Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику

М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику, страница 27

DJVU-файл М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику, страница 27 Теория вероятностей и математическая статистика (2651): Книга - 3 семестрМ.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 27 (2651) - СтудИ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 27 - страница

Тогда, разложив опре- делитель в (52) по последнему столбцу, получаем для х,яЛ" А»>о'> (хл) + ... +А„Ч>',(х,) О, (53) где А;,=А„(х>,...,х,,) — алгебраические дополнения соответ- ствующих. эо>ементов определителя (52). Так как по предположе- нию индукции Лл,=д(ф>, ..., >р. >)/д(х>, ..., х, >) ЧЬО, о ,о о .о то найдутся такие значения х>, ..., х, > что А„=-А„(х>, ..., х,' >) 40. В таком слУчае из (53) полУчаем Аопф,(х,)+ ... +А,',>р,.(х,)=-сопэ1, А,',чьО, что приводит к противоречию с линей- ной независимостью функций 1, >1>(х),...,>р,(х).

й >7. ДОСТАТОЧНОСТЬ Н НЕСМЕЩЕННОЕ ОЦЕННВАННЕ 1. Полные достаточные статистики. Рассмотрим статистическую модель (й', Я, (У)). Мы уже встречались с различными примерами числовых функций ч (Р) неизвестного распределения вероятностей выборки Р, которые требуется оценить по результатам наблюдений. Так, в модели независимых повторных испытаний обычно представляют интерес математическое ожиданяе и дисперсия отдельншо наб;ьмення. О параметрических моделях (Ф, Я, (Ря, 9ы(ч)) возникает задача оценнвання различных числовых функций Ч(9) от неизвестного параметра 9. Различают оценки точечные, когда по выборке х вычисляется зиаченгс 1 некоторой статистики Т(х) и это значение 1 предлагается н кзчестве приближения к неизвестному ~((9)(ч(Р)), и оценки пм;»двпланс г, когда по выборке х строится интервал (Т~(х), Т:.(х)), любая точка 1 которого рассматривается как возможное значение неизвестного ф (9) (я (Р) ) .

с делаем замечание о терминологии. Ва::нпзясь зала:сй»очсчиого оценяванпя, приходится рассматривать различные статистики Т(э1 ьак возможные оценки ф(9) (а(Р)). Принято в таком случае, вне зависимости от того, насколько хорошо Т(х) приближает негзэегтпую фупкцию, называть статистику Т(х) оценкой. Определение !. Оценка Т(х) функции ~р(9) (ф(Р)) называется несиещанной, если йй Т(Х) = р(9), 9 =- ~ (М Т(Х) =в(Р), Рая (Р)), где Х вЂ” случайная выборка.

Несмещепные оценки не всегда существуют, но в случае, когда онп имеются, естественной мерой качества оценка служит ее дисперсия 09Т(Х), 9ея6 (1»эТ(Х), Ра(Р)). Будем рассматривать для определенностя параметрический случай. Допустим, что Б(х) — достаточная статнстяка в модели (Я',Ф,(Ря. 9ы6)). Так как, по нашим представлениям, 9(х) содержит всю информацию о 9, содержащуюся в выборке х, то, решая задачу оцениванпя ф(9), по-видимому, целесообразно рассматривать лишь статистики вида 9(3(х)) — функции достаточной статистики В(х). Представляется, что пря этом суженяи класса рассматриваемых оценок мы не должны потерять в качестве: если Т(х) — оценка с определенным значением какого-то критерия качества, то должна найтись оценка вида 9(3(х)) с таким же или лучшим, чем у Т(х), значе.

нием этого критерия. Мы убедимся в справедливости этого утверждения прп решении задачи несмещенного оценивання, когда за критерий качества принята величина дисперсии оценки. Л пока заметим, что многие оценки, встречавшиеся нам в первых двух главах, являются функцнямн минимальной достаточной статистики (см. $ !5, 16). Переход от произвольных статнстяк Т(х) к функциям от достаточной 9(9(х)) облегчает решение задачи оценпвання, если статистика 9(х) существенно сокращает данные, например, когда размерность 3(х) невелика н не зависит от размерности выборки.

В»том случае можно надеяться, что условие несмещенности мяд(9(х))- р(9), 9ее, (1) оассматряваемое как уравнение относительно неизвестной функ- 153 ц;и й'(з), можно решить, а в множестве его решеннй отыскать оценку с мнннмальной днсперсней.

Рассмотрим пример. (1) Пусть »в =1!!л, (х,ямал !х!>О; (=1,,п), Я ЯлП(гл+, семейство Р», 0>О, задается л-мерной плотностью (о(х„)=0" ехр ( — 0 Е х;1, х„~ Я", ! ! так что случайная выборка Х, = (Х!,..., Х,) состоит нз незавнснмых сл. в. с плотностью распределення 0е-", х>О, каждая. Достаточная статистика: 3(х„) =~ х!. Запишем уравненне (1) ! ! д р(0) =0: Мой(у Х!1=~0'(з)у»,„, ( )!Ь=б, 0>О. (2) ! ! о Так как 5(Х„) имеет распределение С(0, я) с плотностью (см. пп. 1,2 $7) У» — — Е!-$е — !ь, 3 > О, Ел з!хл! 1 (л) то уравнение (2) прнннмает внд (3) ) я(з) з'-! е»'сЬ =0-л+' Г (л), 0 > О. о (4) Еслн я(з) — решенне (4), то, нзменнв его произвольным образом на множестве меры Лебега нуль, мы снова получнм решение уравнення (4).

Оказывается, что с точностью до такого рода неоднозначности уравненне (4) имеет единственное решение, которое нетрудно найти. Действительно, заменнв в (3) п на и — 1, за- пншем Ф-ое 0'Ь=1, 0 >О, Вл-! Г(л — 1) о нлн 154 — е'-!е о*гЬ=0 +'Г(л), 0> О. (5) о Г(л — 1) Сравнивая (5) с (4) н замечая, что Г(л)=(л — 1)1, находим решенне уравнения (4): й'(з)=(" — 1)! . Таким образом, несмещенная оценка параметра И, яваччаоачгн функцией достаточной статистики, имеет вид л 8 (х„) = (л — 1)(~!' х;.

Стоит отметить, что О-' является средним значением отдельного наблюдения н известной оценкой 0-' является выборочное л среднее х= Я х;!л, которое есть, кстати, функция достаточной ! ! статистики. Однако попытка оценить 0 с помощью (х)-', как видно, приводит к смещенной оценке. Полагая Ь(з)=й'(з)з"-!, ф(0)=0 «'!!"(л), перепишем уравнение (4) в виде ~Ь()е-*а = р(8), 8)О. (7) о Проверим, что уравнение (7) имеет не более одного решения Ь(з) (с точностью до его изменения на множестве меры нуль).

Функция ф(0), определенная формулой (7), называется преобразованием Лапласа функции Ь(з). Существуют различные способы обращать преобразование Лапласа — находить Ь(з) по ф(0). Мы используем вероятностный подход (смл Феллер 12), т. 2). Дифференцируя (7) Ь раз по О, находим (0) (11) 155 ( — 1)«ф!«> (8) = ) Ь (з) з'е-в' й. (8) о Домножим (8) на О«/Ь! и просуммируем по Ь~Ох: Š— '". : 8«ф!«>(8) = «!'Ь(з) %~ — '' е-о*г(з.

о! ,) 4еи о! «~в« о «<в Мы покажем, что при 0-«+со (Зз)«в, О, если з)х, (10) И 1, есля з(х. откуда будет следовать, что при О-«оо « Е '." '1' О" р!">(8)- $Ь(з)!(з=Н(х), м «<в« о г. е. первообразная Н(х) функции Ь(х) однозначно восстанавливается по преобразованию Лапласа ф(0). Как известно, функция !!(х) восстанавливается по Н(х) с точностью до ее значений на множестве меры Лебега нуль.

Остается проверить соотношение (1О) Левая часть (1О) равна вероятности того, что пуассоповская сл. в. Х с параметром Оз приняла значение, не превосходящее Ох. По неравенству Чебышева Я((Х-Оз(~а) ~а тОз, откуда при х(з я(Х~О.т) =.Р(Х-О .~О( — )) ~з)(О(я — )) О, О- а прп х)з ж(Х < О. ) =: 1 — «О' (Х > О. ) = 1 — Р'(Х вЂ” О- > О (.' — )) = гэ 1 — Оз«(0 (я — з)~) 1, Π— со. Единственность решения уравнения (7) можно выразить в следующей Форме: если Л(з) такова, что ~Л(з)е-«а«(э=0, О > О, о то 1«(з)=0 всюду, за исключением множества меры нуль. Определение 2.

Семейство распределений Яв, О«иб, иа измеримом пространстве Щ,,«Ф) называется полна«м, если для любой измеримой функции Л(у) уравнение й)вЛ (т') =О, Оен 6, (12) где т' — случайный элемент в (ф, .Ф, Я,), имеет только нулевое решение Л(у)=0 с точностью до изменения Л(у) на м««ок«естве Яв-меры пуль прп люоом Оен6. Будем говорить, что уравнение Мед(7) = «р(О), Оен 6, имеет суще«геенно единственное решение, если для любых двух решений н,(у), дс(у) этого уравнения множество (у: Ы«(у) ~йт(у) ) имеет Яв-меру нуль при любом Оеи6. Если семейство распределений Яв полно, то решение уравнения несмещенности Мвд(У) = р(О), О ен а, существенно единственно.

В самом деле, пусть й«(у), й"(у)— два таких решения. Тогда Л(у) д«(у) — й«т(у) является решением уравнения (12), и, следовательно, множество (у: Л(у) = О) имеет Яв-меру нуль при каждом бе=6. ° Как мы внделн в примере (1), семейство распределений ««(О, и) полно на (Р«, Я«). Семейство распределений Р„в том же прн- 156 мере не является полным на ()г", Я„), л)1, так как, скажем, Мо (Хг — Хг) =О, 6яЕ. Определение 3.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее