Антидемидович 5 - ДУ (Антидемидович), страница 3

у., 267, 575 — 577 Штурма — Лиувилля задача, 170 —, собственные значения, 170 Предисловие Предлагаемая вниманию читателей книга по замыслу авторов призвана способствовать глубокому усвоению теории обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью подробно решенных нетривиальных примеров и задач. Своеобразие предмета теории дифференциальных уравнений — его обширность и тесная связь с теорией пределов, теорией функций, дифференциальным и интегральным исчислениями, теорией рядов и другими разделами математики — определяет соответствующую специфику ее метода. Суть этой специфики состоит в том, что метод теории дифференциальных уравнений есть метод математического анализа.

В связи с этим теорию дифференциюгьных уравнений не без оснований считают дальнейшим обобщением и развитием математического анализа на класс неявных функций, запанных уравнениями, содержащими независимую переменную, функцию и ее производные. Так, интегральное исчисление функции одной переменной фактически есть теория интегрирования в элементарных функциях простейшего класса дифференциальных уравнений вида у' = Г(х).

Пособие охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным уравнениям для университетов и технических вузов с углубленным изучением математики. Каждый параграф шпиги снабжен необходимым минимумом теоретических сведений, используемых при решении соответствующих примеров. Кроме того, в книге разобраны нетрадиционные для такого рода пособий примеры по теории продолжимости решения задачи Коши, нелинейным уравнениям в частных производных первого порядка, некоторым численным методам решения дифференциальных уравнений, на применение признаков существования предельных циклов на фазовой плоскости.

Кюкдая глава снабжена упражнениями дпя самостоятельной работы. Книга содержит порядка семисот подробно решенных примеров и задач, взятых из следующих учебников и сборников задач по дифференциальным уравнениям; Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1950; Поитрлгии Л. С.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1961; Эльсгальц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1998; Гудимгика Ф. С., Павлюк БА,, Вилкова В. О. Зб!рник задач з диференц!апьних р!внянь. К., 1972; Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике, т. И, 1958; Филиалов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.

М,, 1973; Гречко Л Г., Сугакав В Я., Гамасгвич О Ф., Фгдсрчгиха А М Сборник задач по теоретической физике. М., !972; Мартмигика В, С. Операционное исчисление. К., !968; Краснов М Л., Киселев А. И., Макаренко Г )Г Сборник задач по обыкновенным дифференциальнымым уравнениям.

М., 1978; Ляшко Б У., Боярчук О. Х., Гай Я. Г., Каладда О. Ф. Диференциальн! р1вняння. К,, 1981; Галавач Г. ГГ., Халайда О. Ф. Зб!рник задач з диференшшгьних та нпегральних р!внянь. К., 1997. Введение Основные понятия. Составление дифференциальных уравнений 1. Основные определещш.

Обыкновенным дифференциальным уравнением п-га порядка называется уравнение вида ! » (»)'! и'(х!у!у!у! "!у )=б! где гг — известная функция, заданная в некоторой области Р координат)юго пространства переменных х, у, у', ..., У("), х Е (хо, х,) — ар)умент, у, у', ..., у(ю — неизвестная функция и ее производные, о — порядок уравнения, Под решением уравнения (1) будем понимать любую функцию у = 2(х), х Е (хо, е,), которая: а) имеет и производных на интервале (хо, х,), причем Ухб (хо, х,) (х, ~(х), 2'(х)! ..., ~"'(х)) ЕВ; б) удовлетворяет уравнению (!), т, е. обращает его в тождество Р(х! У(х)! М'(х) .", У'")(х)) ы 0 уа' Е (хо! х(). Уравнение (1) называется праинтвгрираваннин, если найдены все его решения. Уравнение (1), разрешенное относительно старшей производной у("', называется каноническимм и имеет вид ( ) ( ! (»-и) (2) 2.

Задача Коши. Пуси функция )з(х, у, у' ..., У(" и) непрерывна в области В координатного пространства переменных х, у, у', ..., У(" ). Требуется найти интерщл Х, содержащий точку хо, и такую п- кратно непрерывно дифференцируемую функцию у = у(х), что (х, 1'(х), г'(х),..., 2'(" ')(х)) е В, когда х Е Х, и выполняются условия: 1) )гх Е Х гп (х) = 1)(х, г(х), г (х), ..., УЫ (х)); 2) 2(хо) = уз! У(хо) = уз! ' '! Уы (хо) = уз ! ( -И! где (хо! уо, уо, ", уо ) Е В. Формвьно задача Каши дяя уравнения (2) записывается в виде у(") = у((х! у', ..., У(" ')), где уо, уь, ..., Уо(" " — заданные числа. )хая(дое конкретное решение задачи (3) называется частным решением задачи «оши миаже (» — 1) Еньиишрвшвнивм, ство частных решений, зависящее от параметров хо, уо, уы "°, уо задачи Каши.

В едевве р(х, д, С„..., С„) = О, (4) где С, (1 = 1, и) — произвольные постоянные, принадлежащие некоторой области С, следует: 1) н раз продифференцировать равенство (4), считая у и раз непрерывно дифференцируемой функцией переменной х, т.е. дй дй, дзб дзф, д'Р р дф „ — + — у = О, + 2 — у'+ — у' + — у" = О, да ' дх' дхдр дуз (5) дай др — +...+ — р" =О.

дх" ду 2) Из соотношений (4) и (5) исключить произвольные постоянные Сп Сз, ..., С . Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий. 1. х'+ Су~ — 2у = О. м Пусть у = у(х) — непрерывно дифференцнруемое решение данного уравнения, где С— параметр, не зависящий от х. Тогда должно выполняться тождество Р(х, С) = х~+ Суз(х) — 2у(х) = О, (1) где х Е Х С Ж, Х вЂ” некоторое множество. Функция Р дифференцируема по х. Взяв производную, имеем дР(х, С) = 2х+ 2у(х)у'(х)С вЂ” 2у (а) м О, дх откуда С=" * (рр'МО). ур Подставив (2) в (1), получим дифференциальное уравнение (х — у)у — ху = О.

и (2) 2. Су — з!п Сх = О. < Аналогично проделанному выше получим тождество Су'(х) — С соз Сх = О. При С = О семейство кривых, для которых составляется дифференциальное уравнение, не определено, поэтому С ~ О. Из системы уравнений у~ =сги Сх, С д = а(п Сх находим 1- Р (2) Подставив (2) в (1), имеем 3. (т — СП + Сзу = 1. М Дважды диффеРенциРУЯ по х тождеспю (х — С,)з+ Сзуз(х) — 1 м О, полУчим: 2(х — С,) + 2Сзу(а)р'(х) м О, 1+ ((р'(х)) + р(х)р" (х)) С, м О. Исключив нз трех тождеств постоянные С~ и Сз, имеем р'р" +(р' +рр") = о. м 3.

Построение днффереацаальаого ураааеана по заданному семейству драных. Для того чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые заданного семейства Введение 4..у = ее*. ~ После дифференцирования по переменной х получим у'(х) = Сес*, откуда С = у- (у Ф 0). = у Таким образом, дифференциальное уравнение данного семейства имеет вид у=ет* ° . 5.

-Су -Су-с,=о. 2 < Трижды продифференцировав данное равенство по х, получаем: 1 — 2ууСг — Сгу = О, 2(у +уу )С!+ Сгу = О 2(Зуу + уу )Сг+ С!у г = О (1) Из последнего равенства (1) находим Сг у'е 2(З 'у" + у е) ( у + у (2) Подставив (2) во второе равенство (1), получаем у' у" — Зуу = О или Зув — у'ум = О, в силу того, что у' / О (это следует из первого равенства (1)). М Примечание. Во всех рассмотренных выше примерах мы предполагали, что существует производная требуемого порядка неявно заьч иной функции. Это предположение еушеетвенно, поскольку уже простейшее уравнение уг — х — С = О определяет бесконечное множество разрывных неявных функций у = у(х, С), -ео < х < +<и, например У= х Е 12 С й О.

— угС~-х~, хбй1Я, 6. Иаписать дифференциальное уравнение всех окружностей на плоскости. м Из курса аналитической геометрии известно, что каноническое уравнение окружности с центром в точке М(С„С2) и радиусом 22 = Сг имеет вид: (х — С!) +(у — Сг) — Сг = О. (1) Считая, по каждая окружность описывается двумя трижды непрерывно дифференцируемыми функциями у = у(х), нз (1) находим: гг х — С,+(у(х) — Сг)у(х) = О, 1фу (х)+(у(х) — Сг)у (х) = О, Зу'(х)у'(х)+(у — Сг)у'(х)— : О. Исключив из двух последних тождеств у(х) — Сг, окончательно получим: ум(1+у' ) — Зу'ув =О.

> Примечание. Точнее говоря, мы получили дифференциальное уравнение всех окружностей, в каждой из которых выколоты две точки, лежащие на концах горизонтальною диаметра. 7. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой у = 2х. < Согласно условию задачи, в предыдущем примере следует положить Сг = 1, Сг = 2С,. Тогда уравнение (1) из примера 6 примет внд (х — Сг) + (у — 2Сг) — 1 = О. Получили однопарамегрическое семейство окружностей.