Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику

М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику, страница 29

DJVU-файл М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику, страница 29 Теория вероятностей и математическая статистика (2651): Книга - 3 семестрМ.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 29 (2651) - СтудИ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 29 - страница

В теории вероятностей так определенную 6(Т(х)) называют условным математическим ожиданием 5(х) при условии Т(х), нлн, иначе, при условии разбиения (Й'~), и обозначают д(Т (х)) = Я (5(хКТ (х)) = й16(5(х)1(Ж~)). (30) Индекс 6 в обозначениях (30) имеет чисто формальный смысл: объект, определяемый формулой (30), от 9 ие зависит. Однако если статистика Т(х) не является достаточной, то условное математическое ожидание (30), вообще говоря, зависит от 6 и уже не представляет такого интереса для математической статистики. 3.

Наилучшие несмещенные оценки в непрерывной модели. В случае непрерывной модели (Я", Ж„(Р„, 9~6)) мы рассматриваем лишь такие достаточные статистики Т,(х,) =(Т,(х„),...,Т,(х,)), что отображение й=Т;(х„), 1=1,...,г, можно дополнить некоторыми статистиками У,,(х„) (У|(х,),..., ..., У,,(х,)) до взаимно-однозначного преобразования всего пространства /г" (кроме, быть может, множества Р„-меры нуль), н это преобразование регулярно, так что можно делать обычную замену переменных в интегралах (см. $16). 164 Прн больших 1 д(1) т 1(и+1)/п.

Если Т(х) — достаточная статистика для дискретной модели (Х, М, (Рь, 6еп8)), то для любой статистики 5(х) можно рассмотреть статистику п(Т(х)), определенную формулой (23): Рассматривая различные несмещенные оценки 5(х„) параметрической функции ~р(8), мы будем предполагать, что отображение (1„з) =(Т,(х„), 5(хл)) также можно дополнить до регулярного преобразования всего Яо. Из определения достаточности Т,(х,) вытекает, что условная плотность в Уих„ит,(хо) Ф 1.) = у (М 1х) не зависит от 8.

Т е о р е м а 3. Пусть Т,(хл) — достаточная статистика в непрерывной модели (Яо, Ф„, (Р . 9 е= 6)), 5(х„) — несмещенная оценка п(9) и пара Т,(х,), 5(х,) удовлетворяет сформулированным выше условиям регулярности Полоясим й(1,)= ) ~(з11,)йг, (32) где условная плотность )(г)1,) определена формулой (31). Тогда статистика у(Т,(х )) несмещенно оценивает ~р(9): 0 д(Т,(хл)) <0 (5(Х„)), (33) и равенство достигается лишь при условии совпадения й(Т,(Х„)) и 5(Хх) с Р -вероятностью единица. Если к тому асе статистика Т,(хл) полна, то д(Т,(хл)) — существенно единственная оценка ц(9), являющаяся функцией Т,(х„), и она имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок. Функция у(1,) можег быть найдена по формуле (32) либо «ак существенно единственное решение уравнения 40 о 8(9) =Май(Т,(Х„))= ) ..

) Ы(1,))т(х„1(1,)й1,... Й„8еиет. (34) Доказательство проводится аналогично дискретному случаю с заменой сумм на интегралы. Имеем с учетом (31) Май(Т,(Хо))= ) .. ) ~тВрх,р(1,)й1з ° й1, ) гу(з11,)йз= = ~ ... ~ 4жхльт,(х,р(з, 1,)йзй1,...йг„= г в =- ) гйг ) ... ) Ьхльт<х,з(г, 1,)Й,... й1,= = ~ 4<х„>(з)й= р(8). 166 6 М. В. Козлов, А. В. Прохоров Для дисперсии оценки 5(х„) получаем 0а5(Х„).=- ) (з — %(9)) 7з<х ) (з)дз=- ,) (з — <р (8)) 7за<хиьт <хл< (з' 1') д~ <(1< ' ' ' д< В Ф с = ) ...

) 7, „„,д1,... д1, ~ ( — р(е» 0511,) дз. О Р Преобразуем интеграл по з в (35) к виду ) ((з — у (1,))з + 2 (з — д (1,)) (д (1,) — <р (8) ) + т (Ы(1,) — <р(6)) ] < (а~1,) <(з. (35) Ы(1<) = ) л(У)7т<х„нт,<х,р(У11,)<(У Ф (38) Таким образом, теорема 3 справедлива и для всех статистик указанного вида Ь(У(Х )). Замечание 2. Отметим, что, как н в дискретном случае, статистика у(Т,(х.)), определенная в (32) нлн (38), называется услоень<.и математическим ожиданием соответственно Ях„) или й(У(х„)) при условии статистики Т,(х„).

Обозначение: М (5(х„)1Т,(х„)) нли М (й(У(х„))1Т,(х„)). 9 Используя теорему 3, получаем, что в примере (1) оценка (6) — наилучшая. В примере (Ш) повторной выборки нз рас- 166 Ввиду (32) интеграл от среднего слагаемого в (36) обрашается в нуль. Подставляя (36) в (35), получаем (Уа(8(Х„)) -=(УаУ(Т,(Х„))+Ма(3(Х„) — У(Т (Х„)))~, (37) откуда следует неравенство (33). Наконец, если статистика Т,(х,) — полная, то решение уравнения (34) существенно единственно, так что при любой несмешенной оценке 5(х„) формулы (3!), (32) определяют сушественно одну и ту же функцию у(1,), н тем самым дисперсия оценки д(Т,(Х„)) минимальная.

