В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу, страница 2

Здесь же уделяется внимание неограниченным операторам, в частности, оператору Штурма — Лиувилля (з 22). Глава 6 содержит задачи нелинейного функционального анализа. Рассматриваются дифференцирование в нелинейном случае, сжимающие отображения, метод касательных Ньютона, принцип Шаудера, неявные операторы. Отметим, что этн и другие разделы нелинейного функционального анализа появились в связи с выросшпзпз потребностями теории дкфференцнальных уравнений, численных методов, математического программировакия и других разделов математики.

Определенный интерес для прикладников может представить глава 7, которая содержит подборку задач и упражнений па важнейшие современные приближенные методы — метод разностных схем, метод сплайнов, метод Галеркина н метод монотонных операторов. Последняя, 8-я глава посвящена вариационному исчислению, как классическому (Я 30, 31), так и абстрактному (з 32). При этом авторы старались найти единый подход к этим во)тросам. Поскольку задачник предназначен, в основном, для студентов технических вузов, авторы сочли нецелесообразным включать в него упражнения по теории топологическпх н линейных топологнческпх пространств и по теории меры. В сборник из-за ограниченного объема не вошли также некоторые важные прикладные разделы функционального анализа, в частности, применения к тео- ряи дифференциальных уравнений с частными производными (общий метод Фурье, обобщенные функции, полу- группы, приближенные схемы) п к теории оптимального у правления. Авторы глубоко признательны профессору кафедры теории функций и функционального анализа МГУ пм.

М. В. Ломоносова А. А. Кириллову, профессору Л. И, Прилепко н возглавляемому им коллективу кафедры высшей математики МИФИ за большое число ценных советов, учтенных при подготовке настоящего издания. Авторы искренне благодарны А. И. Штерну, проверившему текст рукописи во всех его деталях и высказавшему много полезных замечаний, а также Л. Б. Корельштейну за помощь в составлении ответов п указаний. и. А.

Тревог«а Б. гг'.Писареес«аа Т. С. Соеолееа Глава 1 НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА $ (. Линеиные нормированные пространства Линейное пространство Х над мпожеством вещественных чисел К (комплексных чисел С) называется нормированным пространством, если каждому х ш Х поставлено в соответствие неотрицательное число !!х'!, называембе нормой х, так, что выполнены следующие три аксиомы: () !!х!! = 0 тогда и только тогда, когда х = 0; 2) !!),х!! = !) ! (!х!! для любого х ж Х и любого вещественного (комплексного) числа ),; 3) !!х+ у!! ~ !!х(!+ !!у!! для любых х, уж Х. Открытым шаром с центром в точке х, ж Х и радиусом г> 0 называется множество Я,(х,) =(хсиХ: !!х — х,(! < (г). Замкнутым шаром с центром уточке х,шХ и радиусом г > 0 называется множество Я,(хе) = (х ж Х: !'х — х,!! < г).

Сферой с центром в точке х,жХ и радиусом г) 0 называется мнонеество о,(х„) = (х ж Х: !!х— — х,!! г). Множество А ~Х называется ограниченнызг, если его можно заключить в некоторый шар (открытый или замкнутый). Диазгетром множества А ~ Х называется число с))атА = зпр !!х — у!!. Расстоянием от точки хси Х до мно- «мЯА хсества А ~ Х нааывается число р(х, А) = ш(!!х — у!!. вал Расстоянием .ыехсду множествами А, В~ Х называется число р(А, В) = (и( )(х — у)!. «ел он в Множество Мс Х называется открытым, если для любой х, гиМ существует г)0 такое, что Я,(х,) ~ М.

Точка а ги Х называется предельной точкой множества М с Х, если в любом шаре Я,(а) найдется точка хеиМ (хчьа). Множество всех предельных точек множества М обозначается М'.. Множество М 0 М' называется замыканиезг множества М и обозначается Д. Множество М ~ Х называется замкнутым, если лг = М.

9 Последовательность х„я Х (и ~ )ч) называют сходя; гцгйся к элементу х, ы Х и записывают х„- х„если 1!х„— х,!! — О при и- Множество 1, ~= Х называется липейныл многообразием, если из х, у~к Ь следует, что х+у ыЬ и Ххы В для любого.числа ).. Если линейное многообразие является замкнутым в Х множеством, то оно называется подпространгтвоэь Алгебраической суммой множеств А п В пространства Х называется множество А+В всевозможных сумм вида а+ Ь, где а ы А, 6 ы В. Пусть х, <ы Х— произвольный элемент, Ь ~= Х вЂ” линейное многообразие.

