Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах), страница 2

Книга написана преподавателями кафедры гидромеханики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова. Заведующий этой кафедрой академик Л.И.Седов внес значительный вклад в становление механики сплошной среды из набора отдельных дисциплин в единую науку. Написанный им фундаментальный двухтомный учебник „Механика сплошной среды" (5-е издание: Москва, Наука, 1995 г.) является в настоящее время одним иэ основных учебников в этой области.

Авторы в течение многих лет читали лекции и вели упражнения по основному курсу механики сплошных сред, а также по различным ее разделам — гидромеханике, газовой динамике, теории упругости, теории пластичности, термодинамике и электродинамике сплошных сред, применению анализа размерностей и моделированию явлений в сплошных средах. Все авторы ведут также активную научную работу, ими опубликовано большое количество научных статей и несколько монографий. Работа по составлению этой книги была распределена между авторами следующим образом: Г.Я.Галин — параграф 26; А.Н.Голубятников — параграфы 1 — 6, 12, 17, 19, 30; Я.А.Каменярж — параграфы 1 — 4, 31, 32; В.П.Карликов — параграфы 38, 39; А.Г.Куликовский — параграфы 11, 18, 24, 25, 33 — 37; А.Г.Петров — параграфы 20 — 24; Е.И.Свешникова — параграфы 24, 25, 27 — 29; И.С.1Пикина — параграфы 20 — 24; М.Э.Эглит — параграфы 4, 7 — 11, 13 — 16, 18, 25.

Общее редактирование книги выполнено М.Э.Эглит. Предисловие На первом этапе работы над книгой авторы с большой пользой обсуждали ее содержание с В.В.Розанцевой, много лет работавшей на кафедре гидромеханики и активно участвовавшей в создании программы упражнений по курсу механики сплошных сред на механико-математическом факультете МГУ.

Огромную работу по созданию окончательного варианта текста проделал А.Г.Якушев, он сделал ряд полезных замечаний, касающихся необходимых уточнений формулировок задач. Компьютерные рисунки выполнил Е.Н.Пащенко. Большую помощь при оформлении рукописи оказали А.Г.Калугин и Н.И.Гвоздовскал.

Надо отметить также неоценимую помощь А.Е.Якубенко, который участвовал в работе над книгой с самого начала, давал необходимые советы, печатал предварительные варианты текста и рисунков, Всем перечисленным лицам авторы выражают большую благодарность. М.Э.Эглит Москва, 1 марта 1Ио года Список обозначений Основные обозначения: а — скорость звука; с — скорость света; скорость характеристики; теплоемкость единицы массы; концентрапия; удельная теплоемкость при постоянном давлении; удельная теплоемкость при постоянном объеме; работа за время п1; с Р сев ЫА— Ид — количество тепла, поступающего к единице массы среды за время й; некомпенсированное тепло; скорость производства энтропии в единице массы сре- ды; Йт — элемент площади; И$' — элемент объема; ковариантные векторы базиса; контравариантные векторы базиса; базисные векторы Лагранжевой системы координат в начальном и конечном состояниях среды соответ- ственно; и;, е; компоненты тензора скоростей дефомаций; Авторы не стремились строго соблюдать одни и те же обозначения по всей книге.

Обычно все обозначения объясняются в тексте. Все же есть некоторые стандартные обозначения, которые используются почти всюду в книге. Они приведены ниже. Координаты обычно нумеруются версиями индексами и обозначаются х', г = 1, 2, 3. Декартовы координаты часто обозначаются з, у и г, иногда х,; лагранжевы координаты — ~'.

Символ ~7; используется для обозначения ковариантных производных по координатам х'. В декартовых координатах д ~7: — —. ь — д Список обозначений 10 у — ускорение силы тяжести; нормаль к границе; вектор напряжений; я — энтропия единицы массы; время; е — вектор скорости; ю — вектор перемещения; х' координаты; декартовы координаты; магнитная индукция; У в В Е Я У Г С 9*1 В компоненты метрического тензора; удельная энтальпия;мнимая единица; волновое число; внутренний момент количества движения единицы массы; давление; компоненты тензора напряжений Коши; вектор потока тепла; компонента вектора потока тепла в направлении х', внутренняя энергия единицы массы; составляющая скорости, направленная вдоль декартовой оси х; скорость; составляющая скорости, направленная вдоль декартовой оси у; компонента скорости вдоль декартовой оси г; скорость поверхности разрыва; модуль Юнга; напряженность электрического поля; свободная энергия единицы массы; массовая сила в расчете на единицу массы; метрический тензор; компоненты тензора моментных напряжений; газовая постоянная; Список обозначений Я вЂ” энтропия; Т вЂ” температура; 7 д;,,б,' ео плотность; компоненты тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа; коэффициент Пуассона; коэффициент электропровод- ности; касательное напряжение; вязкие напряжения; ге потенциал скорости; функция тока; — лагранжевы координаты; вектор вихря; угловая скорость; циркуляция скорости.

У— Ъ'— И'— Гг— М— Ре— йе— внутренняя энергия; потенциал массовой силы; объем; комплексный потенциал; число Фруда; число Маха; число Пекле; число Рейнольдса; число Струхаля; коэффициент теплового расширения; показатель адиабаты, отношение с /с,,; символы Кронекера; компоненты тензора деформаций; компоненты тензора Леви-Чивита; один из коэффициентов вязкости; один из упругих ко- эффициентов; коэффициент вязкости; один из упругих коэффициен- тов; коэффициент кинематической вязкости; ковариантные производные; Основные понятия, используемые для описания движения и деформации сплошной среды Глава 1.

1. Лагранжево и эйлерово описания движения В рамках классической механики все частицы сплошной среды отличимы друг от друга — индивидуализируемы. Каждой индивидуальной частице ставится в соответствие тройка чисел ф,сг,сз). Такая тройка называется лагранжевыми координатами соответствующей индивидуальной частицы. Лагранжевы координаты используются, чтобы указать зту частицу, т. е.

служат ее „именем", так же, как номера служат „именами" частиц, когда последние расположены дискретно. В качестве лагранжевых координат частицы обычно используются координаты точки, в которой зта частица находилась в начальный момент. Движение сплошной среды и происходящие процессы описываются полями физических величин (скорости, давления, температуры и т.д.).

Если эти величины рассматриваются как функции лагранжевых координат ф,~г,сз) и времени 1, то описание называется лаеранжевым или материальным. При этом подходе события описываются как происходящие с индивидуальными частицами. Основной кинематической характеристикой при лагранжевом описании является закон движения сплошной среды. Для всякой частицы ф,~г,Сз) во всякий момент ~ закон движения указывает ее положение (относительно выбранной системы отсчета) — вектор гф, Сг, Сз, ~) трехмерного евклидова пространства. Если в этом пространстве выбрана система координат (установлено взаимно — однозначное соответствие и е+ (х„хг, хз) векторов и троек чисел), то закон движения описывается также функциями 1. Лагранжево н;гйлсроно описания Лвижсная Скорость и ускорение частиц сплошной среды определяется соотношениями д (~.г) д (~,с) Ы,~) = ', нЫ.~) = дг ": '- д1 где с = (6;6 сз).

Вообще скорость изменения некоторой величины Л в индивидуальной частице сплошной среды называется индивидуальной. или материальнагг, или полной производной па времени этой величины. При лагранлгевом описании — это просто частная производная дА(~, 1)/дг. Физические величины, характеризующие движение сплошной среды и происходящие процессы, можно рассматривать как функции пространственных координат (хг,хг,хз) и времени ~. При этом подходе события описываются как происходящие в точках пространства. Такое описание называется эйлеравы.н или пространственным.

Основной кинематической характеристикой при эйлеровом описании является поле скорости н(х.,й), где х = (хг,хг,хз). Вектор н(хг,хг,хз,1) — это скорость частицы сплошной среды, которая в момент 1 находится в точке пространства с координатами (хг, хг, хз). Индивидуальная производная по времени величины Л при эйлеровом описании обозначается дА(х,1)/й и вычисляется по формуле дЛ(х, ~) дА(г., ~) дА(х,1) дА(х, ~) дА(х,1) +ггг ' +ог ' +аз Здесь аг — — аг(х, С), нг = аг(х,1) и из = аз(х,1) — компоненты вектора скорости среды н(х,1) в системе координат х,.

В частности, ускорение а(х,1) при эйлеровом описании находится по формуле дн(х, 1) да(х, ~) дн(х, 1) дн(х, 1) в(х,1) = ' +иг(х,1) ' +аг(х,1) ' +из(х, 1) д1 ' дхг с хг дхз Лагранжев и эйлеров подходы эквивалентны: если события описаны в рамках одного из них, то описание в рамках другого подхода получается при помощи простой процедуры. Чтобы перейти ат лагранжева описан я н эйлерову, нужно соотношения, выражающие закон движения хг=~Дг,ЬЬ1), =1, ~, З, Глава 1. Основные понятия 14 разрешить относительно лагранжевых координат, т. е.

найти функции ~а = уа(хм хг|хз~ С)1 о = 1~ 21 3. Тогда для всякой величины А, лагранжево описание которой А((ы бг, ~з, С) известно, зйлерово описание находится как сложная функция А(у«(х, «), уг(х, С), уз(х, С), «). Чтобы перейти от эйлерова описания, к лаеранэкеву, находят решение системы обыкновенных дифференциальных урав- нений ах; ૠ— =ис(х«х«хз С), «=1,2,3, удовлетворяющие начальным условиям хг1«=о чг~ хэви~-о = чз.

Хорошее, хотя и неполное, представление о движении сплошной среды дают траектории частиц и линии тока. Траекторией частицы ф, ~г, ~з) называется геометрическое место ее положений во все моменты времени. Линией тока называется определенная в данный момент Со кривая, касательная к которой в каждой точке х имеет направление вектора скорости и(х, Со). Уравнения линии тока в момент Со имеют вид Их« йхг ахз и1(х,«о) иг(* Со) из(х,Со) Линии тока, вообще говоря, зависят от момента Со, для которого они записаны. При установившемся движении линии тока не зависят от момента «о и совпадают с траекториями частиц. Установив1пимся или стационарным называется движение, при Это решение х, = С«((«,~г,~з, С), С = 1, 2, 3, найденное для всевозможных значений параметров ф,~г,~з), и есть закон движения, а ф, ~г, ~з) — лагранжевы координаты частиц.

Тогда для всякой величины В(хы хг, хз, С), зйлерово описание которой известно, лагранжево описание находится как сложная функция 1 Лагранжево и эйлерово описания движения котором поле скорости в эйлеровом описании не зависит от времени 1. В задачах этого параграфа хы яг, яз — пространственные декартовы координаты, ~ы Сг, Сэ — лагранжевы координаты. Задачи 1.1 Ввести пространственную систему координат и лагранжевы координаты частиц и найти закон движения в следующих случаях: а) твердое тело движется поступательно со скоростью, посто- янной по направлению и имеющей постоянную величину о; б) твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоян- ной угловой скоростью 1.2 Для поступательных движений твердого тела указать общий вид поля скорости в лагранжевом описании и общий вид закона движения.