В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу, страница 10

Вызестп огснгда, что епр)А„~'с П д) Составить и реализовать на ЭВй[ алгоритм вычпсленгля 1А„~) при различпыл гг. Оправдызагот ли результаты вычислений предположение г)? 8Л6. Пусть со= й/и (й=О, 1...,, п) — разбиение отрезка [О, И, х(П н С10, 1). Положим ро (1) = Аох(Г) = ~ х(Ед) 6;,"~(г), г =-о где. С',"'(1)- (г — го) (г — г,) (г - г, ,) (г - г„ ,),, (г г ) (гд — г,)(г, — г,)... (г, — гд,) (г„г„~,) тем самым каждой непрерывной функции сопоставлен ее интерполяцпонный мпогочлеи Лагранжа. а) Доказать, что А„~ Ы(С[0, 1) ). 11 б) Доказать, что [[А„[ =- вал ~з, 1Сдог(1)). гн[о,гг д=о в) Пусть В =С[0, 1) — линейное многообразие мпого- членов. Доказать, что на Ь последовательность А„ при и - о сильно сходится к тождественному оператору. г) Предположим, что для любой хП) ги С[0, 1) Ь1„х— — х!! — 0 при л-, Вывести отсюда, что зпр ЗА„~[< в д) Составить и реализовать па ЭВЧ алгоритм вычисле- ния 1А„1 прп разлпчныл и.

Оправдывают ли результаты вычислений предположение г)? 8.17. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные простран- ства, А„ги 2'(Х, )') (я е Х) г! А. -~. 0 (и -~ оо) сильно. Следует ли отсгола, что Л„- 0 (и ) по норме про- странства .У(Х, У)? 8Л8. Пусгь Х, à — линейные нормированные про- странства, Л. ы 2'(Х, 1') (л ги гд) п последовательность А„х сводится равномерно на шаре Я,(0) с Х.

Доказать, что существует такой оператор Л гн.'х (Х, У), что А„- А прп гг-~ оо, 8.И. В пространстве )г для зтедгента х (х„хл .,.)г ш )о определим последовательности операторов х ) И Каков характер слодимоспг каждой нз последовательностей? 8.20. Рассмотрим оператор А: С[0, 1) — С[О, 1), г Лх(г) ~ е'х(т) с[г а и последовательность операторов А„.

С[0, 1) С[0, ) С[0 11 гГ н гн оу — ) [2;,1*(.>г., н. о д-о Сходится ли последовательность А„к А? Каков характер сходидгостн? 8,21, Рассмотрим оператор А: С[0, 1) - С[0, 1), 1 Ах(е) = ) е"х(г)сгс о и последовательности операторов А„, В,: С[0,1 , 1) — С[0 1) у н г„*уо-) [Лв "1*(огд д=о оо Внл(З) = ~ Е"Х(1) г?Г, лонг[, > 0 е - 0 при и - . Сходятся ли последовательгде е„ , е. ти? ности А н В„ к А? Каков характер слодимости. 8.22. В пространстве С[0, 1) рассмотрим последовательность операторов А„х(1) =х(Р+' ") (иаегЧ[). а) Доказать, что А„ги У[С[0, '1)). б) Доказать, что при п- А„сильно сходится к тождественному оператору, в) Будет лп слодпмость А„к 1 равномерной. "? 8.23. Пусть Х, У вЂ” линейные нордггг)гованные пространства, х„,хыХ, х„х, А„,А юУ(Х, У) (лги.д), А„- А при и, Доказать, что А„х„- Ах при и— 55 ~н 2' .2ь Пусть Х, У вЂ” бапаховы пространства, Л„~ 2'(Х, У) (и<в ~~) и прп и сплыло сходится к оператору А еЫ(Х, )').

Доказать, что если х„,, хе Х п х,', х прн и-, то А„х„-Ах прн и- 82. П ы 2Р ,25. Пусть Х, У, 2 — банаховы пространства, .4,, А (Х, У), В„,ВыЫ(У,2) (пы.ч) п прл п- о~ А„ снльно сходится к оператору А, В, спльно сходптся к оператору В. Доказать, что прп и - В,,А„ сильно сходится к оператору ВА. 8.26. П сть Х, У, Х вЂ”. усть Х, У, Š— лпнейные норзшрованные пространства, А., А ы 2'(Х, У), В„, В ы.х (У, 2) (и ы ~() и прл и- А„- А, В„- В, Доказать, что в пространстве Ы(Х, Е) В„А„- ВА при и- 8.27.

