blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАНОСТРУКТУР), страница 9

3. Степень линейной поляризации относительно двух взаимно перпендикулярных осей, направленных под углом 45' к оси х, определенную равенством Ч, = [1(45') — 1(135')[/1. (1.2.21б) ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЙ ПОНЯ ГНЯ (1.2.23а) и аналогично 1=РП + Р /Г) =Рн — Р (1.2.23г) Г ( 1+ т! — Г)1+ ГЧ1') Аналогично имеем 1(90') =(1/2)( — 1, — 1) Г)з = соз 2~. (1.2.2ба) 4. Степень круговой поляризации, определенную равеиством ГЬ = (11-1 1- )/1* (1.2.2!в) где 1+1(1,) — интенсивность света, прошедшего через поляризационные фильтры, полностью пропускающие только фотоны с положительной (отрицательной) сппральностью. Набор параметров 1 — 4 называется параметрами Стокса; их подробное описание можно найти в книге Бориа и Вольфа (Вогп, )ЛГО!1, 1970) (см.

также МСМаз!ег, 1954; Рагапо, 1971). Установим связь между параметрами Стокса и элементами матрицы плотности. Обозначая элементы матрицы р через рх х = (Л' ~ р1Л), запишем Р = ', (1.2.22) где Р+,, —— р', м, в силу условия эрмитовости (1.1,29). В соответствии с (1.2.17) полную интенсивность можно записать так: Для получения т(з следует вычислить интенсивности 1(0) и!(90'), Из (1.2.19) имеем 1(0) =(е, !Р !е,), 1(90') =(е,1Р1е„), В представленнп, в котором в качестве базисных используются состояния с определенной спиральностью, векторы состояний (е,) и )е„) описываются выражениями (1.2.12), от- куда =(1/2)(РП вЂ” Р,, — Р, 1+Р 1 1).

= (1/2) (Рн + Р,, + Р,, + Р,,), Отсюда следует, что 1Чз = (Р1 1+ Р, 1) (1.2. 236) Совершенно так же можно вычислить параметр 1т!1, определенный выражением (1.2.216). В этои случае оси пропуска- нпя призм Николя составляют соответственно углы 45 и 135' с осью х. Интенсивности, пропускаемые этими призмами, определяются выражениями 1(45') =(е, !Р1е,), 1(135') =(еэ !р!еэ).

здесь !е1) — состояние фотона, полностью пропускаемого первой призмой, так что 1е,) = (1/2 ') (! е,) + (е„)), где использовано выражение (1.2.5) с !1 = 45'. АналоюГчно )е,) есть состояние фотона, полностью пропускаемого вто- рой призмой; его можно выразить через )е,„) и )е„), подстав- ляя 5 = 135' в выражение (1.2.5): ~ е1) = (1/2") ( — ! е„) + ! е„)).

Преобразуя !е,) и (ее) к базису состояний с определенной сппральностью, получаем /т! = — 1(Р1 Р ) (1.2.23в) Обращая этп уравнения, мсакно выразить элементы рхх через параметры Стокса: Именно такая форма матрицы плотности будет использоваться в дальнейшем. 1.2.5,2. Примеры Из выражения (1.2.7) следует, что любое чистое состояние поляризации можно параметрнзовать следующим образом: 1е) =сов Р ~ е„)+ е1оз(п Р ~ е„). (1.2.25) Соответствующий оператор плотности имеет вид Р = (~ е)(е!. Вычислим параметры Стокса, характеризующие пучок в состоянии (1 2.25). Имеем 1 (О) = (е,.

! р ! е,) = 1 ! (е „! е) !х = 1 с о аз (1, 1(90') =(е„~р !е„) =11(е,1е) !1 =1 з)пэ Р, откуда следует глхвх г основиыв понятия Аналопгчно можно найти тп = згп 25 сов 5, цг = з!п 2(1 з!и 5. (1.2.26о, в) Например, чистое состояние (е;), характеризующее пучок света с нектаром поляризации вдоль оси х, получается, если подставить б = О, 6 = 0 в (1.2.25). Тогда из формул (1.2.26) получим параметры Стокса г!з = 1, г!г — — г!г = О. Подставляя эти значения в матрицу плотности (1.2.24), находим (1.2.27а) Пучок, линейно-поляризованный вдоль оси д, можно определить параметрами (! = 90', б = О, так что г!и = — 1, г!г =г!г=О, (1.2.27б) Аналогично, как показано в равд.

1.2.1, пучок, линейно-поляризованный в направлении, составляющем угол 0 с осью х, описывается путем подстановки значения б = 0 в формулы (1.2.25) и (1.2.26). Тогда параметры Стокса принимают вид г!з — — сов 26, г1, = з!п 26, Ог — — О, а соответствующая матрица плотности 1 — сов 25+ г' сйп 2(! ~ !г =— (1.2. 27 в) в г, — сов 25 — г з!п 2(! 1 Свет с левой и правой круговой поляризацией пр дставляется с помощью ыатрггц плотности ! 0 0 0 г = Р( ) Р.—.--Х( ) . г3.228, б) Когда параметры Стокса, а следовательно, и матрица плотности определены, можно непосредственно получить полезное выражение для интенсивности (, света, прошедшего через фильтр, пропускающий лишь фотоны в состоянии (е).

