Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, страница 5

В идеальном газе с постоянной теплоемкостью условие адиабатичности (1.13) дает рут = 7' [ '>' (т) ), (1.21) где функция 7 зависит только от энтропии данной частицы т. В так называемом изэнтропическом движении, когда энтропии всех частиц одинаковы нне меняются со временем,7 = сопИ, причем уравнениер>тт =- сопз$ справедливо как в лагранжевых, так и в эйлеровых координатах. Существенно, что в плоском случае в уравнение не входит в явном виде эйлерова координата х. После того как лагранжевы уравнения решены н найдена функция >т (т, 1), к зависимости газодинамических величин от зйлеровой координаты можно перейти с помощью квадратуры, интегрируя уравнение (1.17), аз о>х= У(т, ~) е(>л, х(т, 1) = ~ 'т' (т, ~) о>тдтх> (~).

(1.22) о В цилиндрическом и сферическом случаях уравнения газодинамики в лагранжезых координатах несколько более сложны, чем в плоском, так как теперь в уравнения в явном виде входит эйлерова координата и в систему уравнений включается дополнительное уравнение, связывающее лагранжеву и эйлерову координаты. Например, в сферическом случае лагранжеву координату можно определить как массу, заключенную внутри сферического объема около центра симметрии: т = ~ 4птзде)т, з)т = 4ятзйе(т. (1.23) о Если в начальный момент плотность газа была постоянной, можно в качестве лагранжевой координаты взять начальный радиус то «частицы», рассматриваемой как элементарный сферический слои: лю1 Р -- — Оо = ~ 4ятзййт е(то= —,— отто ч (1.

24) — о — ~ 'з чо о Уравнение непрерывности в сферических лагранжевых координатах есть д>' д др > д — =- — 4лтзи или —, — = —, — тзи. (1.25) д> д/и Ко д> "з д"о 2 я. Б. Зеазаоззч, ю. и. Райзер Здесь, как и в последующих уравнениях, производная по времени представляет собой субстанциональную производную >17оз', но ее лучше записать в виде частной производной д/д1, чтобы подчеркнуть, что она берется при лз и а =- сопз$, т.

е. для заданной частицы с определеннойлагран>кевой координатой л> или а. Уравнение движения в лагранжевых координатах имеет вид 18 РАЗОДннАмикА и клАссическАЯ теОРиЯ УДАРных Волн !Рл. > Уравнение движения ди . др дсс с гс др — = — 4яг'„— или дс "дсс дС Ео гс сдге Уравнения энергии или адиабатичности остаются такими же, как и в плоском случае.

В качестве дополнительного уравнения в систему включается дифференциальное (или интегральное) соотношение (1.23) или 11.24), связывающее т н г или ге и г. Уравнения для цилиндрического случая составляются вполне аналогично сферическому. Следует отметить, что в двумерных и трехмерных течениях переход к лагранжевым координатам, как правило, невьсгоден, так как уравнения при этом сильно усложняются. 5 3. Звуковые волны Скорость звука входит в уравнения газовой динамики, как скорость распространения малых возмущений. В предельном случае, когда изменения плотности Лй и давления Лр при движении вещества Очень малы по сРавнению со сРеДними значениЯми плотности и Давленик Ое и Ре, а скорости движения малы по сравнению со скоростью звука с, уравнения газовой динамики превращаются в уравнения акустики и описывают распространение звуковых волн.

Запишем плотность и давление в виде 9 = 9е + ЛЬ Р = Ре + ЛР и будем рассматривать величины Лй, ЛР, а также скорость и как малые. Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем эйлеровы уравнения непрерывности и движения для плоского случая. Уравнение непрерывности дает дло ди йо— дс дх (1.27) Уравнение движения приобретает вид (1.28) При последнем преобразовании принято во внимание, что движение в звуковой волне является адиабатическим, Поэтому малое изменение давления связано с малым изменением плотности через адиабатическую производную: Лр = (дР/дй)з Лй, Зта производная представляет собой, как мы сейчас увидим, квадрат скорости звука с =( — ) (1,29) дэле дсас д>с дзз <1,3О) Такому >ке уравнению удовлетворяет и пропорциональная Лй величина изменения давления ЛР = ссЛ9, а также скорость движения и и все и соответствует невозмущенному состоянию вещества.

Дифференцируя первое из написанных уравнений по времени, а второе по координате, исключим смешанную производную дси сд1 дх. Получим волновое уравнение для изменения плотности ЗВУКОВЫВ ВОЛНЫ другие параметры вещества, например, температура "). Волновое уравнение типа (1.30) допускает две группы решений: ЛО = Л0 (х — сс), Лр = Лр (х — с(), и и (х — с1) (1.31) Ло= ЛО (х+с(), ЛР = ЛР (х+ с(), и = и (х-(-с() (1.32) Верхний знак относптся к волне, бегущей в сторону положительных х, а нижний — в сторону отрицательных. В обоих случаях массовая скорость направлена в сторону распространения волны там, где вещество сжато, и в противоположную сторону там, где оно разрежено.

