В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу, страница 5

Доказать, а) в Х!Ь можно ввести норму равенством](~]х ь=й1 ф,; б) если Х вЂ” бананово пространство, то в введенной норме Х/Б — балахона пространство; в) Х/Б изоморфно В, если Х = С(0, 11, Е = (х(г) ж ж С(0, 11: х(0) -О). 5 3. Гпльбертовы пространства Вещественное линейное пространство называется ввклндовыл, если каждой паре его элементов х, у поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярныл произведением, так что выполняются следующие аксиомы: 1) (х, х) ~ О, (х, х) = 0 тогда п только тогда, когда х= О; 2) (х, у) (у, х); 3) (Лх, у) = Л(х, у) для любого Л ~ В: 4) (х+ у, г) = (х, г) + (у, г).

Комплексное линейное пространство называется унитирныл, если каждой иаре его элементов х, у поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведгпиел, так что выполняются следующие аксиомы: 1) (х, х) ~ О, (х, х) = 0 тогда п только тогда, когда х= О; 2) (х, у) = (~~, х) (черта означает комплексное соиря'ление); 3) (Лх, у) = Л(х, у) для любого Л ж С; 4) (х+у, г) (х, г)+(у, г).

Из неравенства Каши — Буняковского !(х, у)!' = -(х, х)(у, у) вытекает, что в евклпдовом и унитарном пространствах можно ввести норму равенством ()х!! = =- У(х, х), Пространство Н со скалярным произведением (евклидова илп унитарное) называется гильбвртовым, если опо является полным в этой порке.

Углом между ненулевыми элементами х, у вещественного гильбертова пространства называется угол гр, заключенный между 0 и я такой, что сов гр = !! !(!!э(! ' Элементы х, у ж Н называют ортогональнызш и записывают х-!- у, если (х, у) = О. Множество г~и Н таких, что (г, х) = 0 для любого х ~и М ~ Н, обозначается М-'. Снстема элементов Ь,, Ь., ~ Н называется ортогональной, если (Ь„Ь,) = 0 при гч-'/, Ь,чь 0 и артонорлп- 26 рованнои, если !1 при 1=1; (Ь „ /ц) = Ь„= 1 (О прп Система элементов х,, х,..., ~иН называется линейно независимой, если при л|обом натуральном п система х„х„..., х„лияейно независима.

Теорема 3.1. Пусть Ь„Ь,, ... жН вЂ” линейно независимая систеча элементов. Тогда в Н суа)ествует такая ортогональная система элементов /и /н .,., что /,=а„,Ь,+а,,Ь,+...+амЬ„а„яС, амчьО, Ь=1, 2, ..., Ь„ - Ьа/, + Ь,А + ... + Ьь!;, Ьэ и С, Ьн чь О, 1 = 1, 2, ... Построение ортогональная системы по задаинои линейно независимой называется ортогонализацией. Определителвл Трала свстемы элементов х, х„ ..., ха ж Н называется определитель ("П "т)(гм "г) (хз ха) Г (х„х„., „х,) = ('г 'г) ('г 'г) " ('г э) (' ' ' ) (' ' г) ' ' ' ( ' ) Ортогональная система ць гр„...

и Н называется пол- ной, если любой элемент из Н может быть представлен в влде так называемого ряда Фурье! х = Хсьгрю где с, = (х, гр,)/(!грР (Ь ~ Ь() — коэффициенты Фур е (т. е. ряд лай сьгрь сходится по норме Н и его сумма рав- на х). Полная ортогональная система называется ортого- нальным базисол пространства Н, Т орем а 3.2.

Пусть М вЂ” замкнутое выпуклое лно' е жество в гильбертавол пространстве Н и элемент х Ф Тогда существует такой единственный элемент у ж М, гго р(х, М) !)х — у!!. Теорема 3.3. Пусть Е = Н вЂ” подпространства. Тог- да П= Е ы Еэ., г, е, любой элемент х из П допускает единственное представление в виде х = и+ и, где и<и Б, ижр'ь.

При этол р(х, Е) !!х — и!! = Ы. Элемент р называется проекцией элемента х на над- пространство Б, 27 3.1. Доказать, что в определении евклид»ва (уш>торного) пространства аксиому 1) можно»аиешиь иа аксиом!к (х,.т)л' О, пз (.г, х) = О следует х О. 3.2. Доказать, что в просзранстве со скалярных! произведением: а) для любых элементов х, у, г имеет место гождестео Аполлония: !! г — х !!е + 1', г — у !!г = 2 !! х — у 11' + 2 !! г — ' —,' '" !>; б) для любых элементов х, у, г, ! имеет место неравенство Птолемея: !)х — г)1 1у — 11 < !)х — у~!)г — 1~)+ ?у — г! 1'х — 11; когда в нем реализуется равенство? 3,3, Доказать, что в евклпдовом пространстве элементы х н у ортогональпы тогда и только тогда, когда (хР + + )'у)Р = 1х + уР, 3.4.

Доказать, что в унитарном пространстве элементы х н у ортогональны тогда и только тогда, когда 1),х1> + +))ру~)' 1~?х+ )»у~)' для любых л, раз С. 3.5. Пусть Х вЂ” вещественное липейлое нормированное пространство и для любых х, у >и Х выполняется равенство параллелограмма: 11х+ уР+ )~х — уР = 26)хР+?уР). Доказать, что формула (х,у)= г(!!х+ у!!! — !!х — у!!') задает в Х скалярное произведение, согласующееся с нормой в Х, т. е.

такое, что (х, х) = 1)хР. 3.6. 11усть Х вЂ” комплексное линейное нормированное пространство и для любых х, у я Х выполняется равенство параллелограмма: )~х+ уР+ 1х — у~!' = 2(1хР +?уй Доказать, что формула (х, у) = — (!!х -1- у!!г — !!х — у!!!) — — (!1т+ !'у!(> — !!х — >у!!г) задает в Х скалярное произведение, согласугощееся с нормой в Х. 3.7. Доказать, что в пространстве С[О, 11 нельзя ввести скалярное произведение, согласую>щееся с нормой этого пространства. 28 3.8. Доказатзь что в иросзраистве 1, нельзя ввести скалнриое произведение,' согласующееся.с нормой этого ярос>рапства.

3.9. В линейном пространстве Г>[а, (>1 непрерывных па (а, б) функций положим ь (х,у) = ~ х(!)у(!)й. и Является ли зто пространство гильбертовым? ЗЛО. В липейпоз! пространстве Н,(а, 51 непрерывно дифференцируемых нз (а, б) функций положим ь ( у) = ) 1х(!)у(1)+ г»(1)у'(!)1г?1. а Является ли пространство Н,(а, (>1 гнльбертовым? 3.11. В линейном пространстве последовательностей х = (хь х., ) (х, ~ В) таких, что Х х»< ь=! положим (х, у) = ч~?.!»ьу>„ ь=-! где 2,~ В, О < )„<1.

Будет ли полученное евклидово пространство гильбертовым. .? 3.12. Пусть Н вЂ” сеиарабельпое гильбертово пространство. Доказать, что всякая ортопормпрованиая система в Н не более чем счетиа. ЗЛЗ. Пусть х„х....., х. — ортогональная система в и гильбертовом пространстве П, х = Х тю Доказать, что ь=! !!.г))г = ~З„!!х„!!г, ЗЛ4. Пусть х„х,, ...

— ортогональная система в гильбертовом пространстве П. Доказать, что ряд ~~ хь сходится в Н тогда и только тогда, когда сходится числовой ряд л»ч !!» !! ° ЗЛ5. П сть е„(л >и?з!) — ортопормпровапная спстел>а в у гпльбертовом пространстве Н, ?,„ — последовательность 29 поло >кнм прн (О прп 30 веп[ествеппыт плп комплекспыч ч, . Д поел. Доказать, что ряд ! и -! .„еи сходятся в Н го>да и ы>лыио го! де, ко! >>е Х !)> 1'<-. 3 16. Пусть т„х ... и у, ,, у„, .. — такие спстемы нтов, что (Снстемы х„хь... и у„уи, называются б>лортегональ- яьгки,) Доказать что ! завпспма. закидая пз этих спстем линейно н— е- 317.

