kudryavtsev1a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 7

Для любого числа а число, обозначаемое !а! и определяемое по формуле а, если а- О, !а!= ) — а, если а -О, называется абсолютной величиной числа а, или, что то же, его модулем. Отметим ряд свойств абсолютной величины. 1'. Для любого числа а выполняются неравенства )а!=-О, !а!=! — а!, а =.!а!, — ак-.!а!.

(2.5) (2.6) (2.7) )а+Ь|(!а!+!Ь), ! ! а ! — ! Ь ! ! ~ ! а — Ь !. (2. 8) (2.9) Докажем неравенство (2.6). Если а=. О, то !а/=а-:0; если же а с О, то /а|= — а)0 (свойство 4 и. 2.3"). ! ) Докажем равенство (2.6). Если ага О, то ~а!=а и — а «О, поэтому согласно определению абсолютной величины и свойству 3' из п. 2.2ч получим ! — а!= — ( — а)=а=!а!. Если же а(0, то ! а!= — а и — а) О; это означает, что ! — а/= — а. П Докажем неравенство (2.7). Если а--О, то а=)а! и — а = ~Оа=(а/, т.

е. (2.7) выполняется. Если же а<0, то а< (О( — а=/а/, т. е. (2.7) тоже выполняется. ( ) 2'. Для любых чисел а и Ь э" 2. Дейстеотельные числа. числовые множества Докажем эти неравенства. Согласно (2.7) имеем: а(!а!, — а~!а!, Ь~!Ь!, — Ь-=.!Ь!. Отсюда в силу свойства 5' из п. 2.3* и свойства 5' из п. 2.2* а+Ьн.=!а!+!Ь!, — (а+Ь) =!а!+!Ь!. Одно из чисел а+ Ь нлн — (а+ Ь) неотрицательно и, следовательно, совпадает с !а+Ь!.

Неравенство (2 8) доказано. Неравенство же (2.9) является следствием (2.8). В самом деле ! а ! — ! Ь ! =- ', (а — Ь) + Ь ! — ! Ь ! ~ ! а — Ь |+ ! Ь ! — ! Ь ! = ! а — Ь !; аналогично, !Ь! — !а! ( !Ь вЂ” а! = !и†Ь!. Согласно свойству 5', п, 2,2*, !Ь! †!а! = — (!а! — !Ь!). Одно из чисел !а! — !Ь! и — (!а! — !Ь!) совпадает с !!а! — !Ь!!. Неравенство (2.9) также доказано. ( ) 3'. Для любых чисел а и Ь выполняется равенство )аЬ!= = !а!)Ь!. Это сразу следует нз определения абсолютной величины, свойства 16', п. 2.2* и правила знаков при умножении. Рассмотрим теперь свойство непрерывности, которое выделяет поле действизельных чисел среди всех прочих упорядоченных полей.

Д4*. СВОЙСТВО НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Упорядоченное поле, удовлетворяющее свойству Ч, называется непрерывным упорядоченным полем. Поле рациональных чисел уже не является непрерывным упорядоченным полем: в нем имеются сечения, которые не определяются никаким рациональным числом. Например, можно показать, что если к верхнему классу В отнести все положительные рациональные числа т~п, удовлетворяющие неравенству (т|п)с) 2, а к нижнему классу все остальные рациональные числа, то получится сечение рациональных чисел А!В, которое не определяется никаким рациональным числом. Оказывается, что множество действительных чисел является в некотором смысле единственным непрерывным упорядоченным полем, точнее единственным с точностью до изоморфизма.

Разъясним, что это означает. Два упорядоченных поля бт и бт' называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное соответствие их элементов 7":У- Л" (см. п. 1.2*), чпю для любых двух элементов х я Ф и у е- :У, х С у, выполняютсн условия ) (х) <) (у), 7 (х+ у) = =) (х)+7(у), 7(ху) =((х)) (у). Короче говоря, упорядоченные поля У и Лт' называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение З а ' Свойство непрерывности дейстаительиыл чисел зг одного из них на другое (биекция), сохраняющее упорядоченность, сложение и умножение нх элементов.

Можно показать, что все непрерывные упорядоченные поля изоморфны между собой. Этим объясняется, что в математической литературе встречаются различные построения множества действительных чисел, исходящие из разных конкретных объектов — все они приводят к нетривиальным совокупностям элементов, удовлетворяющим свойствам 1 — 'чт, т. е. к непрерывным упорядоченным полям и, следовательно, к изоморфным множествам.

