А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 3

к-« 1Л1. Иа множества (1, 2, ..., М случайно выбирается число а. Найти Нш р, где р» — вероятность того, что а2 — 1 делится на 10. 1Л2. Иэ множества (1, 2, ..., М случайно выбирается число а. Найти вероятность р» того, что а при делении на целое число г ~ 1 дает остаток д. Найти 1ппр .

<<'-< 1.13. Целое число 3 случайно выбирается из множества (О, 1, 2, ..., 10" — 1). Найти вероятность того, что в десятичной заппси зто число Й-значпо, т. е. представимо в вице $ = 5, 10' '+ $, < 10» 2+... ° ° +52'10+э<, где 0~3<~9 при всех 1 1... Й и $»~0 (Й > 1). 14 1Л4.

По схеме случайного выбора с воавращением нз множества натуральных чисел (1, 2, ..., М, выбираются числа $ н ц. Найти вероятность д» того, что з и ц взаимно просты. Найгп Вш у»< используя известное ра- 1 зенство »' » 1 1.15'. По схеме случайного выбора с возвращением пз множества целых чисел (1, 2, ..., М выбираютсячис- ла ь и 2). Обозначим р» вероятность события $2+ т)'~ -= Л'. Найти 1(ш р 1.16. По схеме случайного выбора с возвращением из множества целых чисел (О, 1, 2, ..., 10" — 1) выби- раются числа $ и ц.

Обозначим р вероятность того, что сумма $ + 21 будет и»-значнгзм натуральным числом в десятичной ааписи. Найти вероятности р„-»+<, Й и9 Ншр + 1Л7. По схеме случайного выбора с возвращением из множества целых чисел (О, 1; 2, ..., 10" — Н выби- раются числа $ и 21. Обозначим р„вероятность того, что проиаведение Э<) оудет т-эначным натуральным чис- лом в десятичной записи. Найти д„1пп р,„а» Й = О, 1, 2, ... 1.18».

Из множества (1, ..., <») по схеме случайного равновероятного выбора с возвращением выбираются Ф элементы Х,, ..., Х„, а по ' схеме равновероятного выбора без возвращения — элементы Х„..., Х». Показать, что для любой совокупности Ф = (А<, ..., А,<), состоящей из попарно различных Й-элементных подмножеств А<=(а«, ..., а,,) <=(1, ..., М, О~<Р))Х~, ... Х„") я„4) — Р)[Х,' .

Х~)вне)<у~~с 1ЛО*. По схеме случайного выбора с возвращением из множества натуральных чисел (1, 2, ..., М, 5< > 4, выбираются числа Х и У. Что больше: Р2 Р (Х2 — У2 делится на 2) или Р» Р (Хэ — Уэ делится на 3)? 1.20. По схеме случайного выбора с возвращением из множества натуральных чисел (1, 2, ..., М, <»') 6, 15 выбираются числа Х и' У. Показать, что Р (Х« — У« = 0(шоб 2) ) ( Р (Х' — У" = 0(шод 3) ) ( ( Р (Х' — У« 0(шоб 5)). 1.21.

По схеме случайного выбора с воавращением мз множества (1, 2, ..., % выбираются числа Х и У. 11спользуя л>алую теорему Ферма (если р — простое число и целое число а ие делится па р, то а" — 1(шобр)), найти вероятность >',)в(р) того, что число Х' ' — У» ' делится на простое число р. Найти Пш ()к (р) = (,)(р), !пп >,)и (р) = (>. и о р,п 1.22".

По схеме случайного выбора с возвращением из множества (1, 2, ..., ЬУ) выбираются числа Х и У. - Показать, что прн Л'> 4 Р(Хз 1 Уз 0( ~3)) ~Р(Х»+ Уз 0(-,п >12)) 1.23. Из совокупности всех подмножеств множества Я (1, 2, ..., А>) по схеме выбора с.возвращением выбираются множества А), Аз, Найти вероятность того, что А> П Аз = )2>. 1.24.

Из совокупности всех подмножеств множества Я (1, 2, ..., А>) по схеме выбора с возвращени и выбираются подмножества А>, А>, ..., А,. Найти вероятность того, что множества А>, Ам ..., А, попарно не пересекаютсяя, 1.25». В урне содержится. (2п + 1) ' карточек, на кая«дой из которых написана упорядоченная пара целых чисел (х, у) (х и у принимают значения от — и до и, каждая нара чисел написана ровно на одной карточке).

