kudryavtsev1a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 11

Итак, имеем, что для всех п = 1, 2, справедливы неравенства а„я=а=--~~Ь.. (2.18) ' ~ " -т и а а а авсьь ь ь ь Рне. 2 Отсюда следует, что каждая точка отрезка [а, Я содержится во всех отрезках системы л1: если а = х =: р, то для всех п = 1, 2, ... имеет место неравенство а„ ( х Ьл, т. е. х сн ен[а„Ь„). [ ) 3 а м е ч а н и е. При доказательстве теоремы 3 было показано, что каждая точка отрезка [а, Я принадлежит всем отрезкам системы зе и, следовательно, их пересечению, т. е. Я П['М л= ! (2.19) П [ал, Ь„1 с-[а, Я. л =- 1 (2.20) Из (2.19) и (2.20) следует, что П [ал, Ь„)=;сс, Я.

(2.21) л= ! Легко убедиться и в обратном включении. Если х ~ П [ал, Ь„1, тодля всех и=1, 2, ... имеем ал=х-=.Ьл. л= ! Поскольку число х ограничивает сверху множество 1а,), а а = = зпр (ал) является наименьшим среди всех таких чисел, то сс~х, Аналогично показывается, что х =- р.

Таким образом точка х принадлежит отрезку [сс, Я, т. е. э" 2. действ«тел»ив~в числа. Числовые множества Определение 9. Пусть задана система отрезков [а„, Ь„], а„~ е-:т«, Ь„я»с, п=1, 2, .... Будем говорить, что длина ܄— а отрезков этой системы стремьипся к нулю, если для каждого числа е)0 существует такой кольер п„что для всех номеров и.-. и, выполняетпся неравенство ܄— а„(е. В курсе элементарной математики вводится понятие предела последовательности. Сформулированное определение в терминах предела означает, что 1пп (܄— ал)=0. В нашем курсе пределу последовательности будет посвящен следующий параграф. Отметим, что термин «номер» является синонимом термина «натуральное число».

Индекс а у числа и, показывает, что это число зависит от задаваемого числа е ( О. Теорема 4. Для есякой системы [а„, Ь„], п=1, 2, ..., вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю, существует единственная точка $, принадлеж щая всем отрезким данной системы (см. рис. 7), причем $= зцр (а,) = ш1 (Ь„), (2.22) лак л«вн Доказательство. Пусть е)0 — произвольное, но фиксированное число. Из условия, что длины отрезков [а„, Ь ] стремятся к нулю следует, что существует такой номер п„что для всех и- п, выполняются неравенства ܄— а„( е. Поскольку из неравенства (2.18) следует, что [) — а~܄— а„ то 0~8 — а(а при любом е)0. Это возможно только в случае, когда а=)) (если бы р)а, то, например, при в=[1 — а)0 указанное неравенство превратилось бы в неверное утверждение р — а ( 8 — а). Таким образом, отрезок [а, р] ' в этом случае превращается в точку, которую обозначим через ~=а=().

В силу формулы (2.21) это и означает, что существует лишь единственная точка $, принадлежащая всем отрезкам [а„, Ь„], п=1, 2, .... Формула (2.22) следует из (2.15) и (2.17). [ ] Очень часто в различных доказательствах применяется следующая конструкция построения системы вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю. Берется отрезок [а, Ь] и точкой (а+Ь)/2 делится на два равных отрезка [а, (а+Ь))2] и [(а+Ь))2; Ь] длины (Ь вЂ” а))2.

Далее выбирается один из этих отрезков (какой именно зто зависит от условий конкретной задачи), обозначается через [а„ Ьт] и снова евсей средней точкой делится иа два равных отрезка, один нз которых обозначается [а„ Ь,] и т. д. В результате получается система вложенных отрез- Ь вЂ” и ков [а„, Ь„], и=1, 2, ..., с длинами ܄— а„= — „, Покажем, что эти длины стремятся к нулю. Действительно, для всякого е- О, согласно свойству АрхиЬ вЂ” и меда, найдется такое натуральное п„что пв-» —, но тогда и 2.тО. Принцип вложенныл отрезков для всех и==:и будет выполняться неравенство и) — и, сле- Ь вЂ” а Ь— довательно, неравенство — с, а. Замечая, что 2" = (1+ 1)" = 1+и+ — ""й:+...) и, 1 1 получаем — л( — для п=1', 2, .... Поэтому для всех п==п, н Ь вЂ” а Ь вЂ” а справедливо неравенство — „~ — (а.

Это и означает. стрем- ление к нулю длин отрезков 1а„, Ь„1 при возрастании и. Заметим, что принцип вложенных отрезков является свойст- вом, присущим именно множеству действительных чисел, Так, поле одних только рациональных чисел уже не обладает анало- гичным свойством. Например, если взять последовательности «рациональных отрезков» 11; 2], [1,4; 1 б), 11,41; 1,42], 11,414; 1,4151*1, т. е. последовательность множеств рациональных чисел, лежащих на отрезках, концы а„и Ь„, и= 1, 2, ...

которых суть значения 1'2, вычисленные соответственно с недостатком и с избытком с точ- ностью 1,110н, п= О, 1, 2, ...**', то, очевидно, не существует никакого рационального числа, принадлежащего всем этим отрез- кам. В самом деле, таким числом могло быть только число 1 '2 (почему?), которое, однако, не является рациональным ***1, Можно доказать и более точное утверждение. Назовем поле архимедовым, если для него выполняется свойство Архимеда, т. е. выполняется утверждение теоремы 2 из п.

2.9. Свойство упоря- доченного поля, состоящее в том, что каждое сечение этого поля определяется некоторым его элементом, назовем непрерывностью поля по Дедекинду (см. свойство ьг в п. 2.1), а свойство упоря- доченного поля, выражающееся в том, что каждая система его вложенных отрезков имеет непустое пересечение — непрерыв- ностью поля по Кантору.

Для архимедовых упорядоченных полей можно показать, что их непрерывность по Дедекинду, непрерывность по Кантору и существование конечной верхней грани у каждого непустого ограниченного сверху множества эквивалентны между собой, т. е. из любого из этих свойств, принятого за аксиому, выте- кают остальные два. Нами было показано, что из непрерывности по Дедекинду следует существование конечной верхней грани у ограниченного В случае, когда концы отрезка [а, Ь) записаны и ииде десятичной вроби, запятая между и и Ь заменяется точкой с запятой.

**' Это означает, что а„' ~ 2 ~ Ьз и Ь„ — а„ = 1!1Он, н = О, 1, 2, .... Доказательство иррациональности числа 1' 2, обычно проводимое в злементарной математике, воспроизведено ниже и п. 6.3. Э З.Предел последовательности сверху множества, откуда в свою очередь следует непрерывность по Кантору. Для того чтобы завершить доказательство указанной эквивалентности трех понятий непрерывности архимедовых полей, достаточно показать, что из непрерывности по Кантору следует непрерывность по Дедекинду.

Доказательство этого утверждения можно найти, например, в книге Л. Д. Кудрявцева «Математический анализа, том 1, М., 1973. Выше отмечалось (см. п. 2.4*), что все непрерывные по Дедекннду упорядоченные поля изоморфны между собой. Теперь мы видим, что всякое архимедово упорядоченное поле, обладающее одним из трех указанных свойств непрерывности, также изоморфпо множеству действительных чисел (при этом при наличии непрерывности по Дедекннду можно требование архимедовости поля отбросить: как было показано в п.

2.9, оно в этом случае всегда имеет место). В заключение обратим еще внимание на то, что утверждение, аналогичное теореме 3, оказывается уже неверным для числовых промежутков других типов, чем отрезки. Например, система вложенных интервалов (О, 17п), п=1, 2, .... каждый последующий интервал содержится в предыдущем, т. е. (О, —,~ с (О, — „), и = 1, 2, ..., имеет, как легко видеть, пустое пересечение.

задача н доказать с помощью сечений, что для любого числа а)0 н а любого натурального и существует корень у и 5 3. ПРКДКЛ ПОСЛКДОВАТКЛЬПОСТИ 33. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Прежде всего определим понятие числовой последовательности. Определение 1, Пусть каждому натуральному числу и поставлено в. соответствие некоторое действрипельное число а„(при этом разноси нагпуральным числам и могут оказаться поставленными в соответствие и одинаковые числа).

Совокупность элементов а„ь~, и = 1, 2, ..., называепгся числовой последовательностью, или проспю последовательностью; каждый элемент а„называется элементом (или членом) этой последовательности, а число и — его номером. Числовую последовательность с элементами а„будем обозначать либо а„, п=1, 2, ..., либо )а„). *' Здесь под элементом понимается пврн, состонщан нэ на|урального числа и совтветгтвующего ему при рассматриваемом соответствии действительного числа (нааываемого в дальнейшем значением данного элемента последовательности). Зль Определение предела последовотел»ности Г!о самому определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются по крайней мере своими номерами, которых бесконечно много. Счевидно, что числовая последовательность является частным случаем функции.

Именно, последовательность является функцией, апреселенной на множестсе натуральных чисел и принимающей значения е множестее действительных чисел, т. е. функцией вида Г: М-э-Л (см. и. 1,3*), Иногда в качестве номеров бывает удобно употреблять не все натуральные числа, а лишь некоторые из них.