Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики.djvu), страница 42

Более того, каждый коэффициент оказывается менее надежным, чем предыдущий коэффициент.~Общепринятое правило гласит, что максимальное значение К не должно превышать одной пятой значения Ф. Таким образом, в отличие от коррелограммы, показанной на рис. 8.5, мы недолжны вычислять все возможные коэффициенты автокорреляции и надеяться ИЗВЛЕЧЬ МНОГО ПОЛЕЗНОГО ИЗ д5 последних 80% этих коэффи- циентов. Мы еще вернемся к о дщщ$Жи~иа,К этому вопросу в следующем га разделе. Если коэффициенты авто- Ю корреляции вычисляются для случайного ряда (который -16 иногда называется беглым шу- мом)'е, то выборочные коэф- Р„, 8 о коррелогра„„а для ряда У, „, фициенты автокОРРелЯпии табл. 8.2 будут стремиться к нулю (за исключением, конечно, г (Щ:= 1,0].

В предположении, что все коэффициенты автокорреляции генеральной совокупности равны нулю, можно показать, что для больших выборок распределение г(К) стремится к нормальному с нулевым средним и дисперсией 1/Ж~. Следовательно, 100(1 — а)%-ный доверительный интервал для данного р (К) определяется величиной (КМ вЂ” ~:, . УЯ ' где г~~а — 100-%-ная точка стандартного нормального распределения. На рис. 8.6 показаны 10 коэффициентов автокорреляции, вычисленных для ряда из 106 наблюдений, полученных при помощи генератора случайных чисел на вычислительной машине. Для 90а,'-ного доверительного интервала г,,-.,/$"В = 1,645/З~Т00 = 0,1645, Для любого из коэффициентов„показанных на рис.

8.6, этот интервал вкл1очает нуль ~о По-внднмому, постоянное ввсденне зкзотнческнх терминов нескольк обескураживает чнтателя, но нужно попытаться преодолеть такое ощущение, О ладеть втой Физической термнпологней (она жс статнстнческая, она жс эконом ческая) означает в значительной степени приблизиться к поннианню спектрал наго аналнза. Белый свет содержнт всс цвета спектра. Белый шум можно считать состоящнм нз косннусонд с лк~бымн возможнымн частотамн„прячем амплнтуд всех кося нусонд одннаковы. Следовательно, нн одна нз частот не является дом н нру©щей.

~ См. [56, с. 1871. Ф Преобразуем выражение (8.22) с помощью хорошо известного в математике разложения. Наприл!ер, квадрат суммы = М+М+Хз 1 2Х1 Хг+2Х1 Хз+2Х~ Хз сии 1 можно записать как з а З а З вЂ” К ~Р Х, = ~~, 'Х~'+2 "~Р "~' Х,Х,+„. а! К ! ! 1 С учетом такого разложения мы можем переписать (3.22): (У,— У) сов~и,1+ М=! И вЂ” 1И вЂ” К, +2 ',)', ~~~ (У,— -У)(У',+~ — Г)созе, 1соза! (1+К) Х( 1 1=1 И И вЂ” 1И вЂ” Х + — ~ (у,— 7)'яп'и,.с+2 ~~~~ ~~~Г (у,— 7)'с 1=1 Аии) М= 1 Х (У',+К вЂ” У) ЫП а! 1 з1 и в; (1+ К) Поскольку сочв;1+яп'а;1=-1 и созе;1созо;(~+К)+ з1п()1,~х Р'- аппо,(!+К) =-соя(о,- К, мы имеем 1-з '2 — Л! =— 2 йй В этом выражении первый член в скобках, будучи разделенным на Ф, будет равен выГорочной дисперсии С (О) из (8.2О).

Более того, на основании (8.2О) второй член в скобках можно представить как И вЂ” 1 2У Х С (К) соз о1К. Отсюда окончательно К=1 С(О)+2 '~, 'С(К)соьи, К~, а =-$,2,..., и — ). К =1 и 2 2 — А! — —— 2 й Аналогичным образом можно выразить среднюю мо1цность и-й составляющей из (8.23): И вЂ” 1 Л„= — С(0) (-2 С(К) созе„К (8.25) Из только что полученных соотношений видно, что коэффициенты Фурье и, следовательно, средние мо!цности Аи',Ч2 и А„можно вычислить по коэффициентам автоковариации С(К).

Формально коэффициенты Фурье являются результатом применения к автоковариационной функции преобразования Фурье. Таким образом, зная авто- 278 $ ковариацпоннуа функц!Ио, мы знаем коэффицпенть! Фурье, и наоборот. Ранее в связи с выражением (8.17) мы отмечали, что сумма коэффициентов А,'-/2 и А„' равна выборочной дисперсии ряда. Следовательно, относительная средняя мощность на каждой из частот будет равна А712С (О) и АД,'С (О). Поэтому, разделив обе части (8.24) и (8.25) на С (О) и учитывая определение выборочной автокорреляционной функции из (8,21), мы получим: А Я вЂ” ! — — — 1+2 ~ г(К)сози; К, !=-1,2, ..., а — 1; ! ! 2 2 С (О) ь К= 1 А~ 1 Х вЂ” ! — — 1+2 ~~ «(К)созе„К С (О> И Таким образом, оценкой относительной средней мощности на любой частоте является преобразование Фурье выборочной автокорреляционной функции.