Таким образом, приходим к следующему определению множества действительных чисел. Определение 2'. Множеством действительных чисел называется непрерывное упорядоченное поле. Поле рациональных чисел, как уже отмечалось выше, не обладает свойством непрерывности, а поле действительных чисел— обладает. Поэтому заведомо существуют действительные числа, не являющиеся рациональными, т. е.

существуют иррациональные числа. Таким образом, множество действительных чисел можно рассматривать, иак существенное расширение множества рациональных чисел — существенное в том смысле, что множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел. При этом расширении сохраняются свойство упорядоченности и операции сложения и умножения. Оказывается, что действительные числа,'в отличие от рациональных, уже нельзя расширить до ббльшего множества так, чтобы сохранялись указанные свойства (упорядоченность и операции сложения и умножения). Это свойство называется свойством полноты действительных чисел относительно их упорядоченности, сложения и умножения. Доказательство единственности с точностью до изоморфизма непрерывного упорядоченного поля и свойство его полноты по отношению к упорядоченности, сложению и умножению его элементов можно найти в превосходных курсах анализа В.

А. Ильина, Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», ч. 1, М., 1971 и В. А. Ильина, В. А. Садовиичего, Б. Х. Сендова «Математический анализ», М., 1979. Отметим, что в множестве действительных чисел для любого числа а'=-0 и любого натурального числа и всегда существует число Ь, являющееся корнем и-й степени из а, т. е. сущести вует у'а. Мы не будем пока останавливаться на доказательстве этого утверждения, хотя его можно было бы провести и здесь, например, на основе понятия сечения', а докажем его позже (см.

пример в п. 6.3). Конечно, в некоторых случаях корень может существовать и для а(0. Например, существует -р — 8 = = — 2, но уже корень 3т — 4 не существует, в том смысле, что не существует действительного числа Ь=3/ — 4, так как в про- Е и действительные числа. Числовые множества тнвном случае было бы справедливо равенство Ь'= — 4, которое противоречит правилу знаков при умножении.

Сформулируем свойства корпя. Пусть п и т натуральные числа и а'=-О, Ь== О, тогда справедливы следующие формулы: « 1') )/ у' а = ~/ а; 4') 1т/ =- ~' —, ЬФО; 1 5') (уга/ = у а". 2') у и = уга"; 3') угиЬ = у и у' Ь; Все эти формулы доказываются одинаковым приемом.

Докажем, например, первую. т/ы Пусть Ь= у уга. Согласно опредепению корня и свойству 22' из п. 2.2* это означает, что Ь"=-у'а и что Ь "=-а. Отсюда «л« в силу того же определения корня следует, что Ь = у а. Таким образом, имеем: Д/' =Ь=ыу'и. р Если а(0 и все корни, входящие в формулу!), существуют, то она также справедлива, и приведенное ее доказательство сохраняет силу. Вообще, если а < 0 и все корни, входящие в какуюлпбо из формул 1) — б) существуют, то они справедливы н в этом случае. Имея понятие целочисленной степени и корня, определим понятие рациональной степени. Пусть а ) 0 и г еп О, т.

е. г =- т)п, т г, пг-=г, пчьО. Степень а" определяется равенством се[" г— а' '==- у а". Отметим основные свойства рациональной степени. Пусть а О, Ь>0, гт еп 9, гвен 9, г енЯ; тогда бо) апас«и«~ и т 7") (ао)с«и«в 8') (аЬ)" =- а'Ь'. Докажем, например, формулу 6в). Если г, = рЬ7, ге = тт, а~О, и ~0, р, и, т, л е= У, то, использовав определение рациональной степени, свойства корней 2', 3' и свойство 22 из и, 2.2", получим: ч — « — «е — «в —, «ч и'а' ==ив'ча "=- у/ав.у ам= уганя уга"ч= у'а"в' в=- в.~- ые л «« =и "ч =ач « =ао+ь ! ) 2.В.

Промежутки действительных чисел. Окрестности 33 У и р а ж н е н и е 2. Пусть В р~~ (х; хт )'2, х е О), А 4'=~ О' В, Доказать, что множества А и В образуют сечение в попс рациональных чисел «Е и что зто сечение ие определяется никаким рациональным числом. 2.5. РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел )с элементами, обозначенными через +ос и — оо и назы- ваемыми соответственно плюс и минос бесконечностями, считая при этом, что по определению — оо (+ оо, (+ со)+(+ со) =+ оо, ( — со)+( — оо) = — со, (+ ° ) (+ ) = ( — ) ( — ) =+ (+ со) ( — со) = ( — оо) (+ со) = — со. Но, например, операции (+ со)+ ( — со) или — уже не опреде+ со лены (см. также и.