Л.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 4

формулировка теоремы существования и единственности В $ 1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение пер- вого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения. Теория обыкновенных диф- ференциальных уравнениИ имеет дело и с более обшими системами уравнений. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравне- ниИ состоит из стольких уравнениИ, сколько в нее входит неизвест- ных функций; при этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же независимого переменного. Во всех случаях те- орема сушествования и единственности является основным теорети- ческим положением, дающим возможность подойти к изучению дан- ноИ системы дифференциальных уравнениИ.

Теорема существования и единственности формулируется и до- казывается применительно к системе уравнениИ, по внешнему виду имеюшеИ несколько частный тип. В действительности же к этой си- стеме уравнений сводятся системы сравнительно общего типа.

Систе- мы дифференциальных уравнениИ того частного типа, о котором здесь идет речь, мы будем называть в дальнейшем нор.вольными. Система е~ — у~ (1, х1, хя,..., х"); 1= 1,..., и, (1) обыкновенных дифференциальных уравнений называется норлсальной. В этой системе 1 — независимое переменное, х',..., х" — неизвестные функции этого переменного, а г',..., у" — функции от и + 1 перемен- ных, заданные на некотором открытом множестве Г пространства размерности и+1, в котором координатами точки являются числа 1, х',..., х'.

В дальнеяшем всегда будет предполагаться, что функции ( г х ~ х Я х ч ) г 1 и л) непрерывны на открытом множестве Г; точно так же'.будет пред- полагаться, что и их частные производные д/' (б л', л',..., х") — 1,)'=1,..., и, существуют и непрерывны на множестве Г.

Следует заметить, что частные производные (3), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным х', ..., х", а це по независимому переменному 1. Решенлелг, системы уравнений (1) называется система непрерывных функциИ х'= т'(1) 1 = 1,..., и, определенных на некотором интервале г, ( 1 (г, и удовлетворяющих системе (1). Интервал г,(т (г, называется интераалоле 22 введении 1гь г определения решения (4) (случаи г, = — сю, гя =+ со не исключаются).

Считается, что система функций (4) удовлетворяет системе уравнений (1), если при подстановке в соотношение (1) вместо х',..., х" функций (4) соотношения (1) превращаются в тождества по 1 на всем интервале г, (1(г,. Для возможности этой подстановки необходимо, чтобы функции (4) имели производные в каждой точке интервала гг(1(гя и чтобы правые части уравнений (1) были определены для всех подставляемых в них значений аргументов. Таким образом, точка с координатами 'Р (т)» ° ЧР (т) Э 1ь1 хат хм ° э хьь множества Г существует решение хг=уг(1), 1=1,..., и, (6) системы (1), определенное на некотором интервале, содержащем точку т„гг удовлетворяющее условиям: рг(1,)=хь1 1=1,..., и.

(7) Далее, оказывается, что если имеются два каких-либо решения х'=Ф!(1), . 1=1,", и, 1 хг=у'(1), 1=1,..., и, ) (8) системы (1), удовлетворяющих условиям 'т' (гь)=Х (ть)=хь (9) а причем каждое решение определено на своем собственном интервале значенпй переменного 1, содержащем точку 1ь, то решения эти совпадают всюду, где они оба определены. Значения (о) называются начальными для решения (6), а соотношения (7) называются начальными условиями для этого решения. Мы будем говорить в дальнейшем, что решение (6) имеет начальные значения (6) или удовлетворяет начальным условия.и (7). должна принадлежать множеству Г для всех значений 1 на интервале г,(г(г,. Дадим теперь формулировку теоремы существования и единственности для нормальной системы (1). (Доказательство будет приведено в $21.) Т е о р е м а 2.

Пусть (1) — нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь правые части уравнений (1) определены на некотором открытом множестве Г, а функцигг (2) и (3) непрерывны на этом множестве. Оказывается, что для каждой точки $3 ! ФОРЬ(уЧИРОВКЛ ТЕОРЕМЫ СущсеСТВОВАНИя И ЕдИНСТВЕННОСЧИ 23 Таким образом, теорему существования и единственности для нормальной системы кратко можно формулировать так: Каковы бы ни были начальные значения (б), всегда существует решение системы (1) с этими начальными значениями, определенное на некотором интервале, содержащем и<очку 1ь.

Далее, если имеются два решения с одинаковыми начальными значениями (5), каждое из которых определено на своем интервале, содержащем 1ь, то эти решения совпадают на общей части э<них интервалов. ( овершепно так же, как в $ 2, введем адесь понятие непродолжаемого решения.

А) Пусть т < ( ) 1 1 и (<и) — решение системы уравнений (1), определеннсе на интервале г, (1(г„и х' = 1<(1). 1 = 1,..., и, (11) — решение той же системы уравнений (1), определенное на интервале з,(<(з,. Мы будем говорить, что решение (11) является продолзкенпем решения (10), если интервал з, (1(з, содержит интервал г,«(г, (т. е. э, .-гм г,~э,) и решение (!О) совпадает с решением (11) на интервале г, (1(г,. В частности, мы будем считать, что решение (11) является продолжением решения (10) и в том сгучае, когда оба решения полностью совпадают, т. е.