Знание одной из этих функций эквивалентно знанию другой. Именно в этом смысле говорят о прямой связи между автокорреляцнонной функпией и липейчатым спектром Фурье. Преимущество использования относительной средней мощности по сравнению со средней мощностью заключается в ее независимости от единиц измерения, так как она вычисляется по коэффициентам корреляции.

Перейдем теперь к задаче оценки линейчатого спектра Фурье по автокорреляционной или автоковариацпо~ной функции (в зависимости от того, что более удобно). 8.3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ До сих пор мы предполагали, что мощность сконцентрирована на различных угловых частотах О!;. Кроме того, мы отмечали, что при конечном числе наблюдений мы можем оценить эту мощность только при конечном числе угловых частот. Предположим„однако, что имеются периодические составляющие временнбго ряда, угловые частоты которых не соответствуют ни одной из частот наших оценок. Предположим далее, что существует периодическая кривая с угловой частотой, находящейся, например, между в, и а,.

Один из способов оценки мощности на этих частотах заключается в преобразовании линейчатого спектра в гистограмму. Лруг!!ми словами, этот способ оценивания состоит в распределении мощности на заданных частотах по некоторой г!ОЛОЙ околО этих частот. Для спектра, заданного функцией угловой частоты, расстояние между любыми двумя оценками составляет 2л/Ф (см.

табл. 8.3). Таким образом, если разделить каждую из ординат мощности на 2л/У, то мы преобразуем каждую ординату в горизонтальную линию гистограммы, причем такую, что площадь под этой линией совпадает с исходной РМ)= „ 1 И вЂ” 1 С(0)+2 ~ С()() соь(и, К)1 к ! , ~ = 1, 2, ..., а (8.29) Р(Ь) =2 )ч-1 С(0)+ 2,'~' С(К) соз (2л7„. К) , ~=1,2,..., ю.

(8.30) ~2 Вспомним, что изображая распределение частот непрерывной величины, мы проводим горизонтальные линии, ширина которых равна интервалу группировки. Ордината каждой такой линии определяется частотой наблюдений, попадаюп)их в зту группу. Такая диаграмма называется гиаиогражмой, или диаграммой в виде сл2мбцоа.

Иногда центры всех горизонтальных отрезков соединяют прямыми. Получаемая при атом кри() ая 'называется полигоном часают. ординатой'з. Теперь каждая, линия этой гистограммы является оценкой мощности в полосе частот между в~ + л/Л' и а; — л/Ф. Разделив обе части уравнений (8.26) на 22т/У, мы получим новую оценку относительной мощности в виде функции уг,ювой часиюта: р(иД= — 1+2 ~ с(К)соь(и,К), 1=1,2,..., о.

(8.27) к=1 Заметим, что мы пользуемся этой же формулой для получения р (а„) для л-й частоты. В действительности это значение следовало бы разделить на два, но на практике этой коррекцией аоследнего члена часто пренебрегают. Точно так же расстояние между любыми двумя оценками, выраженными в терминах частоты, составляет 1/У (см. табл, 8.3). Таким образом„если разделить мощность из (8.26) на каждой частоте на 1/й, то, учитывая„что а~ 22тД„мы получим оценку относительной мощности в виде функции часиюты: М вЂ” 1 рЩ=2 1+2 ~ с(К)соь(2оД,К), ь'=1,2,..., о. (8.28) к =! Спектр предполагается теперь непрерывным, и поэтому он может быть представлен полигоном частот (см.

также рис. 8.7), Такая кривая — общепринятое графическое изображение спектра. Наконец, если для вычисления спектра использован первоначальный ряд (а не ряд У2 — Г), то будет существовать н оценка на нулевой частоте. Выражения (8.27) и (8.28) служат одной цели. Мы задали себе труд их проиллюстрировать, поскольку в литературе по спектральному анализу чита~ель встретит оба эти выражения и бывает нелегко сразу понять, почему у некоторых авторов в формулах стоит 1/л, а у некоторых 2.

В работах теоретического характера спектр, как правило, выражают как функцию угловой частоты. В практической работе (особенно в области экономики) спектр выражают через частоту ~. Заметим также, что если бы нас интересовала собственно мощпостьь а не относительная мощность„то для получения гистограммы мы могли бы использовать не (8.26), а выражения (8.24) и (8.25). Так, пользуясь (8.24), можно записать: Примем (8.28) в качестве основного представления выборочной спектральной ало»тиоеии1а. В современном спектральном анализе принято считать, что в любой момент времени 1 выборочное значение временнбго ряда У» является лишь выборкой объема 1 из аисамбля (генеральной совокупности) значений $'»„который определен для этого момента времени.