3 а м е ч а н и е 1. Пусть Т,(х„) — достаточная статистика, а У(х„) — такая статистика, что отображение (1„у) = (Т,(х„), У(х„) ) можно дополнить до регулярного преобразования всего )с". Пусть несмещенная оценка й(У(х„) ) ие обязательно имеет плотность, например принимает лишь дискретные значения. Прокматривая доказательство теоремы 3, легко убедиться в том, что оно сохраняется при замене 5(х») на Ь(У(х,)), если положить пределеиия с плотностью о-'ехр(<г' (х — р) ), х) р, наилучшие линейные несмещенные оценки о и р, полученные в $11, являются наилучшими в классе всех иесмещенных оценок. То же верно для повторной выборки из распределения Н(р, оз): выборочные среднее н дисперсия — наилучшие несмещенные оценки. ° Рассмотрим дополнительные примеры. (ЧП) Нормальная линейная модель в общей форме: Уу' (у) =-(~2иа) "ехр ( — — !!у — ОХ !!з) (39) за' с матрнцей Х полного ранга приводится с помощью невырожденного линейного преобразования переменного у и невырожденного линейного преобразования вектора параметров 0 к канонической форме (см.

п. 5 $ !О, пример (Ч) 9 16): (й' (и) =-(~2и о) ехр ( — — ~~ (и; — ф)' — — ~„ит), (40) 1=! 1 к+1 Оценки наименьших квадратов Оь 1=1, ..., г, о' образуют (г+1)« мерную достаточную статистику в модели (39) (см. пример (Ч) $16). Ее полнота вытекает нз полноты соответствующих оценок в преобразованной модели (40), которые имеют впд ф;(и)=-иь 1=1, ..., г, оз(и)= — ~ из. (41) ! ъч а — г ! гт! Для г=1 полнота статистики (41) доказана в примере (1Ч); для г)! доказательство полностью аналогично счучаю г=1. Таким образом, найденные в $9 линейные несмещенные оценки О, о' для нормальной модели (39) являются оценками с минимально возможной дисперсией в классе всех несмещенных оценок, а не только оценок, линейных по наблюдениям.

(Ч111) Рассмотрим, как в примере (1), повторную выборку из распределения с плотностью 0 ехр( — Ох), х)0. Статистика 5(х„) = =ах как было показано, — полная достаточная. Параметрическая функция ф~(0) =ехр( — О!), где !)Π— любое фиксированное число, допускает несмещенную оценку. Действительно, положим ~1, если х, >1, 1 !'»'! ! О, если х, к, 1, тогда ййаl(„,) =Р (Х, > !) = %т (О), — оо ( О ( оо. 167 ь' Следовательно, наилучшая несмещенная оценка >р>(6) может быть получена в виде (см. замечания 1, 2 к теореме 3) 51в (1(х )> 13 (х„)). (42) Как показано в лемме 2 $5, условная плотность 7х,>з>х„> (х, 1з) (43) совпадает с плотностью У<п, где У>, Ум...,У > независимы и равномерно распределены на (О, з).

Но ~(Уп,~и) У(У,)и...,,У„,)и)- (44) - ((з — и)!з)"-', 0(и(з, так что плотность (43) равна (и-1)з-™+>(з-х>)" з, 0<х><з. (45) По формуле (38) получаем 8 (з) = ~ > (,)>) 7х,>з>х„> (х> ! 3) >(х> —— 0 = ~ 1(,,1(п — 1)» +' (з — х>)" зпх,. (46) й Если з(>, то у(„,) =0 при 0(х>«з и, следовательно, п(з)=0.

При 0(т~з имеем 1(,,,) =1 при 1к х>(» и у(, =0 при 0(х>(~, так что интеграл (46) равняется в этом слу- чае интегралу от плотности (45) по области 1(х> с.з, т. е. равен вероятности (44) при и=5 Таким образом, 0 при»ч~ 1, й(з)= (1 — — )" ' при з)1. 3 Наилучшая несмещенная оценка >р>(0) равна 0 при 3(к„) ч,.1, (1 — 8/5 (х„))" при 5(х„) ) Ф. Наилучшая несмещенная оценка неизвестной функции распреде- ления 1 — >р>(6) =1 — ехр( — 61) в точке Ф равна 1 — и(5(х )). $!в.

ЯнФОРмдция В стдтистикв 1. Байесовскнй подход в статистике. Неопределенность в исходе опыта при его описании статистической моделью (Ж', >Э, (Рв, 6 ни ез)) складывается иэ двух 168 составляющих: неопределенности вероятностного характера, обусловленной случайностью механизма, реализующего х по распределению вероятностей Р . н неопределенности, связанной с незнанием истинного значения О, параметра 8, в соответствии о которым реализуется х. Байесовскпй метод в статистике рассматривает вторую неопределенность также с позиций теории вероятностей.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее