Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, страница 4

Выпишем зти уравнения без вывода, который можно найти, например, в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1). Будем пренебрегать действием массовых сил (силы тяжести), а также вязкостью и теплопроводностью вещества е). Обозначим через д>д~ частную производную по времени, относящуюся к данной точке пространства, локальную производную, а через ЫЫ1 — субстанциональную производную, характеризующую изменение во времени какой-либо величины, связанной с данной движущейся частицей вещества. Еслиы — вектор скорости частицы с компонентами *) Уравнения газодинамики с учетом вязкости н теклопроводностк будут рассмотрены виже, в 1 20. 14 РАзодинАмикА и клАссическАЯ теОРиЯ УдАРных волн (гл и„, ию и, или ис, где с'=1, 2, 3, то д д — =- — + (иЧ). дс дс (т 1) — +йули= О.

до дс (1 2) С помощью определения (1.1) уравнение непрерывности можно записать в форме — +Ос()уи= О. дс (1.8) В частном случае несжимаемой жидкости, когда О=сопе1, уравнение непрерывности упрощается: йуи=О. (1.4) Второе уравнение выражает закон Ньютона и не отличается от уравнения движения несжимаемой жидкости (р — давление): дм Š— = — Чр дс (1.5) или, в форме уравнения Эйлера, дм 1 — +(иЧ) и= — Чр. дс (1.6) Как легко проверить путем непосредственного вычисления, уравне- ние движения вместе с уравнением непрерывности эквивалентно закону сохранения импульса, записанному в форме, аналогичной уравнению (1,2), — -дис= — —, д дП>А (1.7) дс дхе где ссса — тензор плотности потока импульса Пса дисиа+ Рбы.

(1.8) Уравнение (1.7) выражает тот факт, что изменение с-й компоненты импульса в данной точке пространства связано с вытеканием (втеканием) импульса вместе с весцеством (первое слагаемое в (1.8)) и работой сил давления (второе слагаемое) *). Третье уравнение является существенно новым по сравнению с гндродинамикой несжимаемой жидкости и эквивалентно первому закону термодинамики †зако сохранения энергии. Его можно прочитать так: изменение удельной внутренней энергии е данной частицы вещества происходит за счет работы сжатия,' которую производит над нею окру>касощая среда, а также вследствие выделения энергии от посторонних источников: де ду — +р — =О.

дс дс (1.9) е) В правой части формулы (1.7) производится суммирование по дважды встречающемуся валенсу й (й=1, 2, 3); дса=.1 прп С=й и дм=О прп С чь й. Первое уравнение — уравнение непрерывности — свидетельствув," о сохранении массы вещества, т. е. о том, что изменение плотности П. в данном элементе объема происходит за счет втекания (или вытекання) вещества в этот элемент: $ ы угавннния газовой динамики / 15' Здесь У = 1/Š— удельный объем, а Д вЂ” знерговыделение в 1 сел на 1 г вещества от внешних источников ф может быть и отрицательным, если имеются немеханические потери энергии, например на излучение).

С помощью уравнений непрерывности и движения уравнение энер- гии также можно привести к форме, подобной (1.2), (1.7): — „(Ее +Р— ') = — й1» ~Еи(е+ — ")+рм~+ЕО. (1.1О) Физический смысл этого уравнения состоит в том, что измейенне полной энергии единицы объема в данной точке пространства происходит за счет вытекания (втекания) энергии при движении вещества, работы сил давления и энерговыделения от внешних источников. Уравнения непрерывности, движения и энергии образуют систему пяти уравнений (уравнение движения векторное и эквивалентно трем координатным) относительно пяти неизвестных функций координат и вре- мени: Е, и«, иа, и,', р. Внешние источники энергии (/ считаются заданными, а внутреннюю энергию е можно выразить через плотность и давление, поскольку термодинамические свойства вещества предполагаются извест- ными: е = е (р, Е). Если энергия, как это часто бывает, иавестна не как функция давле- ния и плотности, а как функция температуры Т и плотности или темпе- ратуры и давления, то к системе следует присоединить уравнение состоя- ния вещества р = / (Т, е).

