Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 12

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 12 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 12 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 12 - страница

Здесь кУ(1) — действительные положительные числа, удовлетворяющие соотношению ~а й7 (1) = 1. Словами «некогерентная смесь» при этом выражается то, что при вычислении среднего значения (1.) какой-либо физической величины 1. в смешанном состоянии необходимо определить значения этой величины в чистых состояниях ф0, т. е. вычислить (1.п1) = ~ ф*'вКфю 1«, (14, 1) и полученные величины усреднить, используя статистический вес й7(ю'); тогда *) (Ц = Х Я7 (1) (Лю) (14,2) Рассмотрим теперь чистые состояния, которые определяются конечным числом, собственных функций некоторого оператора.

Например, поляризация света определяется двумя состояниями поляризации чрг и чра, соответствующими двум взаимно перпендикулярным линейным поляризациям или двум круговым. Состояния с определенной проекцией углового момента л. на направление оси г определяются 21+1 различными функциями ф„, соответствующими разным значениям 1,, = йт. В таких случаях произвольное чистое состояние чрп> изображается линейной суперпозицией фю = ~~ аючр ~2~ а' юа~~~ = 1. (14,3) н л ') Здесь и ниже для изображения квантовомеханнческого среднего исвользуется символ (-), а статистическое усреднение изображается чертой над соответствующим выражевиен. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ [Гл.

1 Подставляя (14,3) в '(14,1), мы убедимся, что квантовомеханическое среднее значение в этом состоянии величины У., соответствующей оператору б, будет находиться по правилу (т."7 = ~ 7.„„,а„'[[[а[в, где (см. й 28 и 'мат. дополн. В) 7.„„, = ) ф'„Еф„, от (14,5) — матричные элементы, определяемые собственными функциями ф и оператором Е. Теперь с помощью (14,2) находим (Ц ~2~ 1[7 (1) ~~ 7.„„.а„'[Ва[В. (14,6) Введем далее матрицу с матричными элементами р„,„= ~ 1[7 (1) а'„['[а~9. (14,7) Тогда, учитывая правило умножения матриц, равенство (14,6) можно записать в виде (Ц = Х 7 „„.р„,„= Х ((-р)„„, или более кратко (Ц=Зр(М) =Зр(рй)* где знаком' «Зр» (шпур) обозначена сумма диагональных элементов матрицы, образованной произведением матрицы 7. с матричными элементами (14,5), и матрицы р с матричными элементами (14,7).

Матрица р является квадратной, обычно она называется иатрпцей плотности, определяющей данное смешанное состояние. Матрица плотности впервые была введена в работах Ландау [6) и Неймана (7). Зная матрицу плотности р, можно вычислить среднее значение любой физической величины, характеризующей систему (например, состояние поляризации). Следовательно, смешанное состояние системы может быть описано с помощью матрицы плотности р.

Равенство (14,8) можно рассматривать как определение матрицы плотности. Оно позволяет путем измерения средних значений некоторых величин в смешанном состоянии найти матрицу плотности данного состояния, т. е. определить все (вообше говоря, комплексные) элементы этой матрицы. Число строк и столбцов в матрице плотности соответствует числу независимых состояний, используемых для характеристики чистого состояния в (14,3).

Это число может быть в некоторых случаях и бесконеч- Ч И! ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ С ПОМОШЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ В! ным (см, ниже). Состояние поляризации фотонов, протонов и нейтронов характеризуется двумя функциями, следовагелыю, !т'= 2. В частности, при отсутствии поляризации матрица плот- ! (! 01 ности диагональна и имеет вид Р = — ~ '~0 1/' Комплексная квадратная матрица с й! строчками имеет № комплексных элементов. Однако не все эти элементы являются независимыми. Из условия действительности средних значений (14,8) следует эрмитовость 'матрицы плогности, т.

е. (14,9) Рп'и Рлп" Далее из условия, чтобы единичный оператор имел среднее значение, равное 1, находим условие нормировки матрицы плотности ВРР=1, (14,10) которое получается из (14,8), если мы учтем, что при 1 = 1 матрица ~ пп' ил' Условие (14,9) сводит № комплексных элементов к № независимым действительным параметрам. Условие (14,10) уменьшает число независимых действительных параметров до № — 1. Итак, если в квантовой системе возможно !у независимых чистых состояний, то определение произвольного смешанного ее состояния сводится к измерению № — 1 независимых величин, которые полностью определят матрицу плотности этого состояния.

Например, состояние поляризации нейтронов (!Ч = 2) полностью определится вектором поляризации Р (три независимых параметра) (см. 5 110). В случае чистых состояний в сумме (14,2) сохранится только одно слагаемое (например, (-е), тогда (~ > = (~ ) = Х К,„„, а'„шаю ли' Следовательно, матрица плотности чистых состояний Р, =а'<оап), и'и л и' При учете нормировки ~а„'юг=! получаем л ' (Р !ии=рпл ° Это равенство является необходимым и достаточным условием чистых состояний. Выше мы рассматривали матрицу плотности для состояний поляризации или других состояний, определяюпгихся конечным ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОН МЕХАНИКИ [ГЛ.

! В общем случае эта сумма содержит более одного слагаемого, поэтому состояние подсистемы не может описываться волновой функцией, зависящей голько от координат этой подсистемы. Если 7.— некоторая физическая величина, относящаяся к подсистеме х, то соответствующий ей оператор А.„действует только на переменные к. Согласно общему правилу (7,1), среднее значение величины (..в состоянии (!4,11) определяется интегралом (Ц= ~ ф'5, х)Г„фЯ, х)г(хЩ. Подставим (14,11) в (14,12), тогда можно написать (~) = арки(з'! 7. !з), (14,12) (! 4,13) где (з'! 1.

|з) = — [!'[р,',(х) Е„~р, (х)нх — матричные элементы оператора Е„, т. е; з-представление оператора Е„ (см. 5 28); ' р„. = ) Ф,",, й) Ф,($) 6 — матричные элементы матрицы плотности в з-представлении. Формула (14,13) совпадает с формулой (14„8). Непосред,ственно из определения (14,!4) следует эрмитовость матрицы числом собственных функций некоторого оператора. В более общем случае матрица плотносги характеризует произвольное состояние любой системы, являющейся частью большой системы. Как уже указывалось раньше, вследствие взаимосвязи физических явлений, понятие изолированной системы является идеализацией.

Все реальные системы являются частью больших систем, и их состояния Описываются матрицей плотности. Покажем это на примере простейшего случая — изолированной системы, состоящей из двух подсистем $ и х. Буквами $ и х здесь н далее обозначаются полные наборы координат (включая спины) соответствующих подсистем. Полная система изолирована, и ее состояние описываегся волновой функцией [р($, к). Если подсистемы взаимодействуют между собой, то эту функцию нельзя представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая только от $.

Если, например, функции ~р,'(х) образуют полную ортонормированную систему собственных функций некоторого оператора Я„, действующего на координаты подсистемы х, то ф(', х)=ХФ.(з)~,(х). (14,11) э н! описании состоянии с помощью маттицы плотности плотности р„, = р,'., Если оператор 8 имеет непрерывный спектр собственных значений, то в (14,11) и (14,!3) надо суммы заменить интегралами. В этом случае матрица плотности (14,14) будет непрерывной функцией э и з', т.

е. рие =р(зз'). Чтобы получить матрицу плотности как функцию координат подсистемы х (координатное представление (см. 5 28)), перепишем (14,12) в виде (Л) = ) р (хх') (х' ! 1.„( х) а'х ах', р (хх') = ~ ф'(х', $) ф(х, $) г$ где (14,15) — матричные элементы матрицы плотности в координатном представлении; (Е! Ь„!х) =Х„б( — ) — матричные элементы оператора Е„в координатном представлении (см. $ 28). Подставляя (14,1!) в (14,15) и учитывая '(14,14), находим следующее выражение для матрицы плотности, характеризующей состояние малой части большой системы р (хх') = ~ р„лр',, (х') ~р, (х).

(14,16) Я-' (9, $~, Ф) ехр ~ — — ') . Весьма важным является применение матрицы плогносги к малой части системы, которая находится в термодинамическом равновесии с окружающей средой (большой системой) при температуре 6 (в энергетических единицах). В этом случае матрица плотности или статистический оператор позволяет вычислять средние значения любых физических величин по каноническому ансамблю Гиббса. Канонический ансамбль 'Гиббса представляет собой систему большого числа тождественных динамических подсистем с постоянным числом частиц У и постоянным объемом г'. Подсистемы не взаимодействуют между собой и могут находиться в различных квантовых состояниях !р,. Если ср, являются собственными функциями гамильтониана системы, т.

е. (Н(х) — Е,)г!ь(х) = О, то, согласно статистической механике, состояние подсистемы изображается суперпозицией состояний, соответствующих энергиям Е, с весом, пропорциональным больцмановскому множи- телю основныв понятия квднтовои мвхлники !гл. г Таким образом, в условиях статистического равновесия опера- тор р,„ определяется с помощью канонического распределения Гиббса р„,=б„,_#_(6, $', !ч)ехр( — — '). (14,17) Следовательно, согласно (14,17) и (!4,16), матрица плотности для канонического ансамбля Гиббса определяется формулой р (хх') = Х ' ~~~~ ср,'(х') ~р, (х) ехр ( — — '), (14,18) в операторной форме ей соответствуег статистический оператор р=Я 'ехр( — — ), (14,19) где величина Х= ~~ ехР( — — ')=Бр)ехр( — — )~, (14,20) называемая суммой состояний, обеспечивает выполнение условия нормировки матрицы плотности Зрр= 1.

(14,21) Суммирование в (!4,18) и (14,20) выполняется по всем возможным состояниям подсистем с гамильтонианом Н(х). Логарифм суммы состояний определяет с помощью равен- ства Р(6, 1', !У) = — 6!п Е(6, 1', й) (14,22) свободну!о энергию подсистемы как функцию параметров 6, У, Й. При этом статистический оператор (14,!9) преобразуется к виду р = ехр( — ~. (14,23) При вычислении суммы состояний (14,20) канонического ансамбля нужно учитывать дополнительное условие постоянства числа частиц в системе. Чтобы освободиться от этого условия, можно рассмотреть большой канонический ансамбль Гиббса. Он представляет систему большого числа тождественных подсистем заданного объема У, которые находятся в термодинамическом равновесии с термостатом и обмениваются с ним энергией и частицами так, что в подсистемах сохраняется среднее число частиц.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее