А.С. Белокопытов, К.С. Ржевкин, А.А. Белов, А.С. Логгинов, Ю.И. Кузнецов, И.В. Иванов - Основы радиофизики, страница 3

Последний тип модуляции называют фазово-импульсной (ФИМ). Импульсы тока или напряжения, имеющие один знак или полярность, называются в радиофизике видеоимпульсами. В результате амплитудной модуляции видеоимпульсами гармонического переносчика (несущей частоты) образуются радиоимпульсы. Радиоимпульо можно рассматривать как результат перемножения последовательности видеоимпульсов и квазигармонических колебаний. При этом можно осуществлять дополнительные способы модуляции (рис.

1.4), варьируя частоту высокочастотного заполнения при импульсной модуляции. Пример использования импульсной модуляции дает радиолокация. Передатчик радиолокационной станции (РЛС) генерирует периодическую последовательность ра- Р"с 1.4' ОбРюоаа""е Радио импульсов как результат диоимпульсов. ИзлУченные антенной Радиоволны ветре- пе множения виаеоимп л в чают пРепятствия на пути РаспРостРанения и Рассеиваются, при этом небольшая часть энергии возвращается „„и в приемное устройство радиолокатора.

Импульсы, отраженные от предметов, следует рассматривать как модулированные по отношению к исходной последовательности. Отраженные импульсы модулированы по фазе, поскольку каждый из них запаздывает относительно момента излучения на время Ьг = 2Щ)/с, где )1(г) — расстояние до объекта, с = 3 10' м/с — скорость распространения радиоволн.

Изменение временной задержки приема отраженного импульса позволяет определить расстояние до предмета. Импульсы модулированы по амплитуде, поскольку интенсивность отраженной волны зависит от расстояния между РЛС и объектом, а также от размеров и формы отражающего предмета. Наконец, при отражении от подвижных предметов происходит сдвиг несущей частоты отраженных волн вследствие эффекта Доплера.

Его величина смо такова, что гав/ы = 2о/с, где е — радиальная компонента скорости объекта. Как видно из рассмотренного примера, различные способы модуляции могут сочетаться, что повышает информативность сигнала или облегчает его выделение на фоне помех. 1.2. Спектры периодических и непериодических сигналов В широком классе радиофизических систем (линейные системы) удобно описывать свойства сигналов на частотном языке, который является в вь.сокой степени универсальным.

Напомним основные факты, лежащие в основе спектрального подхода к исследованию процессов. Известно, что периодическая функция х(1) с периодом Т, удо- 1О Глава 1. Сигналы и спект ы влетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде рида Фурье: х(!) = ~) с„е'"", (1. 7) где ы = 2х(Т. Коэффициенты разложения (1.7) определяются так: тд тн 1 / с, = — ( х(!)(Ы, с„= — 1 хЯе '" 'й (и = х1,...). Т( ' " Т,! (1.8) -т/2 -т!2 Спектром периодического сигнала х(8) называется совокупность величин ~с„1, агдс„, ы„= 2хп(Т, характеризующих его разложение в ряд Фурье (1.7).

Пользуясь представлением (1.7), формально мы должны рассматривать спектральные компоненты, соответствующие как положительным, так н отрицательным частотам ы„(ы„= пм). Однако для физических величин, которые всегда являются действительными, в этом нет необходимости, поскольку из (1.8) следует с „=с'„(п~О) (1.9) (звездочка означает операцию комплексного сопряжения). Таким образом, достаточно задавать коэффициенты с„лишь для п > О. Спектральное разложение (1.7) можно представить в другой, эквивалентной форме: х(!) = а0 + Я(а„сох пы! + Ь„з!и пы!) (1.10) х(!) = ',~ С„соз(тио(+ ф„), =О (1.11) где рассматриваются только положительные частоты. Как правило, расчеты более удобно проводить, используя разложение Фурье в комплексной форме, а конечные результаты представлять, пользуясь тригонометрическими разложениями.

Имея в виду представление (1.11), совокупность (С„) называют спектром амплитуд, а (ф„) — спектром фаз периодического сигнала. Непериодические сигналы также можно представить в виде разложения по гармоническим составляющим, но в виде интеграла Фурье: х(!) = — Я(ы) е' йя. 2х / (1.12) 3(ы) = х(!)е ' ~ й. (3.13) Соотношения (1.12) и (1.13) устанавливают взаимно однозначное соответствие между функцией х(8) и ее спектром я(м), Интеграл Фурье содержит непрерывный набор гармонических компонент. Вклад каждого колебания в результирующий процесс тем больше, чем больше спектральная плотность Яы). Функцию 5(ы) называют (комплексным) спектром непериодического сигнала х(!).

Если временная зависимость х(!) известна, то спектральная плотность находится по формуле 1.2. Спектры пе иодических и пепе одических сигналов 11 Перечислим основные свойства спектров, вытекающие из определения преобразований Фурье (1.12) и (1.13). Аналогичными свойствами обладают и дискретные спектры периодических процессов. 1) Спектр 5(ы) действительного сигнала х(1) удовлетворяет соотношению 5(-ы) = 5*(ы). (1.14) у(1) = х~(1) + хо(1), С(оо) = 5~(ы) + 5о(ш).

(1.15) Зта свойство линейности преобразований Фурье. 3) Пусть дана функция х($) =' 5(ы). Найдем спектр С(ы) функции у(1) = х(1)е' ". Согласно (1.13) имеем С(ы) = х(1)ео ' е ' ойй~~ 5(ы — ыо), (1.16) т. е. нахождение спектра сигнала у($) сводится к сдвигу спектра 5(ы) по оси частот на величину ыо. Из этого утверждения, называемого теоремой сдвига, вытекают существенные следствия для амплитудно-модулированных колебаний с гармонической несущей: Рис. 1.5. Спектры модулирующей функции (а) и АМ колебаний лля разных значений несущей частоты: ы~ > ы (б) и ыо < ы (в) хо(1) = хЯ сов ыо( = -х(1)(ез ' + е ' ' ).

