить для описания состояния электрона в электростатическом поле; естественно поэтому пытаться обобщить его на случай наличия магнитного поля. Оказалось, однако, что классическая модель электрона как заряженной материальной точки недостаточна для объяснения поведения его в магнитном поле и что необходимо приписать ему некоторый магнитный момент.

Обобщение уравнения Шредингера на случай магнитного поля мы выведем в пятой части книги на основании теории Дирака. ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [Ч. Т причем коэффициенты разложения (как с(ЛА), так и с(Л)) опре.деляются через ф(х) следующим образом: с(Л) = ~ ф(х, Л)ф(х)Ых. (2) Функция ф(х) вполне определяется совокупностью коэффициентов разложения с(ЛА) и с(Л).

Поэтому, если ф(х) описывала состояние системы в независимых переменных х, то с(Л) описывает его в независимых переменных Л. При этом, если ф(х) была нормирована, то и с(Л) будет нормирована, так как по теореме замкнутости мы имеем ~ ! ф(х) Рг(х=~~ ~ с(ЛА) Р+ ~1с(Л) (ЯМАЛ. Такое состояние системы, в котором Л = Л, описывается в переменных Л следующей функцией с(Л): с(Л„) = 1, с(Л)=0 прн Л чь Л,.

(4) Если в данном состоянии Л = Л', причем Л' принадлежит к сплошному спектру, то в формуле (1) коэффициенты с(ЛА) нужно положить равными нулю, а интеграл понимать в смысле Стильтьеса и писать его в виде ф(х) =ф(х, Л') = 1 ф(х, Л) г( с(Л, Л'), (б) где с(Л, Л)=1 при Л>Л', с(Л, Л')=0 при Л~(Л'. (6) Формулу (2) можно рассматривать, как разложение функции с(Л) по функциям ф+(Л, х)=ф(х, Л), (7) причем коэффициентом разложения является здесь ф(х), опре- Пусть волновая функция, выраженная через координаты, есть ф(х, у, е) или, проще ф(х), если мы будем разуметь под х совокупность всех трех координат. Положим, мы имеем оператор Е с собственными значениями Л и собственными функциями чр(х, Л), образующими замкнутую систему.

Тогда функцию ф(х) можно разложить по собственным функциям ф(х, Л) ф(х) = ~ с(ЛА)ф(х, ЛА)+ ~ с(Л)ф(х, Л)с(Л, КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ эя деляемое по формуле (1). Мы увидим ниже, что ф+ суть собственные функции оператора х в переменных Л. Таким образом„ между описанием состояния в переменных х и в переменных Л имеется полное равноправие. Посмотрим теперь, как преобразуются операторы при переходе от одних независимых переменных к другим. Возьмем сперва тот самый оператор Т„ по собственным функциям которого ведется разложение. Применим его к функции ф(х).

Так как ф(х, Л) есть собственная функция Т„то Лф(х, Л)=Лф(х, Л), (8) и мы получим Лф(х)=~~ ЛАс(ЛА)ф(х, ЛА)+ ~ Лс(Л)ф(х, Л)г(Л. (9) Таким образом, переходу от ф(х) к Тф(х), т. е. применению оператора, соответствует переход от с(Л) к Лс(Л), т. е. умножение на Л. Следовательно, оператор Т., выраженный в независимых переменных Л, представляющих его собственные значения, есть умножение на Л, как это н должно быть: в самом деле, мы уже видели (в 5 3), что оператор для независимой переменной есть умножение на эту переменную. Возьмем теперь вместо Т.

некоторый другой оператор М и применим его к функции ф(х). Для простоты положим сперва, что оператор Ь имеет только точечный спектр, так что разложение по его собственным функциям напишется: ф (х) = ~ с (ЛА) ф (х, ЛА). Применяя М к ф(й), получим Мф(х)= 2„с(ЛА)Мф(х, ЛА). (11) Функцию Мф(х, ЛА) разложим в свою очередь по ф(х, Л„): Мф(х, ЛА) = ~, (Л„~М!ЛА) ф(х, Л„), (12) л где символом (Л„|М!ЛА) обозначены коэффициенты разложения (Л„!М ~Л )= ~ ф(х„Л„)мр(х, ЛА)г( . (13) Подставляя (!2) в (11), получим Мф(х) = ~ с'(Л„)ф(х, Л„), (14)~ основания квхнтовоп механики 60 [ч. 1 где через с'(Л„) обозначена величина с'(Л„) =Ма(Л„) = Х (Л„1М1Л )с(Л ).

(15) Таким образом, переходу от ф(х) к Мф(х) соответствует переход от с(Л„) к с'(Л„) =Мс(Л„). Следовательно, оператор М, выраженный в переменных Л, имеет вид (15). Если бы оператор Ь имел также и сплошной спектр, то вместо формул (!О), (12), (14) и (15) мы имели бы ф(х) =~ с(Ль)<р(х, Ль) + $ с(Л)ф(х, Л)г(Л, МФ(х, Л)= )',(Л„)М! Л)ф(х, Л„)+ 1 (Л'1М1Л)%(х, Л')Ж', Мф (х) = ~ с'(Ль) юр (х, Ль) + $ с'(Л) ~р(х, Л) пЛ, с'(Л) = Мс(Л) = ~~ (Л1М )Ль) с(Л„) + $ (Л)М1Л') с(Л')с(Л', (10') (12') (14") (15') Легко видеть, что ему удовлетворяют функции с(Л) =<р+(Л, х)= р(х, Л), (! 7) где ~р(х, Л) есть собственная функция оператора С в переменных х.

В самом деле, если припомнить равенство (Л 1х 1Л ) = ( Л )х) Л) (18) причем в (12*) и (15') можно разуметь под Л собственное значение, принадлежащее к сплошному или к точечному спектру. Определение (Л)М)Л') аналогично (13). Может случиться, что интеграл, выражающий (Л)М)Л'), расходится; это значит, что оператор М в переменных Л не имеет ядра. В таком случае под оператором М в'переменных Л мы будем разуметь тот, который переводит коэффициенты разложения с(Л) функции ф(х) в коэффициенты с'(Л) функции Мф(х), котя бы эти с'(Л) и не выражались в виде (15*).

Рассмотрим пример. Положим, что М есть оператор для координаты х, так что, будучи применен к ф(х), он представляет просто умножение на х. Рассмотрим вид оператора М = х в переменных Л. Уравнение для его собственных функций будет ~ (Л! х)Ль)с(Ль)+ $(Л)х1Л)с(Л)Ю'=хс(Л). (16) ПРИМЕР КАНОНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ $ см а это есть не что иное, как разложение произведения хср(х, Л) по ср(х, Л').