Множество х, + Ь называется аффиппым лгпогоабрагивль Пусть Б, М вЂ” надпространства пространства Х такие, что любой элемент х ю Х единственным образом представим в виде х = и+ и, где и ы Ь, и ы М. В этом случае говорят, что Х есть прямая сулсиа Ь и М и записывают Х = В Ю М. Отрезков, соединяющим точки х, у ш Х, называется множество точек вида ах+ бу, где и > О, 6 ~ О, а + 6 = 1. Множество А ~ Х называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки А, целиком лежит в А. Множество А ~ Х называется всюду плотным в Х, если А Х.

Пространство Х называется сгпарабгльным, если й нем существует счетное всюду плотное множество. Множество А <=Х называется нигде не плотпылг в Х, если в наждак шаре Я <= Х содеря ится другой шар Я„ ке содержащий точек А. Пространство Х называется строго нормированным, если в ием равенство 11х+ у)1 = 11х11+ 1!у!1 прн хчь О, уФ О воаможно только для у =).х, где ) ~ О.

Отображение г: Х - У линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство У называется непрерывным в точке х,ыХ, если для любого е ~ О существует 6 6(е) ) О такое, что для любого хаааа(хО) 1(х) ыЯ,(((х,)). Отображение»! Х- У называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х, ы Х. Отображение»": Х вЂ” У нааывается равномерна непрерывным, если для любого е ) О существует 6 = = 6(е) > О такое, что для любого х, ы Х из х ы Ых,) следует ((х) ~и Я,()(х,)). 1Л. Доказать, что в определении линейного нормированного пространства аксиому 1) можно заменить на аксиому: иа 1х11 = О следует х = О. 1.2.

Пусть х„, х, у„, уж Х (пыл). Доказать.что'. а) если х„- х, то х„— ограниченная последовательность; 10 б) если х. — х, 1„- )., ).„ш С, то )..х„- ).х! в) если х„х, то !!х„1 1х!1; г) если х„- х н !!х„— у„11 - О, то у„- х; д) если х„- х, то 11х„— у!! — 11х — у!!; е) если х„х, у„- у, то 1)х„-. у„11 - 11х — у)1.

1,3. Доказать, что открытый шар Я,(х,) — открытое множество, замкнутый шар о,(х,) — аамкнутое множество и замыкание Я,(х,) совпадает с Я,(х,), 1.4. Доказать, что дйагв Я,(х,) = 2». 1.5. Пусть Я,(а) сЯ,(6) ~Х. Доказать„что гатт и 1'а — 6!1 <  — г. 1.6, Доказать, что для любых элементов х, уж Х выполняется неравенство 11х11 < шах 0!х+ у11, 1!х — у)1). 1.7. Доказать, что алгебраическая сумма и объединение двух ограниченных множеств — ограниченные множества.

1.8, Доказать, что множество А ~='Х является ограниченным тогда и только тогда, когда сйашА ( 1.9. Доказать, что множество А <= Х является ограниченным тогда и только тогда, когда для любой последовательности х. ы А н любой последовательности ).„ж С, стремящейся к нулю, последовательность ?.„х„стремится к нулю. 1ЛО. Пусть А ~ Х вЂ” ограниченное множество. Доказать, что А — огранпчеяное мноясество и 61аш А * = й!аш А. 1,11. Доказать, что для произвольного множества А ~ Х множество А аамкнуто.

1.12. Доказать, что для произвольного множества А ~ Х имеет место включение (А')'~А'. Возможно ли здесь строгое включение? 1.13. Следует лп из А, В ш Х, А ~ В, что А сВ? 1Л4. Пусть А ~ Х вЂ” замкнутое множество. Доказать, по р(х, А) =О тогда и только тогда, когда хыА.

1.15. Пусть А, Вс Х вЂ” произвольные множества. Доказать, что р(А, В) =рЯ, В) =р(А, В) р(Л, В). 1.16. Пусть хи Х вЂ” произвольная точка, А <= Х вЂ” произвольное множество. Доказать, что р(х, А) =р(х, А). 1.17. Пусть А, В <= Х вЂ” замкнутые множества, Возможно лп, что р(А, В) =О, если А О В- !Э? 1Л8. Пусть А ~ Х вЂ” произвольное множество, Назовем границей множества А множество дА таких точек хыХ, что любой открытый шар с центром в х содержиг котя бы одну точку из А и хотя бы одну точку из дополненпя к А.

Доказать, что дА — замкнутое множест- во и что граница А совпадает с границей дополнения к А. 1.19. Доказать, что если хотя бы одно пз множеств Л, В = Х открыто, то А +  — открытое множество. 1.20. Пусть А „А, ~ Х вЂ” замкнутые мпол'ествгч причем ' А, [) А, = а!.

Построить открь[тые чпо[кества В„В1 1= Х такие, что А1~ ВО Ад ~ В» и В, [) В, = 8, 1.21. Доказать, что в любом линейном нормированном пространстве существуют два непересекающиеся открытые множества, которые нельзя поместить в непересекающиеся замкнутые. 1.22, Убедиться, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно.

Что означает сходпмость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств? а) Пространство Е" столбцов х (х»)»=1 (хд ен К » 11,'1 ХА~С)) с нормой )х(= ~ ~ !ХА!А~ »=-1 б) Пространство с столбцов х =- (х„)д=, (хд ен К (х„1и С)) с нормой !!х!= шах )х» !. 1» А»т» в) Пространство Р столбцов х =: (х„)», (ХАМ К (хд~ зн С)) с нормой т !! х [! = ~~'., ! хд !.

А=1 г) Пространство )р (р ) 1) столоцов х (х»)д 1 (хд»=. ен К (хден С)) с нормой !!Х) = ~ (хд)~ ° д) Пространство ), последовательностей х = (х„х„...) СФ (х»1иК (х»1иС)), удовлетворяющих условию Х (хд! < Оо, »=1 с нормой ![х!! ~ (хд), А=1 е) Пространство 1, последовательностей х=(х„хь, ) (х» ~и К (х» 1и С)), удовлетворяющих условию ~» )х» )А < А=1 [2 <со с нормой !!х! = 2,' ! хд (А и) Пространство ), (р > 1) последовательностей х = = (х„х„...) (х, ~ К (х, 1и С)), удовлетворя[ощих ус[юю ~~.'! )х ! < , с нор »=1 » [на (х! = ~ Х ! д!"~ »=1 з) Пространство т ограниченных последовательностей х = (хо хь ...) (х» ш К (хд ш С) ) с нормой ))х!! = акр! хд! .А и) Пространство с, стремящихся к нулю последовательностей х=(х„хь ...) (Х»шК (хдшС)) с нормой !!х ! = шах )хд !. к) Пространство с сходящихся последовательностей х = (х„х„...) (х»1и К (х,ш С)) с нормой !!4 = зпр (хд! 1.23.

Убедиться, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств? а) Пространство С(а, Ь! непрерывных на (а, Ь] функций с нормой !/х//= шах (х([)!. [и[а,ь[ б) Пространстве С"(а, Ь! й раз непрерывно дифферепцпруемых на (а, Ь) функций с нормой' А ) )= ~чз . )Х[о([)!.

,=ь 1=[» ь[ в) Пространство М(а, Ь) всех ограниченных на (а, Ь) функций с нормой $/Х!»в ЗПР (Х(1)!. ьн[»,ь) г) Пространство К непрерывных на вещественной прямой финитпых функций (равных нулю вне некоторого 13 интервала, своего для каждой функции) с нормой (х1= шах(х(!)), с д) Пространство Е,(а, Ь! непрерывных на (а, Ь) функций с нормой ГА ~ 1 ГГ 1х1 = ~~ (х (!) ( (г ~, 1 < р < а е) Пространство )г(а, Ь) функций с ограниченной на (а, Ь) вариацией с норман А ~х1= )х(а)(+ А/ х(!), а Функция х(1), заданная на (а, Ы, нааывается функцией с ограниченной вариацией, если существует постоянная с такая, что для любого раабнения отрезка (а, Ы; а = 1, < 1, «... 1 = Ь, выполняется неравенство А=1 Х ) х (1А) — х (11 — 1) (< с.

Для функции с ограниченной на (а, Ы вариацией ее полной вариацией нааывается число ~/ х(!) = зпр ~ (х(11) — х(1А,) (, а А=1 где верхняя грань берется по всевозможным конечным разбиениям отрезка (а, Ы. 1.24. Изобразить единичный замкнутый шар 31(0) в вещественных пространствах Е', с', Р, 11. 1.25.

Можно лн в множестве столбцов х = (хА)А"=-! (ХА вн В) положить (х!)= ~ (хА( если р<1, т>2? 1.20. Д . б. Доказать следующие неравенства для норм: а) сг,„))х(в„<1х) „<Р,„)х()ввй б) у '1х), <!х~, <6 гх!1~; в) е„,зх~~ '1х(! (~т,„)х)в . Укааать наилучшие значения входящих в них положительных постоянных !х, р, у, 6, е?„е . .27, Пусть иА ) 0 (й = 1, 2, ..., т). Доказать, что в 1й пространстве столбцов х (ха)„=, (хА еи В) можно ввести норму следующими способами: а) Цх( !пах (аА)хА/); 1ЛАЛн б) 1х)= ~к~~ аА )хА); 7й !н в) ((х) = ~,',~„а,, !хА(1~ А=1 1.28.