2 Пусть х(1) =' 5(ы), хо(1) = 5о(оц). Тогда с уче- том (1.14) и (1.!б) имеем 1 5о(ы) = — Р(ы+ ыо) + 5(ы — ыо)1 2 Для спектра 5(ы), ограниченного частотой ы (рис. 1.5,а), его преобразование при амплитудной модуляции показано на рис. 1.5, б, в. Если несущая частота ы, выше ы 1 спектры -5(ы — м,) и -5(ы+ цч) не перекрываются, каждая из составляющих спеко о тра симметрична относительно несущей частоты ы„поскольку исходный спектр ~5(ы)~ симметричен относительно нулевой частоты.

Если же несущая частота ыо ниже ы„„то неизбежно перекрытие спектров -5(ы — -ы,) и -5(ы + м,). На практике добиваются 1 2 г выполнения условия ы, » оо 4) Рассмотрим более общий случай связи спектров функций х,(1) и х,(1) со спектром их произведения у(1) = х,(С)хо(1).

Пусть 5,(оу) =' х,(1), 5,(оо) =' хо(Ю) и С(оу) =' у(1). Запишем выражение для б(ы) и преобразуем его, представив х,(1) в виде интеграла Величину /5(оц)~ называют спектром амплитуд, а агя5(ы) — спектром фаз. Равенство (1.14) показывает, что спектр амплитуд — четная функция частоты, а спектр фаз— нечетная. Следовательно характер зависимости 5(ы) однозначно определяется ее поведением при положительных частотах. Только они имеют физический смысл, наличие же отрицательных частот — следствие применения комплексных экспонент для представления двух действительных функций — спектров амплитуд и фаз.

2) Если сигнал у(1) = х,(1)+ х,($) и х,(1) ставится в однозначное соответствие 5о(ы) (это записывается так: х,(1) =' 5,(ы)), то спектр суммарного сигнала б(ы) (у(1) = б(иг)) равен сумме спектров составляющих: Глава 1. Сигналы н спект ы Фурье (1.12), после чего введем новую переменную и = ш — ш' и изменим порядок интегрирования: 1 Г С(ш) = х,(1)хг(1)е ' '<Ы = — / х,(1) Я,(ш')е'ш вйи'Ю = Ю +сю +ос 1 Г = — / Я,(ш — и) х,(1)е 3"'Жйи.

2з',г В итоге получим 1 Г С(ш) = — / Я,(ш — и)Я(и) с(и. 2.1 ' (1.17) Интеграл, стоящий в правой части (1.17), называется сверткой функций Я, и Я„ а сама формула (1.17) составляет утверждение теоремы о свертке, имеющей ряд важных следствий. В частности, пусть х, = х1 — — х и у(1) = х'(8). По определению (1.! 3), +Х С(0) = х'(8) в(, т.е. значение спектральной плотности С(ш) в нуле (с точностью до коэффициента) равно полной энергии сигнала х(1).

С другой стороны, в соответствии с (1.17) имеем 1 Г 1 Г С(0) = — / Я( — и)Я(и)й = — / )Я(и)!'Ни. 2я,/ о Сопоставляя два разных представления С(0), получаем равенство, называемое равен- ством Парсеваля: (1.18) Это равенство показывает, что полную энергию сигнала можно определить либо путем суммирования мощности во все моменты его существования, либо полагая, что каждому интервалу частотного спектра й соответствует энергия сигнала, равная -'1Я(и))' й . 5) Соотношения (1.12) и (1.13) с точностью до коэффициента —,' переходят друг в друга, если величины 1 и — ш поменять местами (свойство взаимности, или дуальности).

Поэтому каждому общему соотношению, справедливому для спектра сигналов, можно поставить в соответствие соотношение, аналогичное, но справедливое уже во временной области. Сформулируем, например, аналог теоремы сдвига (1.1б): если сигналу х(1) соответствует спектр Я(ш), то сигналу у(1) = х(1 — т) соответствует спектр С(ш) = Я(ш)е ' . В этом нетрудно убедиться непосредственной подстановкой у(Е) = х(1 — т) в (1.13). Попутно мы установили, что при задержке сигнала на время т спектр амплитуд остается неизменным (так как !С(ш)~ = !Я(ш)е ' 1= ф(ш)1), а спектр фаз приобретает сдвиг, пропорциональный' частоте.

1.2. Спектры пе иодических и пепе иодических сигналов Рассмотрим теперь соотношение, дуальное теореме о свертке. Если сигналам со спектрами Я,(ы) и Я,(ы) соответствуют временные зависимости к,(1) и к,(1), то спектр вида С(ы) = 5,(ы)Я,(ьг) имеет функция у(1)„такая, что 1 Г у(т) = — / х,(1)к,(т — 1) сй, 2х ./ (1.19) Особый интерес представляет случай, когда х,(1) = х(8), х,(1) = х(-1).

Тогда функ- ция у(т) принимает вид 1 Г у(т) = — / х(1)х(1 — т)ог. 2я ./ (1.20) Функция у(т) называется автокорреляционной функцией сигнала х(1) и показывает, в какой степени его значения в моменты времени, разделенные интервалом т, являются взаимосвязанными. Пусть для рассматриваемого случая к(1) = Я(ьу). Тогда по определению спектра х(-8) =' Я'(ьг), так что С(ьу) = 15(ы)('.