э,=г„ г,=ь,. Решение (10) будем называть непродолжаемыл<, если не существует ни; акого отличного от пего решения, явля(оп(егося его ' оруао~ аев. УУ руаао ао ю (ю еео буаее еае о ~ ооеа ы. и. б аа, АУУ, что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого и притом единственным способом.

Формулируем ~еперь еще олпу теорему существования, доказательство которой будет приведено в $ 21. Те о рема 3. Пусть П х' ~; а,'Яхт-~-Ь<®; 1=1,..., п, (12) /=< — нормальная линейная сисгпел<а уравнена«. Здесь коэффициенты а;(1) и свободные члены Ь< (<) явлню<пся непрерывными функц~- ял<и независимого переменного <', определенными на некоторол< интервале (у,(<((уя. Оказывае<пся, что для любых начальных значений 1ь, х(, ха~,„., х",; <)<(<ь((Уь (13) вввдвннв 1гл.

! где (14) есть решение системы. Сама система (1) интерпретируется с помацью ноля направлений в (и+1)-мерном пространстве (ср. 2 1). Примеры 1. Решим нормальную линейную систему уравнений х = — юву, у = юях. (15) Мнгжеством Г для нее является все трехмерное пространство с координатами 1, х, у. Непосредственно проверяется, что система функций х= с, сох(юв1+ с,), у= с, а)п(юв1+ с,). (16) где с, и г, — произвольные постоянные, представляет собой решение системы (15). Лля того чтобы показать, что, выбирая надлежащим образом постоянные с, и с„можно получить по формуле (16) произвольное решение, зададимся начальными значениями ~р, х„ув и покажем, что среди решений (16) имеется решение с этими начальными значениями. Мы получаем для постоянных с, и са условия сю соз (мгв+ ся) = хм сю а!и (юьюв+ са) =ув. (17) Пусть р и юв — полярные координаты точки (х„юаь), так что хв = р соз юр, ув — — р а1п юв.

Тогда уравнения (17) переписываются в виде: сю соа (юв1, + с,) = р соз юр, сю а(п (юг, + с,) = р а1п ф Полагая ся = юг — ювюь~ с,=р, мы, очевидно, выполним условия (17). Таким образом, через каждую точку (ю„х„, у,) проходит решение, задаваемое формулой (16). существует решение сююстелюы (12) с лтимюю начальными значенююямюю, определенное на вселю ююнтервале а,(1(ю7. В частности, если коэффициен.гы и свободные члены системы (12) определены на всей прямой, т. е.

если ю),= — оо, ю7а — — +со, то для любых начальных значений существует решение системы (12), определенное на всем бесконечном интервале — со (ю (+ со. Решения нормальной системы (1) интерпретируются геометрически в виде интегральных кривых в (и+1) мерном прост- ранствЕ с координатами 1, х', ..., х" (ср. $1). Уравнения интегральной кривой имеют вид: х'= ~'(1), 1=1, ..., п, (14) свсдггнив овщзп снстсмы углвнгнип к цогмлльноп 25 В силу теоремы 2 (единственность) формула (1бф охватывает совокупность всех решений. 2.

Покажем, что если правые части (2) системы уравнений (!) я раз непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные производные порядка к (включая смешанные) по всем переменным х', ..., х", то (я+ 1)-я производная решения (4) системы (!) существует и непрерывна. В самом деле, для решения (4) имеет место тождество; Ф'(1)=У'И т'(О ." ~" И)) 1= 1* Если правые части (2) имеют непрерывные первые производные, то правая часть тождества (18) имеет непрерывную производную по и потому функция !!1'(1) существует и непрерывна.

дифференцируя написанное тождество (18) я раз, мы последовательно убедимся в существовании и непрерывности всех производных порядков 2, 3,..., я+1 функций ~'(1). $4. Сведение обшей системы дифференциальных уравнений к нормалъной В предыдущем параграфе была сформулирована теорема существования и единственности для нормальной системы дифференциальных уравнений. Здесь будет показано, каким образом весьма общие системы дифференциальных уравнений сводятся к нормальным системам дифференциальных уравнений, и тем самым будет установлена теорема существования и единственности для этих общих систем уравнений. ))адим сначала понятие о системе дифференциальных уравнений в общем виде. В случае одной неизвестной функции х независимого переменного 1 обычно рассматривается одно уравнение, которое можно записать в виде: Р(1, х,,й, ..., .!"»)=О.

Здесь 1 — независимое переменное, х — его неизвестная функция, а Р— задайная функция п+ 2 переменных. Функция Г может быть задана не для всех значений ее аргументов, поэтому говорят об области В задания функции Р. Здесь имеется в виду открытое множество В координатного пространства размерности и+2, в котором координатами точки являются переменные 1, х, к, ..., х'"».

Если максимальный порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, равен л, то говорят, что имеется уравнение и-го порядка. Решением уравнения (1) называется такая непрерывная функция х = я (1) независимого переменного 1, определенная на некотором интервале г,(1(г„что при подстановке ее вместо х в урав- Вввдсннв [Гл ! нение (1) мы получаем тождество по 1 на интервале г,(г(г,, Очевидно, что подстановка х= ч (1) в соотношение (1) возможна лишь тогда, когда функция о(1) па всем интервале своего существования г,(г(г имеет производные до порядка и включительно.