П пв р естп пример линейного нормированного пространства Х н таких операторов А, В ы 2'(Х) что )ЛВ' < < ~(А'ИВ~). 8.28. П усть Х вЂ” линейное нормированное пространство А ыУ(Х), В.' Й~(Х), В. Х- Х вЂ” неогранпченный операт , всюду плотной в Х. Может лп пропзведенне АВ бы ттп ' а) неограниченным оператором; б) ограниченным оператором? 8.29. Пусть Х вЂ” банахово пространство, А ы 2'(Х), ч(г) = Х )ьг ()а ен В) — сходящлйся на всем В степени ной ряд. Доказать, что последовательность Ю„ Х ).,А имеет прн л - предел ~р(А)ы 2'(Х). 8.30.

Д . Доказать, что в банаховом пространстве Х для любого А ы;к(Х) определены операторы В з(п =~~ .,„, совА= г л=о 8.31. Пусть Х вЂ” банахово пространство, А ы Ы(Х). Д зать, что ~~~е,, е' ', Найти е', где 1 — тождествен- Дока ный оператор. 8.32. Пусть Х вЂ” банахово пространство, А ы Ы(Х). Доказать, что ряд ~ А сходптся в 2'(Х) тогда и только ь=г тогда, когда для некоторого натурального й выполняется неравенство 1А8 ( 1. 8.33.

Будет лн пространство 2'(Х), где Х Е,(0„1), сепарабельным? 8.34. Пусть Х, У вЂ” банаховы п)тестранства. А ~н а х'(Х, У) и для люоого у ~ У найдется такое х еь Х, что ~~Ах — у1 с к)у'~, ~'хЗ -6 0~'у~~, где х, () ы Й, сг ( 1. Доказать, что уравнекпе Ах = у прп люоом у ы У пмеет регпенпе х ы Х, удовлетворяющее условию ((х(~ " )01.

8.35. Пусть Х вЂ” банахово пространство, Е, М вЂ” подпространства Х, Х г + М. Оператор проектирования Р на подпространство (. паралелльно подпространству М вводится равенством Рх и, где х и+ и, и ы Е, и ~и М. Доказать, что Р— лпнейный ограниченный оператор. 8,36. Пусть Р; Х- Х вЂ” линейный оператор, заданный вс|оду в банаховом пространстве Х.

Доказать, что он является оператором проектпрования на некоторое подпространство Е, ~ Х параллельно подпространству М = Х тогда и только тогда, когда Р ограшгчен п удовлетворнет условпю Р' Р. 8.37. Доказать, что линейный оператор Р, заданный всюду в банаховом пространстве Х, отображающпй его в сеоя и удовлетворяющий условию Р' Р, ограничен (и, следовательно, является оператором проектирования на некоторое подпространство Е <= Х параллельно подпространству М ~ Х) тогда и только тогда, когда лпнейные многообразия В(Р) и Н(1 — Р) аамкнуты в пространстве Х.

8.38, В пространстве С(-1, И рассмотрим операторы Ах (() = — [х (г) + х ( — г)), Вх (г) = — (х (г) — х ( — г)) а) Доказать, что А,  — огранпченные лпнейные операторы и найтп пх нормы. б) Найти операторы А-', В', Являются ли А и В операто1)азпг проектпровакпя'.

839. В гпльоертовом прострая:тве Н оператор ортогонального нраелтированил на надпространство ь ~ Н для х и + и, где и ~ 1, и ~ й', определяется равенством Рх = и. Доказать, что оператор Р ограничен, и пайтп его норму. 8.40. Пусть Еь Ь, — подпространства гильбертова пространства Н, Р„ Р, — операторы ортогонального проектпрования соответственно ка Л, п йи Доказать, что 1Р,— — РЛ ~1. 8.41. Пусть Š— пчдпространство гпльоертова пространства Н, Р— оператор ортогонального проектпроваг) ния на 1. Что нож!го утверждать об операторе А ~ 2'(Н), если для него выполнпется равенство: а)АР А, б) Р.4 А; в) АР РА? 8А2.

Пусть  — гоньбе)!тово пространство, Е = В— линейное иногоооразпе, А — ограни сенный линейньш оператор, заданный па Е со значениями в банановом пространстве У. Доказать, что А может быль продолжен на все Н с сохранением нормы. 8.43. Пусть Х вЂ” бзнахозо пространсззо, Е, М вЂ” такие тодпространства бапаховз пространства У, что У = Е 4' .11. Доказать, что Ыгх, У) = йтгХ, 1.) ~ Ы(Х, 31).

8.44. Пусть Е, Л1 — ' надпространства линейного нормированного пространства Х, Х = 1. ~ 3)1, У вЂ” канатово пространство. Верно ли, что 2'(Х, 1') = Ы'(Е, 1") ~,У('!1, У)'. 4 9. Обратные операторы Пусть Х, à — лпнепные нормированные прострзссствз, А: Х- У вЂ” лппейный опера!ар, отоора;кающий В(А) на В(А) вззиьпсо одиозна спо. Тогда существует обратсгьгсу оператор А '. У- Х, отооражесощий В(Л) пз Е)(А) взаимно однозначно н также являсощиися линейным. гхиссегсссыг! оператор г1: Х У называется непрерывно обратимым, если Л(А) = У, А ' существует и ограничен, т. е, А 'гнЫ(У,Х). Теорема 9.1. ()пера!ар Л ' сс)гг(ессвувт и ограничен на В(А) тогда и тальпг таггпг, пагдгс для испо!арой постоянной сп ~ 0 и .сспбага х ы В(А ) весло.сняегся неравенство ~с.4х~с ) псгхс( Тес рема 9 2.

11усть Х, 1 — оанахавь! пространства, А гк.У(Х, У), 11(4) = 1' и А оаратиз, Тогда А непргрьсвпо обратим, Те о р е и а 9.3. Пусть Х вЂ” банахово пространство, С!и.х'(Х) и ((СИ ( 1, Тогда оператор 1 — С непрерьсвно оорагим и справедлива аленка )с(1 — С)-'~с ( „ Т ео р е м а 9А 11усть Х вЂ” аанахааа ссространство, А, В ~й:Х), Л непрерывна обрат!!к и вы!гол!слетая неравенство )св — А1~ с'А 'с' ', Тогда В пспрсрывна о г)сгггсг.сг и сгс) асс„, г е .!ива ас,енка с-!с ! —,в — л Пусть Х, У вЂ” линеиные нормированные пространства, ж Ы'(У, Х) назыезетсн левым обратны.и к, с Аг 'А = 1,! где 1т н 1х — тождественные операторы со- ответственно в пространствах 1'и Х.

А;Х- У— 9.1. П "сть Х, У вЂ” линейные пространства, А; Х— 9.. усть с ествует обратный. линейный оператор, у которого ущ [о!!звать что системы элементов х„хго х„и х„ — Х— зависимы. 9.2, Пусть Х вЂ” лсшейпое пространство, А: яю ий при некоторых линейный оператор, удозлетвор щ %=1, 2, ..., п) соотношению 1+),.4 ... +), 4" =О. Доказать, что оператор А ' существует. 9.3. Пусть Х вЂ” линейное пространство, А, В: . Е)(А) =В(В) = Х и существуют линейные операторы с операторы (АВ)-', (ВА) '. Следует ли отсюда, что суще- ству!от операторы А ', В ".

АВ:Х-Х— 9А. П ст! Х вЂ” линейное пространство,, В: Е)(А) = В(в) = Х и оператор линейные операторы с 1)( (1 —:!В) ' существует. Доказать, что оператор существует. А,В:Х- Х— 9.5. Пусть Х вЂ” линейное пространство,, В: то ы с Е)(А) =1)(В) = Х, удовлетворяюие 1= ВА+ 4+1=0 До- щие соотношениям АВ+А+1=0, казать, что оператор А ' существует, 9.о. усть о.б. П, ь Х вЂ” линейное нормированное простран- А =Е)(В)— ство,' ', во,'А, В: Х - Х вЂ” линейные операторы с Р(А) = В. Х такие, что АВ ВА. оказать, что а) Пусть оператор А ' существует.

Доказать, т . Докаб) Пусть А, В я 2'(Х) н В непрерывно ооратим, гз зать, что 1А) )сАВс(< — ', . 0в-'Б ' 9.7. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, А, А-'гн,х"(Х) и и=" — й = ' А~~,'~А '.~ — числа аауславлвнности оператора , с. А, Рассмотрим уравнение Ах = у, где уев бв уча О.