До и . Д казать, что спстема элементов б глль ертова тогда н только тогда, ространства лннейпо неэавпснма когда ее определитель Грама отлпчен от пуля. 3.18. Доказать, чт о гильбертово пространство являет- ся строго нормированным. 3.19. П сть в деннем ля х у пространстве Н со скалярным про, пронзве1х ~Р = ~) д, я х>, х, Н выполняется равенств В (, ) = х, . Доказать, что х, = х!.

о ех„х! 3.20. Пусть х„ ному ша Я (0) в „, у„прннадлежат замкнутому едннниру > в глльбертовом пространстве Н н х., у„) - 1 прн к - ии. Доказать, что 1х„ — у„~) — 0 прп 3.21. Локаз . Д ' ать, что для того чтобы элемент х гпльбе- това пространства Н был гиль ерр ства был ортогоналоп подпрострапств , необхо пмо н д . достаточно, чтобы для л>обого элет у 3.22. Доказать, мента у ~ Ь имело место неравенств 1х>) ( >! о х — у. в гкльбе . Доказать, что для произвольного множ М ртовом пространстве Н множество М" является 'ест ва подпространством, 3.23. Д . Доказать, что для любого множества М бертовом и ост ап ства в гиль- с (Мл л. р трапстве Н имеет место включевне М >= ) . Возможно лн здесь строгое включепне? 3.24. Доказать, что для множества М в гпльберзовом выполняется тогда пространстве Н равенство М = (Мл)л и только тогда, когда М вЂ” подпрострапство П.

3.25. Пусть М %в — такие множества в гпльбертовом пространстве П, что М~Х Доказать, что М-'~ Л'л, лкнеппом пространстве пепрерывныХ па (О, >) фупкцнй хП) таких что ~) (1))г 'е' ) )х( )) е 31 сходится, и (х,у) - ~х(Г)у(г)е 'и(1. п а) Проверпть выполнеппе акспом скалярного произведения. б) Рассмотрпч линейно незавпспмук> спстему 1, 1, Ф',... В результате ее ортогопалпэацпп получается ортогональная система многочленов т1ебышева — Лаггера. 11айтп трп ее первых многочлепа.

3.27. В лкнейном пространстве непрерывных на ( — и', и ) функций х(1) такпх, гго ~ !х(())ие ' о>й схоии >и дптся, положпм(т,у) ~ х(1)у(Г)е ит>, а) Проверить выполненпе акспом скалярного пропзведения. б) Рассмотрпм линейно незавпспмую спстему 1, 1, Г',... В результате ее ортогопалпзацнн получается ортогональная снстелта многочленов т1ебышева — Зрззнта. Найтп трп ее первых многочлепа.

3.28. В пространстве 1, рассмотрнм множество ° и ЛУ х ен 1,„х = (х„х„...) . '2,' х„= 0 . х=! Доказать, что М вЂ” линейное многообразне, всюду плотное В 1!. 3.29. В линейном многообразня М задачн 3.28 нантн линейно неэавкспмую систему элементов, ортогоналнзацня которой дает базис пространства 1,. 3.30. Доказать, что прн фиксированном натуральном я множество и Я = х ~ („х = (х„, х„...): ~ х>, = 0 Хим является подпространством пространства 1,. Оппсать такое подпрострапство )Ч, что 1! = М ~ >>>. 3.31. Пусть М, >>> — подпрострапства гнльбертова просграпства П и М -1. У.

Доказать, что М + М вЂ” подпространство П, 31 3.32. Пусть М, Хгт — такие множества в гильоертовои пространстве Н, что любой элемент х ю Н единственныи образом представим в впде х = и+ п, где и ю ]ЬХ, огя тгг, Следует лп отсюда, что ттХ п У вЂ” надпространства пространства ХХ? 3,33. В пространстве !о привести пример такого множества М, что множество М + М~ не совпадает со всем !. 3.34. Пусть М, й! — такие надпространства гильбертова пространства Н, что П = М + Ж Верно лп, что У = М~? 3.35. Прнвестн пример таких двух бесконечномерных надпространств ))Х, гу пространства 1, что 1, = М Ю тгг. 3.36. В пространстве Ег [ — 1, 11 рассмотрнм множество М функций х(!), равных нулю при !~ О. а) Доказать, что М вЂ” надпространство ьо [- 1, !]. б) Описать надпространство М«.