А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике.djvu), страница 21

186 Выражая из (3.244) )2), 32 и подставляя их в (3.241). находим, что энергия системы 2~ ~ 2 (3.248) и подвергнем ее преобразованию Лежандра, построив стандартным образом функцию Гамильтона (см. задачу 3.1.2.): 2т 2трз (, "' 2с 7 2т (3.249) Отметим, что поскольку обобщенные координаты р, л являются циклическими, канонически сопряженные им обобщенные импульсы являются интегралами движения: (3.250) р„ = сопаь, р„ = соней При этом сам гамильтониан, представляющий собой энергию Е частицы: Н=Е, не являетсн интегралом движении, поскольку зависит явно от времени по причине изменения со временем напряженности магнитного поля Нс. з= Слагаемое — * = сопае в гамильтониане (3.249) обозначим 2т 2 Š— — * = Ез.

2гп Введенная величина Ех по смыслу представляет собой энергию движе- ния в поперечном магнитному полю направлении и, согласно (3.249) ыо- жет быть записана как р', 1 у еН, Еа = — "+ — ~р — — р ~ 2т 2тре 1 е 2с ) (3.251) откуда (3.252) 187 Решение. Запишем функцию Лагранжа заряженной частицы, движущейся в однородном постоянном магнитном поле Й = Нее„в цилиндрических координатах (отметим, что напряженность Н, магнитного поля в ней мы рассматриваем как параметр, который далее будет считаться медленно меняющимся): найден закон изменения меры интеграла (3.255): — = — -э — = (эйве) = — .

(зб~е Нр 1 ди (, 1 1 Ии Стало быть, э х1/з еНэ и+ +р„ е с 2пзсЕз — +р . еНо Поэтому можно схематично записать /2гпсЕг ,у = 1 ( — + р„,) = сопят., еНо (3.260) где 1" — некоторая функция. Тогда, поскольку сама функция г" есть кон- станта, моментально заключаем, что и ее аргумент 2глсЕ -ь ре = сонэк еН, (3.261) Поскольку р„= солнц то н 2тсЕх = сопя$, еНе (3.262) то есть Ез — = сопвс. Не (3.263) Таким образом, энергия движения частицы в направлении, ортогональ- ном магнитному полю, меняется со временем пропорционально модулю вектора его напряженности; Е„Н, (3.264) 189 Совершенно неважно, чему равен этот интеграл.

Важно, что, во-первых, значение его есть константа (3.254), и, во-вторых, он параметрически зависит от комбинации что перепишем в виде: Ет = СНе, (3.265) где С вЂ” некоторая константа. С другой стороны., эту знергию можно записать как кинетическую энергию вращения по окружности некоторого еНа радиуса Л с пиклотронной частотой ме = —: тс (3.266) Сравнивая (3.265) и (3.266), имеем (3.267) откуда (3.268) Ней (Е) = соева чго может быть интерпретировано как неизменность потока магнитного поля й=Н, «Н' (3.269) через поверхность. ограниченную траекторией движения частицы. которой является окружность радиуса Л. Таким образом, прн медленном изменении напряженности магнитного поля Нп радиус В окружности, по которой движется частица., меняется так, что остается неизменным поток магнитного поля через поверхиосггч ограниченную траекторией частицы.

Список рекомендованной литературы 1. А. В. Пименов. Задачник по теоретической механике. — Мз Физический факультет МГУ, 2015. 2. Г. Голдстейн. Классическая механика. — Мс Наука, 1975. 3. Ф. Р. Гантмахер. Лекции по аналитической механике. - Мл Физматлит, 2005. 4. Ю. Г. Павленко. Лекции по теоретической механике. — Мл Физматлит, 2002. 5. Л.

Л. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. — Мс Физматлит, 2004. 6. И. И. Ольховский. Курс теоретической механики для физиков. Мс Лань. 2009. 7. В. В. Петкевич. Теоретическая механика. — Мс Наука., 1981. 8. Г.:!. Коткин. В. Г. Сербо. А. И. Черных. Лекции по аналитической механике. — Мл НИЦ «Регулярная и хаотическая динамикам 2010. 9. Г. Голдстейн. Ч. Пул, Л. Сафко. Классическая механика. — Мс Институт компьютерных исследований, 2012. 10. В. И.

Арнольд. Математические методы классической механики.— Мс УРСС, 2003. 191 .