Из урны по схеме выбора без воввращения извлекаются три карточки: ($), т)>), (4», т)з), (зз, цз). Рассмотрим зти пары нак координаты случайных точен Е>, Ез, Ез плоскости в декартовой системе координат. Найти вероятность р„того, что Е> симметрична Е> относительно Ез. 1.26'. Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти вероятности событий: а) не выпало ни одной «6»; б) выпало ровно три «6»; в) выпала хотя бы одна «6»; г) выпало хотя бы две «6».

1.27. Из множества (О, 1... ч А>) по схеме равповероятного выбора с возвращением извлекаются:"' числа 16 Х>, ..., Х„, Пусть Ьзо"и = Р (Х, + ... + Х„, = й), 0()с ( тУ. а) Доказать, что Ьзй = Ь>;ч)-,»ь б) Доказать, что вью з=з (>У т1)" т. е. что ылпе>)1 ) " гз > — > ( — 1) С, „„„„,С„„ (Л+1)" й )с = О, 1, ..., тд>. 1.28. Найти вероятность того, что в номере случайно в»»бранного в большом городе автомобиля сумма первых двух цифр равна сумме двух последних.

1.29. Некоторые москвичи считают трамвайный, трол- лейбусный или автобусный билет «счастливы>л», если сумма первых трех цифр его шестизначного номера сов- падает с суммой последних трех цифр, Нанти вероят- вость получить «счастливый» билет. 1.30'. Из уарточек разрезной азбуки составлено сло- во «СТАТИСТИКА». Затеи пз этих 10 карточек по схе- ме случайного выбора без возвращения отобрано 5 кар- точек. Найти вероятность того, что из отооранных кар- точек можно составить слово «ТАКСИ». 1.31 '.

Из 30 чисел (1, 2, ..., 29, 30) случайно отби- рается 10 разлкчных чисел. Нанти зароя>ности событии: А (все числа нечетные), В = (ровно 5 чисел делится на 3), С = (5 чисел четных и 5 нечетных, причем ровно одно число 'делится на 10). 1.32'. Из урны, содержащей М> шаров с номером 1, Мз шаров с номером 2,, М, шаров с номером А>, случайно без воавращепня выбирается п шаров. Найти вероятности событий: 1) появилось т> шаров с номером 1, тз шаров с номером 2, ..., т„шаров с номером А>; 2) каждый из А> номеров появился хотя бы один раз.

1.33'. Из множества чисел (1, 2, ..., А)) по схеме выбора без возвращения выбираются числа $) и 5». Найти Р($») з>). При выборе трех чисел найти вероятность того, что второе число лежит между первым и третьим. 2 л. м. зуавов в др. 17 $.34. Из мноя|ества чисел (1, 2, ..., >>>) по схеме выбора без воавращения отобрано и различных чисел. Расположим их в порядке возрастания: г||> ( г|»| ( ... г|„,. Найти вероятность того, что г >~М(г|~+>б вычислить ее предел при /«', М -, М//т а |и [О, 1!. $.35. Из множества (1, 2, ..., /У) случайно без возвращения выбирается й+ 1 чисел; х|, х», ..., х,+|.

Первые Й чисел, расположенные в порядке возрастания,обозначим х||, ( х,», (... ( х,„,. Найти Р (х|ч ( х„| ( х|,+|>). 1.36. Десять рукописей разложены по 30 папкам (на одну рукопись 3 папки). Найти вероятность того, что з случайно выбранных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи. 1.37. За круглый стол рассажива|отся в случайном порядке 2и гостей. Иакова вероятность того, что гостей можно разбить на и непересека|ощихся пар так, чтобы каждая пара состояла из сидящих рядом мужчины и женщины? 1.38'. Участник лотереи «6 из 49» на первой карточке отметил номера (4, 12, 20, 31, 32, 33), а на второй— (4, 12, 20, 41, 42, 43).