Общее решение волновых уравнений для ЛО и и складывается из двух частных, соответствующих волнам, бегущим в положительном и отрицательном направлениях оси х. Согласно (1.31), (1.32), (1.33) решения для плотности п скорости можно записать в следующем виде: ЛО = — е 1, (х — сд) )- — ')а (х+ с1), и = /, (х — с1) — )з (х+ с1), (1.34) (1.35) гДе 1, и )а — пРоизвольные фУнкЦии своих аРгУментов, котоРые опРеДеляются вачальными распределениями плотности и скорости: (у, = — ~ — ' Ло (х, О) + и (х, О) ~, 1'з= — (à — ' ЛО(х, О) — и (х, 0)~. се Например, если в начальный момент имеется прямоугольное возмущение плотности, а газ везде неподвижен, то вправо и влево побегут прямоугольные возмущения, как показано на рис.

1.1. *) Чтобы получить волновое уравкевке длл скорости, продвфферсвцкруем уравнение (1.30) по времени к веспольауемсл ураввеввямв (1.27), (1.28): дало дайс д даи з д е и — — = — Ое — — = — саРе —— дса дха дс дх ды дх дхе ' откуда двв!дса=седаи1дха+((1). замечав, что перед волной з невозмущеввем веществе и=О, найдем, что 1(1)=0. 2е ( ° ° - - -" "*" ° ° = -~тЧПхсь1 Первая группа описывает возмущение, распространяющееся в сторону положительной ося х, а вторая — в противоположную сторону.

Действительно, в первом случае, например, ааданное значение плотности соответствует определенному значению аргумента х — с1, т. е. с течением времени бежит в сторону положительных х со скоростью с. Таким образом, с есть скорость распространения звуковых волн. Замечая, что ди (х с- с()/дх = ~ (1/с) дп (х ~ с()/д(, и принимая во внимание, что в невозмущенном газе перед волной и=0, ЛО=О (см. сноску), найдем с помощью уравнения (1.27) связь между массовой скоростью газа и и изменениями плотности или давления: и= ~ — ЛЕ=~ — Р, Л~=с'ЛЕ= ~Е (1.33) 0е зес 20 ГАзОДинАмикА и клАссическАЯ теОРиЯ УДАРных Волн (гл. 1 Если в начальный момент распределения плотности и скорости имели с вид, изображенный на рис.

1.2, причем и =. — Лд, так что )з = О, то ее прямоугольные импульсы побегут только в одну сторону. (Такое воз- мущение может быть создано поршнем, который в начальный момент начал вдвигаться в покоящийся газ с постоянной скоростью и, а через некоторое время «мгновенно» остановился. Если длина прямоугольного импульса равна ю, то, очевИДИО, время действия поршня 11 = А /с,) Особую важность для акустики представляют монохроматические звуковые волны, в которых все величины являются периодическими функциями времени типа ) = А соя ( — х — ш(), ~, с Г б или, в комплексной форме, )'= А ехр ( — (со (( — — *) 1 т = ш/2л есть частота звука, а )с =- = с(т — длина волны.

Всякое возмущение можно разложить в интеграл Фурье, т. е. представить в виде совокупности монохроматических волн с различными частотами. Рнс. 1.1. Распространение прямоугольного импульса плотности и скорости по одной координате в линейной акустике. Рис. 1.2. Воспринимаемые человеческим ухом звуки имеют частоты у от 20 до 20 000 гц (колебаний в 1 сек) и длины волн, соответствующие скорости звука в атмосферном воздухе с = 330 лз/сек *), от 15 лс до 1,5 см. Для характеристики численных значений различных величин в звуковой волне укажем, что для сильнейшего звука, з 10' раз более интенсивного **), чем оркестр фортиссимо, амплитуда изменения плотности е) Покааатель адиабаты воздуха при нормальных условиях у=1.4; с=(др(дй)~~э=(уре)зе) 'з=(у'Пе) тз (так как прп я = сопзс р — йт). е*) Как будет показано ниже, энергия или интенсивность звука пропорциональна квадрату амплитуды изменений давления или плотности, Громкость звука иамеряется в децибеллах, в логарифмической шкале.

За нуль принимается средний порог чувствительности человеческого уха. Увеличение громкости на я децибел означает увеличение энергии звука в 10Ш~~ раа. Увеличение громкости от гпелеста листьев или шепота (- 10 дб) до оркестра фортиссимо (- 80 дб) соответствует увеличению энергии авука в 10т раз.