Искомый элемент (е(р(е) равен 1, = (1(2) (1 + г!з соз 25 + ггг з! и 25 соз б + ил згп 25 в|п 5). (1.2.29) Заметим, что в (1.2.29) параметры (! и б описывают пропущенный пучок, тогда как падающий пучок характеризуется параметрами Стокса. 1.2.5Х Степень поляризации Введем еще одно обозначение, которое окажется важным при дальнейшелг изложении. Из условий (1.2.20а) н (1.2.24) следует, что параметры Стокса удовлетворяют ограничешпо !'+ Ч", + Ч"; -= 1. (1.2.30) Знак равенства имеет место лишь в том случае, если фотоны рассматриваемого пучка находятся в чистом состоянии поляризации.

Иначе говоря, пучок полностью поляризоваи (в смысле, объясненном в равд. 1.2.1) тогда н только тогда, когда выполняется соотношение гг; + О + гг; = 1. (1.2.30а) Эти условия удобно записать, вводя величину Р=(ц,-+ц-,+ц"-,)н, (1.2.3 1) иа которую в силу (1,2.30) наложено ограничение Р (~ 1. (1.2.3!а) Смысл соотношений (1.2.30) и (1.2.31) можно сформулировать следующим образом: Данный пучок фотонов находится в чистом состоянии поляризации тогда и только тогда, когда Р = 1.

Если Р ( 1, пучок находится в смешанном состоянии. Если Р ) О, мы будем называть пучок аоляразованныги (полностью поляразованныл, если Р = 1); если Р = О, будсьг называть пучок неаоляризоаанныхс В последнем случае все параметры Стокса обращаготся в нуль и соответствующая матрица плотности принимает вид (1.2.32) Поскольку при Р = 0 параметры Стокса обращаютси в нуль в лгобалг представлении, выражение (1.2.32) не зависит от выбора базисных состояний. Любая смесь независимо приготовленных состояний (ег) и ~е.) с противоположной поляризацией (наприлгер, )+1) и ! — 1) или )е,) и )ея)) и одинаковой интенсивностью (г — — 1г = (/2 описывается матрицей плотности (1.2.32).

Все такие смеси ведут себя одинаково в смысле своих полярнзацпонных свойств и могут быль использованы как модели неполяризованного света. Гльвл ! А2.5.4. «Операчиональное» определение р В этом разделе мы обратим некоторые из полученных выше результатов следующим образом. Чтобы определить поляризационные свойства данного светового пучка, необходимо выполнить четыре независимых измерения, например для удобства определить параметры Стокса. Далее этп четыре параметра используются как исходные данные для определения матрицы плотности согласно выражению (1.2.24). Результат любого другого эксперимента, поставленного над пучком, может быть затем вычпслен с помощью формул (1.2.19) или (1.2.29). Пучок фотонов находится в чистом состоянии поляризации тогда и только тогда, когда Р = 1 (полностью поляризованный пучок). В этом случае состояние поляризации пучка можно представить с помощью единственного вектора состояния [е).

Тогда параметры Стокса не являются пезавнснмымп, так как в силу условия (!.2.30а) трех нз этих параметров достаточно для полного описания пучка [при условии нормировки (1.2.15) достаточно двух параметров[. Наконец, пучок фотонов находится в смешанном состоянии, если Р ( 1, В частном случае Р = 0 пучок неполяризован и описывается матрицей плотности (1.2.32).

Общая теория матрицы плотности 2.1. Чистые и смешанные квантовые состояния В этой главе понятия, введенные в гл. 1, будут обобщены на случай систем с более чем двумя степенями свободы, Примеры, рассмотренные в предшествующих разделах, составят физическую основу общего подхода, описанного в этой главе.

Начнем с дальнейшего обсуждения чистых н смешанных состояний. В классической механике динамическое состояние системы, например системы бесструктурных частиц, полностью определено, если известны значення всех координат н импульсов частиц. Состояние системы в любой последующий момент времена может быть тогда предсказано с полной определенностью. Однако часто задаются только средние значения координат и импульсов частиц.

Вследствие столь неполной информации нужно применять методы статистической механики. Мы будем рассматривать квантовомеханнческие системы, для которых нельзя получить максимально возможную информацию. Однако выраженно «макспмально возможная информация» имеет в квантовой механике более ограниченный смысл, чем в классической физике, поскольку не все физические наблюдаемые величины могут быть одновременно точно измерены. Поэтому наша первая задача состо1п в уточнении смысла понятия «максимальная информацию> в квантовой механике.

Как известно, точное одновременное измеренне двух физических величин возможно только в том случае, когда оба оператора, соответствующие этим величинам, коммутнруют друг с другом, Точнее, если два оператора Я1 н О» коммутируют, то можно найти состояния, в которых 1Е1 и О» имеют определенные собственные значения а1 и дь Аналогично если третий оператор коммутирует как с Оь так и с О», то можно найти состояния, в которых Оь Я», О» одновременно имеют собственные значения дь аь дз, очевидно, этот процесс можно продолжить. Таким образом, собственные значения аь ам дм ... можно использовать для описания системы со все возрастающей точностью.