Найти вероятность того, что участник получит ровно два минимальных выигрыша, т. е. что каждый из этих наборов имеет ровно 3 общих элемента с набором номеров (а>, ..., «««)<= (1, 2, ..., 49), появившихся при розыгрыше тиража. 1.39. Найти вероятность того, что при случайной расстановке двух ладой на шахматной доске они не будут угрожать друг другу. 1.40«. Найти вероятность Р, того, что при случайной расстановке й (2 ( /«( 8) ладей на шахматной доске никакие две ладьи не будут угрожать друг другу. При каких й эта вероятность меньше 1/27 Меньше 1/1007 1.41.

Собираясь в путешествие на воздушном шаре, Пончик положил в каясдый из 20 карманов своего костюма по прянику. Через каясдые 10 минут полета у Пончика возникает желание подкрепиться, и он начинает в случайном порядке просматривать свои карманы до тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти вероятность того, что поиск й-го пряника начинается с пустого кармана. 1.42.

В условиях задачи 1.41 найти вероятность Р« того, что первые й пряников Пончик найдет с первой $8 попытки. Вычислить эти вероятности при й 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1.43«. Решить задачу 1.42 в случае, когда число карманов з каст>оме Пончика равно 10, и в каждый карман Пончик полов«ил по 2 пряника.

Найти численные значения вероятностей при й 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1.44. По 20 карманам своего костюма Пончик разложил 18 пряников и 2 конфеты (по одному предмету в каждый карман). Для той же схемы, что в задаче 14«1, найти вероятность того, что первые два рава Пончик будет подкрепляться конфетамп, $.45. Решить задачу 1 44 в случае, когда в костюме Пончика 10 карманов и в один карман Пончик положил 2 конфеты, а в остальные — по 2 пряника. 1.46. В каждой из трех урн лежит по трн карточки. На карточках в первой урне написаны числа а|, аз, аз, во второй урне — числа Ь|, Ь», Ь», в третьей— числа с|, сз, сз Из каждой урны наудачу вынимается по карточке. Пусть а, б, 7 — числа на карточках, вынутых из первой, второй, третьей урн соответственно.

Найти Р (а с (>), Р ((> < 7) и Р (7 ( и) в случаях, когда: а) (а|, ап аз)=(Ь|, Ь», Ьз)=(с|, сз, сз)=(1, 2, 3), б) (а|, а» аз)=(1, 2, 3), (Ь>, Ьп Ьз) (2, 3, 4), (с|, с>, сз)=(3, 4, 5), в) (а|, аз, аз)=(1, 5, 9), (Ь~, Ьг, Ьз)=(2, 6, 7), (с|, с», сз) (3, 4, 8). 1.47*. В условиях задачи 1А6 найти такой способ расстановки чисел на карточках, при котором сумма Р (а ( р) + Р (р ( 7) + Р (7 ( а) принимает наибольшее возможное значение. Чему оно равно7 $.48.

Пусть йь 5п 5», 54 — числа, выпавшие при одновременном бросании четырех игральных костей. Найти РЦ»> 5>), РЦ»> 5»), Р(«ь«>5») и Р(5» $«) В двух случаях: а) на гранях каждой кости написаны числа 1, 2, 3, 4,5,6; б) на гранях первой кости написаны числа 6, 7, 8, 9, 23, 24, на гранях второй — числа 10, 11, 12, 13, 14, 15, на гранях третьей — числа 1, 2, 16, 17, 18, 19, на гранях четвертой — числа 3, 4, 5, 20, 21, 22. 1.49. В условиях задачи 1.48 найти такой способ расстановки чисел на гранях, прн котором сумма Р Ц»> «ы)+ Р (5» >»ь») + Р Ц«> 5») + Р Ц| > 5«) принимает наибольшее воаможное значение. Чему оно равно7 2« 19 1,50.

Раеновероятной схемой разлсещения частиц па ячейкам навывают схему размещения, в ноторой номера ячеек, последовательно занимаемых частицами, получают посредством случайного выбора с возвращением. Обозначим )с, = !л„(п, Л) число ячеек, содержащих !ювно по г частиц после размещения п частиц по У ячейкам. Найти вероятности следусощих событий: 1) ро(п, У)) О (при и — Й); 2) !ло(п, Д>) =- 0 (пРЯ и = >У + 1); 3) !со(п, У)=1 (прк п=й 61); 4) найдется ячейка, содерясащая хотя бы две частицы (при любых соотношениях между и и У). 1.51. (см. 1.50).