Уравнение состояния идеального газа имеет вид рУ=АТ, р=АеТ, (1.11) где А — газовая постоянная, рассчитанная на 1 г *). Уравнение энергии (1.9) имеет общее значение и справедливо даже тогда, когда вещество не находится в термодинамическом равновесии. В том частном и практически важнейшем случае, когда вещество термоди- намически равновесно, его можно записать в иной форме с помощью второго закона термодинамики Тс/Я = Ые+ рЛ', (1.12) где Я вЂ” удельная энтропия.

В отсутствие внешних источников тепла третье уравнение газодинамики эквивалентно уравнению постоянства энтропии частицы, т. е. условию адиабатичности движения д; =О. (1.1З) В идеальном газе с постоянной тенлоемкостью энтропия особенно просто выражается через давление и плотность (удельный объем) Ю = с» )п рУ»+ сопзС, (1Л4) где у — показатель 'адиабаты, равный отношению удельных теплоемко- стей при постоянном давлении и постоянном объеме, у = ср/с« = 1 + + А/с», В атом случае уравнение адиабатичности (1.13) (или энергии) можно непосредственно записать в форме дифференциального уравнения, связывающего давление и плотность (давление и объем), — — +у — — =О.

з др з оу раз р (1.15) К системе дифференциальных уравнений газодинамики добавляются соответствующие начальные и граничные условия. «) А = м/р, где м — уннверсальная газовая постоянная, а р — молекулярный вес. 16 РАЗОдинАмикА и клАссическАя теОРия удАРных волн ~гл с в 2. Лагранжевы координаты лс = ~ йссх, (1.

16) а приращение массы при переходе от частицы к соседней сссл = Ос1х. (1. 17) Величину и можно выбрать в качестве лагранжевой координаты. Если в начальный момент, как это часто бывает, газ покоится и плотность его постоянна, 9 (х, 0) = йо, то в качестве лагранжевой удобно взять начальную координату частицы, отсчитываемую от точки хс, 'обозначим ее через а.

Тогда х а = 1 — ссх, с1а = — с1х. (1.16) 4 Оо Ро и1 Уравнения плоского движения газа в лагранжевых координатах приобретают простую форму. Уравнение непрерывности, записанное относительно удельного объема К = 1/д и единственной, х-й, компоненты скорости и, есть др ди 1 ду ди — — =-- — или — — =-- дс дт Уо дс да (1.19) Уравнения, в которых газодинамические величины рассматриваются как функции пространственных координат и времени, называют уравнениями в эйлеровой форме или уравнениями в эйлеровых координатах. В случае одномерных движений, т. е.

плоских, цилиндрически и сферически-симметричных, часто пользуются другими, лагранжевыми координатами. В отличие от эйлеровой, лагранжева координата связана не с определенной точкой пространства, а с определенной частицей вещества. Газодинамические величины, выраженные как функции лагранжевых координат, характеризуют изменения плотности, давления, скорости каждой частицы вещества с течением времени. Лагранжевы координаты особенно удобны при рассмотрении внутренних процессов, протекающих в веществе (не выходящих за рамки данной частицы) скажем, химической реакции, ход которой с течением времени зависит от изменения температуры и плотности частицы. Введение лагранжевых координат в ряде случаев позволяет также более коротким и легким путем находить точные решения уравнений газодинамики или делает более удобным численное интегрирование последних.

Производная по времени в лагранжевых координатах эквивалентна просто субстанциональной производной с1сс(С. Частицу можно характеризовать массой вещества, которое отделяет ее от какой-то другой, фиксированной частицы, или ее координатой в начальный момент времени. Особенно просто введение лагранжевых координат в плоском случае, когда движение зависит только от одной декартовой координаты х. Обозначим текущую эйлерову координату рассматриваемой частицы через х, а координату какой-то фиксированной частицы — через х, (в качестве фиксированной может быть, например, выбрана частица около твердой стенки или около границы газа с пустотой, если таковые имеются в задаче).

Тогда масса столба единичного сечения между рассматриваемой частицей и фиксированной равна х 17 лАгглнжввь> коогдинАты ди др дз др — — — или д> дт де да (1.20) Что же касается уравнения энергии, записанного в форме (1.9) или в форме условия адиабатичности (1.13) (при отсутствии внешних источников тепла и диссипативных процессов — вязкости и теплопроводности), то они сохраняют свою форму; следует лишь заменить обозначение о>з(1 на д/д1.