Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику

М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику, страница 26

DJVU-файл М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику, страница 26 Теория вероятностей и математическая статистика (2651): Книга - 3 семестрМ.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 26 (2651) - СтудИ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 26 - страница

Как и в дискретной модели, минимальное достаточное разбиение, правда прн некоторых ограничениях, образуется из классов эквивалентности по отношению Й: хйуввга(ХИа(у) не зависит от 9. (41) Проверим это утверждение на экспоненциальной модели (39). За. метим, во-первых, что плотности (39) обрашаются в нуль на общем множестве (х: Ь(х) =О) н потому можно исключить из рассмотрения все такие х. Далее, отношение 7а (х)/Да (у) ехр(~!" а!(9)(Т;(х) — Т,(у))) для данных х, у не зависит от 8, если либо Т(х)=Т(у), либо функции 1, а!(8), 8~6, !=1,...,й, линейно зависимы и коэффициенты с!=Т,(х) — Т!(у) таковы, что с!а! (9) + ...

+ с„а„(8) = — соп51, 9~6. (42) Если прн некоторых с!,...,с~, с!5+...+сР)0, имеет место равенство (421, то модель можно редуцировать, взяв из системы 1, а!(8), !=1,...,й, максимальную линейно независимую подсистему 147 Поэтому в примерах (37), (39) можно было рассматривать только случай п=1. ф Из теоремы факторизации при дополнительных ограничениях (16), (17) вытекает, что векторная статистика Т(х) (Т!(х),..., ..., Та(х)) является достаточной в модели (36). Отметим, что ограничения (16), (17) являются излишними при более широком понимании достаточности.

Как н в дискретной модели, интерес представляют достаточные статистики, сокрашаюшие данные в наибольшей степени. Достаточную статистику $(х) назовем минимальной достаточной статистикой, если она представима как (вектор-) функция от любой достаточной статистики. С достаточной статистикой Т(х) свяжем достаточное разбиение множества М: и зьчеьпв в (39) остальные функции а!(8) иа линейное представление через зту систему. Поэтому мы предположим, что 1, а!(9), !=1,...,й, — линейно независимые. В таком случае разбиение на классы эквивалентности по отношению к (41) совпадает с достаточным разбиением (40).

Покажем, что зто разбиение минимально. Пусть достаточная статистика $(х) такова, что (43) Б(х) ф(Т(х)). По теореме факторизации, если Б(х) $(у) =з, то Еэ(х) =8!(э; 8)йг(х). Ев(у)=8,(э; 9)йг(у) и для всех 9~6, таких, что и! (з; 9) ьО, отношение Ев (х)ЕЕ9 (у) == 6!(х)ЕЬ! (у) ие зависит от 9, т.

е. Т(х) =Т(у). что н требовалось установить. ° Подчеркнем, что в (43) рассматриваются лишь такие миннмальные статистики 8(х), которые удовлетворяют ограничениям (18), 117), и тем самым утверждение о минимальности Т(х) доказа!!о лишь в этом классе статистик. В примерах (37), (38] требования (10), (17) удовлетворяются, и достаточные статистики а н га л Д ."', являются минимальными соот- ( 1 ! ! ! ! ! ветсзеенно для выборок иэ распределений 6(й; р) и йЕ(р, и). В линейной статистической модели с нормальными наблюдениями 127) статистики (29), служащие оценками коэффициентов 8 и а'.

также являются мпнпмальнымп достаточными. Равномерное распределение на (О; О) (см. пример (П)), экспоненциальиое распределение с параметрамп сдвига-масштаба (при. мер !111)) не принадлежат к семейству экспоненциального типа. Ха1актерная осооенность этих распределений заключается в том, что чножество, где плотность распределения отчична от нуля (носптель распределения), зависит от параметра, в то время как в (38) носитель у всех распределений один и тот же — (х: й(х) ) =«0».

Однако минпмачьность рассматриваемых в примерах (П), (1П) достаточных статистик доказывается теми же рассуждениями, что и для семейств экспоненциального типа. Такое же заключение справед1нво и для цензурированной выборки примера (1Ъ'). ° К построению минимального достаточного разбиения имеется н другой подход. Оказывается, что, как и в дискретной модели, достаточное разбиение порождается следующей системой статистик: Е.(х; 8)= Еп (х).

Оеяв, 148 зависящих от 9 как от параметра, а минимальное достаточное разб!;ение порождается функциональной статистикой (.(х; 9)/Ь(х; 9„); Оев9, (44) в предположении, что существует такое Ооепа, что носители всех мер Рв содерм<атся в носителе Рв„, Если носители всех мер Рв с:впадают, то в (44) удобнее перейти к логарифмам 1пцх; 9) — 1п цх; 9,) а(х;9), 9 =В.

(45) Рассмотрим, к чему приводит этот под!.од в экспоненциальной модели (39). Подставляя ДВ(х) из (39) а (45), получаем д(х; 9) = ~~' (а,(8) — а;(9,)) Т,(х)+(б(9) — Ь(8,)), Оы !9. (46) Следовательно, разбиение Х, порождаемое совокупностью статистик (45), совпадает в этом случае с разбиением, порожденным векторной статистикой Т(х) = (Т!(х)„..., Ть(х)), которая, как мы уже проверяли, является минимальной достаточной. Таким образом, в экспоненцпальной модели (39) удается сократить минимальную достаточную функциональную статистику (45) до й-мерной векторной Т(х).

Полезно отметить, что если в экспоненцпальной модели (39) система функций 1, а!(9), !=1,...,й, 8~6 взята линейно независимой, то, как нетрудно понять, можно подобрать значения 9<!>~8, !=1,...,й, так, что матрица [а!(8<!!) — а (Оо), !,1=1,...,й) невырождена, и из соотношений (46) Т;(х), 1 1,...,Ф, могут быть линейно выражены через функции 1, а(х; 9!!!), !=1,...,й: Т! (х) = с~~" + ~!' с!!" д(х; 9'!'). ! Перейдем к произвольной непрерывной модели (Ю, аи, (Рв, 9~ я 9)), у которой носители всех мер Рв совпадают.

Рассмотрим пространство 2' всевозможных конечных линейных комби. наций: ! 9(х)=-с,4- ~ с!9(х; О!), / 1 где О;я6, с, — произвольные постоянные 1=1,...,1, ! — любое .!а!ур,!.!ьное..У является линейным пространством, вообще гово. !и.

бесьонечиомерным. В случае экспоненциальной модели, как мы только что видели, 2' конечномерио: 1, Т!(х), !' 1,...,К поги!ждает .У. Допустим, что в 2' имеется не более чем счетный 'чанс 1, Чь(х), !'=1,...,й (й может быть и оо), так что любой 149 элемент !р(х)аи!а. представим в виде конечной линейной комбинации элементов базиса: !р(х) =Ь,+ ~!" 6!!р!(х).

! В частности, это верно и для каждой функции 9(х; 9), Оеи6. В таком случае, й-мерная статистика (!р!(х), <рт(х),...,<ра(х)), й(со, (47) эквивалентна функциональной статистике 9(х; 9), Ос=9, тзк как 9(х; 9)ен,У при любом Он=В, н поэтому линейно выражается через систему.

Отсюда совпадение разбиений, порождаемых систе. мой статистик д(х; 9), 9~6, и й-мерной статистикой (47), и, следовательно, статистика (47) минимально достаточна. Интересно заметить, что если размерность й статистики (47) конечна, то, записывая при каждом Оец 9 разложение элемента я(х; 9)ен,У по базису 1,!р!(х),...,Ч!~(х), получаем 1п~в(х) — 1пД~, (х) =9(х; 9) = )" а!(9)!р!(х)+Ь(9), откуда 7в(х)=1в,(х)ехр1~ а!(9)!р!(х)+Ь(9)1, !=! (48) 9 (х; 9) =1п гв (х) — )п Цв (х), О ен 6, (49) и 2' — линейное пространство функций <р(х), порожденное линейными комбпнациямн функций системы (49).

Допустим, что 1, <1;(х), !=1,...,й (й может равняться и со) — базис 2', так что при любом Оеар и!6) д(х; 9) = ~' с!(9)!р!(х)+с,(9). ! ! (50) Из предыдущего вытекает, что й-мерная статистика (гр!(х), !Гр(х),...,!ра(х)) является минимальной достаточной. Подчеркнем, что здесь всюду 150 т. е. статистическая модель является экспоненциальной. Таким образом, семейство распределений с общим носителем является экспоненцпальным тогда и только тогда, когда пространство У конечномерио. Я Рассмотрим, что дает описанный подход в модели с независимой повторной выборкой, когда плотность ),(к), Ос=8, отдельного наблюдения сосредоточена на одном и том же множестве. Пусть х — скалярная переменная. Перейдем теперь к повторной неза- висимой выборке объема л.

Очевидно, л я(х„; 9) = ~) д(х!; 9), 9яя В, !=! а из (50) вытекает, что л л!(6) п(х„; 9) = ~ ( ~Г с (О) !р (х!) + с (9) ! ) ! 1=! л!(0) е = Я с!(9)~~' !р!(х(),-лс„(9). В таком случае ясно, что й-мерная статистика е (ф,(х„), ..., фэ(х„)). !р!(х„) = э' !р!(х!), ! =1, ..., й, (Ы) (=! является минимальной достаточной. Если размерность й статистики (Ы) конечна, то при л)Й она дает сокращение данных по сравнению с тривиальной достаточной статистикой — вариационным рядом.

Заметим, что при этом, как вытекает из (48), распределения отдельного наблюдения и всей выборки принадлежат экспоненциальному типу. Однако при условии й~л остается открытым вопрос о сокращении размерности статистики (51) с сохранением достаточности. При дополнительном предположении, что все плотности /в(х) 9ы 6, непрерывно дифференцируемы на некотором общем для всех интервале Ь, мы докажем следующее утверждение: любые з. з(!п(п(й, л), компонент статистики (51) функционально независимы.

При й(л отсюда, очевидно, следует, что размерность статистики (51) не может быть поиижена с сохранением свойства достаточности. Действительно, пусть некоторая статистика (д!(х.),...,д!(х.)), 1(й, является достаточной; тогда ввиду минимальности статистики (51) все ее компоненты ф!(х„), 1=1,...,Ф, должны функционально выражаться через д!(х,),...,д!(х.). Но поскольку !(й, это приводит к функциональной зависимости !р!(х„),...,!р~(х,). При й)л из сформулированного утверждения вытекает, что размерность достаточной статистики не может быть сделана меньше л. В самом деле, в этом случае статистики !)!(х„),...,!р,(х,) функционально независимы, и потому якобиаи д(!р!,..., !р,)/ !д(х;..,.,х„) отличен от нуля на множестве Л"=(х„:х!ецЛ, !=-!...,л). Следовательно, найдется интервал Лый, что иа подмножестве Л"с: 'ъ' зависимости !1,=!1,(х,)„(="1,...,г!, можно однозначно разрешить относительно х,.

Учитывая, что !51 л л ф> (Х„) =- ~ >Т> (х,) =- Я >Р> (Х>;>лл ф> (Х>ц, ..., Х,л>), > 1 > получаем, что соотношения ф>=ф>(х>ц,...,х>ю) также однозначно. разрешимы относительно х>ц,...,х>л>. Итак, в некоторой области Лл переменных х>,..., хл (имеющей положительную меру при каждом Оое6) статистика (х>ц, ..., х, >) эквивалентна статистике (ч>(хц».,х>л>),,фл(х>ц,...,х>л>)). Поэтому достаточное разбиение, которое порождает вариационный ряд в области Лл, является минимально достаточным, т. е. (хп>,...,х>л>) — минимально достаточная статистика по крайней мере в области Лл.

Докажем теперь сформулированное выше утверждение о функциональной независимости статистик ф>(х,),...,ф,(х.). Предположим противное. Тогда якобиан д(>1,, ..., ф,)/д(х„..., х,)= =де1(д>1>(х„)/дх>, >, /=1...,, з]=.>)е11>Р;(х>), >', / — -1, ... „з) (52) тождественно равен нулю в /эл=(х„:х>~Ь, >'=1,...,п). Приведем это к противоречию с линейной независимостью системы 1, >р>(х),...,>р,(х). Будем действовать по индукции, При з=1 по- лучаем >р'>(х>) авО, >г>(х>) сопз1, и противоречие получено. Допус- тим, что д(ф>,...,ф. >)/д(х>,...,х, >)ФО.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее