А.С. Белокопытов, К.С. Ржевкин, А.А. Белов, А.С. Логгинов, Ю.И. Кузнецов, И.В. Иванов - Основы радиофизики, страница 7

В силу отсустсгвия в природе источников бесконечной мощности временная зависимость физических величин не может содержать мгновенных скачков и изломов и, следовательно', представляет собой гладкую функцию време- 2.2. Сигналы с ог вниченным спект м 25 ни. Если известны значения сигнала в дискретные моменты времени (отсчеты), то, взяв достаточно малые промежутки времени между последовательными отсчетами, удается приближенно воспроизвести форму сигнала. Может показаться, что для увеличения точности воспроизведения следует располагать отсчеты как можно более часто (рис.

2.2). Однако в действительности длн точного определения формы реальных сигналов не требуется сколь угодно частое повторение отсчетов. Сигналы с ограниченным спектром обладают важным свойством, которое выражает теорема Котельникова, или теорема отсчетов. ТЕоРЕмА. Функция с ограниченным спектром полностью определяется своими значениями, отсчитанными через интервалы времени Ы = -У„где у, — ширина спектра ы функции. доклзлтельство начнем с представления непрерывного процесса-сигнала х(1) в виде интеграла Фурье (1.12), По условию спектр сигнала ограничен, поэтому бесконечные пределы интегрирования можно заменить конечными: х(1) = — ( д(ы)е' дш. 1 Г 2я,/ (2.8) -ым Поскольку спектральная плотность задана только в конеч- 2 2,5 ,5 ном интервале частот (-2н7„2я,Г„), в этом интервале ее можно представить в виде ряда Фурье: нала в виде последовательности отсчетов с разными ча- (2,9) стотами выборки Я(ы) = ~г с„е ' "~'~ Зались (2.9) отличается от представления (1.7) тем, что роль переменной 1 играет вели- чина — ш, а роль частоты ы (ы = 2я/Т) — величина 1/27,.

Подставим разложение (2.9) в (2.8) и изменим порядок суммирования и интегрирования. Получим (2.10) а -2/ где 1„= и/2,г,. интеграл, входящий в (2.10), равен 2 51п(2н,г,(1 — 1„))/(1 — 1„). Остается определить коэффициенты с„. Будучи коэффициентами ряда Фурье (2.9), онн равны 1 с„= — / Я(ы)ез " аы. 4я г,,/ (2.11) -г и 2 з(п(2к У,(1 — 1„)] х(1) = ~ х(1„) 2я2„(1 — 1„) (2.12) Соотношение (2.12) показывает, как по значениям функции х, определенным в дискретные моменты времени 1„, можно найти значения функции х(1) в любые моменты Сравним полученное выражение с (2.8). Очевидно, что коэффициенты с„пропорциональны значениям функции х(1) в моменты времени 1 = 1„. Более точно имеем: с„= х(1„)/25,.

С учетом сказанного, выражение (2.10) окончательно представим в виде ряда Котельникова: 26 Глава 2. Сималы и ии о мвция времени (см. рис. 2,2). Интервал между последовательными моментами времени 1„ равен 1/2г,. Тем самым теорема доказана. Заметим, что, в силу симметрии преобразований Фурье относительно переменных ы и 1, теорема Котельникова имеет частотный аналог. Можно утверждать, что спектр сигнала, имеющего конечную длительность Т, однозначно определяется дискретным набором спектральных компонент 8(ю„), взятых с интервалом Ц2Т (ь„= 2япГТ). Разумеется, сигнал конечной длительности, будучи непериодическим процессом, имеет сплошной спектр.

Однако значения спектральной плотности на произвольной частоте могут быть выражены через дискретные отсчеты по формуле, аналогичной (2.12), т. е. (2.13) Теорема отсчетов в таком виде играет важную роль в спектральном анализе импульсов. Мы убедились, что непрерывное сообщение я(1) можно (если спектр я(1) ограничен) заменить последовательностью отсчетов, т. е. значений х(1), взятых в дискретные моменты времени. Оценим теперь, какое количество информации содержится в отдельном отсчете. Каждый такой отсчет сводится в измерению значения физической величины в заданный момент времени. Результатом измерения является число, равное отношению измеренной величины к принятой единице измерения.

Если бы точность измерений была сколь угодно высока, то результат измерения выражался бы числом с бесконечным количеством знаков, а сообшение об этом числе содержало бы бесконечно большое количество информации. В действительности точность измерений ограничена чувствительностью измерительных приборов вследствие наличия флуктуаций (шумов). Если мощность флуктуаций равна Р, а максимальная мощность сигнала составляет Р„то можно считать, что в эксперименте различимы порядка (1+ — ') градаций уровня мошности.

В отР„ сутствие априорных ограничений на уровень и форму сигнала можно также считать, что все градации равновероятны, так что энтропия одного отсчета составляет 1оя,(1+ — „' ). Результат измерения можно представить в виде дискретного сообшения, например двоичного числа, которое равно отношению уровня сигнала к единице измерения при отсчете. Таким образом, возможна замена непрерывного сигнала с ограниченным спектром дискретным сигналом. Если ширина спектра сигнала составляет у, Гц, а его длительность — Т„то для однозначного определения сигнала требуется 2у,Т отсчетов, а обшее количество информации (объем сообщения У) составит Р,~ У = 2 1,Т 1оя, 1+ — ' ~ бит.

(2.14) а Согласно (2.14), объем информации, заключенный в непрерывном сигнале, определяется тремя факторами: длительностью передачи сообшения Т, шириной спектра у, и отношением Р,(Р . Эту же формулу можно рассматривать и применительно к пропускной способности канала связи. Максимальное количество информации, которое может быть передано по каналу, определяется временем его работы, шириной полосы и отношением мощностей сигнала и шума. Обычно усиление слабых сигналов и шумов происходит так, что выходная мощность пропорциональна мощности на входе усилителя: Р, =яР, где я — коэффициент усиления. Однако сильные сигналы преобразуются с искажениями, поскольку выходная мошность усилителя всегда ограничена некоторым максимальным'уровнем насышения Р'„.

Если на вход поступает сигнал Р, такой, что 2.2. Сигналы е о вниченным епект ом 27 'кР, > Р„,„, неизбежна потеря информации, заключенной в тех отсчетах, которые соответствуют большой мгновенной мощности сигнала. Для разных входных уровней, таких, что Р, > Р /'л, выходной сигнал будет одной н той же мощности. Таким образом, вследствие явления насыщения в усилителе максимальная входная мощность синала, несущего информацию, оказывается ограниченной, и эффективное отношение Р,/Р оказывается равным 1Р,11 Р (2.15) ~Р.~ И. Величина Ю называется динамическим диапазоном и является одной из важнейших характеристик усилителей сигналов в системах связи.

Замена непрерывных сообщений дискретными позволяет эффективно решать проблему передачи по каналу связи функции нескольких переменных. Такие задачи являются типичными для спутниковой связи. При передаче телевизионного изображения в таких системах производится дискретизация функции яркости изображения /(х, у, Ф) как по временной так и по пространственным переменным. Изображение передается кадрами, которые представляют собой значения /(яму, $„), причем промежуток времени между последовательными кадрами Ь( = Ф„~, — („ составляет 1/25 с/кадр. Поскольку для восприятия картин глазом человека требуется время около 0,1с, такая частота смены кадров обеспечивает передачу движущихся изображений.

Телевизионный кадр разбивается на строки (стандарт БЕСАМ вЂ” на 625 строк), которые в свою 4 очередь содержат 625 . — й 833 точечных элемента. Таким образом, нетрудно подсчи- 3 тать, что за одну секунду по каналу телевизионной связи следует передать результаты п = 25 625. 833 = 1,3 10' отсчетов, характеризующих яркость в точках (х„,у ). Согласно теореме Котельникова, для этого требуется полоса частот /, = п/2 = 6, 5 10а Гц. Именно такой частотный диапазон выделяется для каждого телевизионного канала.

Соотношение (2 14) показывает, что лля сужения рабочей полосы канала связи при заданном объеме сообщения У требуется либо увеличение длительности передачи сигнала, либо рост отношения Р,/Р, т. е. увеличение мощности передатчика или повышение чувствительности приемника. В заключение следует отметить, что теория информации представляет собой строгую научную дисциплину, для которой характерен высокий уровень абстракции. Именно положения теории информации (принцип дискретизации), наряду с развитием полупроводниковой электроники, лежат в основе интенсивно развивающегося направления радиоэлектроники — дискретной (цифровой) обработки сигналов.

Линейные сосредоточенные радиофизические цепи 3.1. Принцип суперпозиции. Частотные и переходные характеристики линейных систем Изучая функционирование различных частей системы связи, мы встречаемся с такими задачами, когда каждое из устройств в тракте передатчика или приемника, так же как и канал связи (среда, в которой распространяется сигнал) представляет собой принципиально незамкнутую систему. Другие обьекты оказывают внешние воздействия на незамкнутую систему, результатом чего являются процессы, которые мы будем называть откликом системы.

Отклик системы на внешнее воздействие может быть зарегистрирован сторонним наблюдателем или измерительным прибором. В последнем случае сам отклик для измерительных приборов играет роль внешнего воздействия. Исследование незамкнутых систем существенно облегчается в тех случаях, когда лишь ограниченный набор внешних воздействий от определенных источников вызывает заметный отклик в рассматриваемой системе. Именно к такому типу систем принадлежит большая часть рациофизических устройств. Так например, токи, протекаюшие в усилителе радиочастотных электрических колебаний, сушественно зависят от электрического напряжения, приложенного к входу усилителя.

В то же время хорошо сконструированный усилитель весьма слабо восприимчив к электромагнитным возмушениям, которые не создают разности потенциалов на входе, В еше меньшей степени на его работе должны сказываться изменения температуры окружающей среды, механические вибрации или условия освешенности.