Антидемидович 5 - ДУ (Антидемидович), страница 17

ху' — 5У вЂ” у' = *'. М Сначала заметим, что с!гениальное уравнение Риккати (2), п.6.1, после замен у = ф и х"+ = ! переходит в следующее: з(и Ь ! — — — + — и = — 1 (а Ф -2), (1) з(! а + 2 а «ь 2 а + 2 (и + (и+ ши = п(. (1') В исходном уравнении заменим аргумент, полагая х = !.

Тогда получим (переабозначив у через и): з(и 5 из ! — — — и — — = —. (2) г(! 2 2 2 Сравнивая (1) и (2), находим: а = -т, а = -5, Ь = 5. 8 ! 1 Таким образом, между исходным уравнением и специальным уравнением Рнккати установлена связь, причем, поскольку а = — 5 — — 3 — -2Г при 6 = — 2, та первое интегрируется в квадратурах 8 46 и его общий интеграл можно получйть методом преобразований, которые применялись вьппе.

Однако мы применим иной подход к интегрированию уравнений (1'). 167. у' — у'= 2х з. и В атом специальном уравнении Риккати 6 = — 2, следовательно, потребуется провести два обратных преобразования над ним. Из уравнений 6 а и+4 8 = -1; =2; а+3 ' а+3 а+3 5 следует, чта данное уравнение получено в результате преобразования уравнения !О 5 Уз+ Уз = 3 3 (1) $ б. Урааиевне Эйлера — Ригшати В последнем уравнении 1 = -у, поэтому оно приводится к уравнению аида (3): ! которое имеет общее решение и = Лсгс( — ь2с+ С).

Возврашаясь к переменным х и у, оконча- тельно имеем х2 е— 169. р'+зр+рз=х2. < По аналогии с решением уравнение к виду 2 3 2е+1 ш = х о!8(С вЂ” х). Ь предьщушего примера, посредством замены х = С приводим з д' с су + — у+ — = 2 2 2 Поскольку 1 = 2 > О, то к полученному уравнению применяем второй путь преобразований, 3 указанный в примере 168.

Имеем С, и и2 С д=-3+-; сй+ — + — =-. и' 2 2 2 Еше раз применяем укаэанное преобразование; е е' с 1е — — + — = —. 2 2 2 и=-1+-; е Последнее уравнение запишем в вгще Сушносгь метода состоит в следующем. Если впт Ф О и! ~ — ~У, то уравнение (1') можно преобразовать двумя путями: 1) применив подстановку и = —, где р = — „, получим с 1+! = р+т Се +(1+ 1)в+ не = и21; 2) подсшновкой и = О+ —, где о = — — „, приводим уравнение (1') к виду 1 1е +(! — 1)в+ па = шС.

Если ш = О или и = О, то уравнение (1') превращается в линейное уравнение или в уравнение Бернулли соответственно. Если 1 = -2, то его можно представить в виде ! -22'С вЂ” +т = и (3) после чего оно интегрируется в квадратурах. Отсюда следует, чго преобразования целесообразно проводить тем из указанных выше способов, коюрый приведет к уравнению (3). В принципе это возможно только в том случае, когда 1 = ы + 2, где ь2 — целое число.

1 Вданном примере! = — 2, т = — 2, и = 2, ы = — 3, поэтому выбираем первый пуп. Имеем 5 ! ! С, 3 е' С и= —; се — — е+ — = е — 3 2 2 2 В полученном уравнении 1 = -2, я2 = 2, и = — 2. Применив замену в = — +(, получим 3 ! ! с 1 1 2 С си2 — — ге — — м 2 2 2 Гл. 1. Дифференциальные уравиеивя первого порядка 170. Зхд' — 9д — д' = х з, и Полагая аз = 1, получаем з(д 9 д ! — — -д — — = —.

з(! 2 2 2 Поскольку ! = -2, то применяем цепочку преобразований: 9 7 ез !е — — в+ — = — —; 2 2 2' 3 к ! !к — — к+ — = — —; 2 2 2' м 2 2' ~,Р ! 2 2 г в= —; и+ 5* 5 !и — — из— 2 ! к = —; уз+ 1' Из последнею уравнения получаем г(з = Лгсгб(С вЂ” зг7) . Совершить переход к переменным х н д предлагаем читателю. > г(д 5 3 171. — + — д+ — д =х. х х и Произведя замену х = 1, получим: йд 5 3 з ! г — ч- — д+ — д = —.

Ф 2 2 2 Поскольку! = 2 > О„ю применяем второй путь преобразований, указанный в примере 168. 5 Имеем ез 3 2 2 ' Ю 2' кз 3 2 2 ! 5 д= е 3' е= — — 3; и з(е 3 ( — + — с+ зй 2 г(из а 3 г — + — +— гй 2 2 1 и/ = — — —; к 3' Записав последнее уравнение в виде г(к к ! — — — + гй 2 -Л вЂ” +2-2 и решии его, получаем к = т/3! с!!з(ъ%+ С). Обратный переход по цепочке вверх к переменным х и д не составляет трудностей. > 3, 1 172.

д'+ — у+ха = —. и Приведем уравнение к каноническому виду. Сначала посредством замены д = а(х)а до- бьемся того, чтобы коэффициент при ат был равен единице. Имеем Р з з за+ах+ — ах+ха л зи —, х х' откУла а(х) = а. ПоэтомУ из (1) следУет, что а'+ ад+ з = !. Далее, заменой з = и + Д(х) последнее уравнение преобргауем так, чтобы в нем огсугсчиовала искомая функция и в первой степени.

Имеем и + !3 + — (и + )3) + ит + 2и,д + )3' ве 1, откуда находим е = Лс!)г(Л+ С). Таким образом, общим решением исходного уравнения является хз д=-3+ х!Ь(х+ С) — 1 б 7. Уравиенив, не разрешенные отвосительио производной 73 Взяв )3(х) = — —, получим каноническое уравнение Эйлера — Риккати 1 и+и =1, которое имеет общее решение и = йз(х + С). Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет виа 1 / 1~ у = — ((й(х+ С) — -) . > х х) 5 7.

Уравнения, не разрешенные относительно производной (3) 7.3. Представление решения в параметрической форме. Разрешение неполных уравнений. Пусть для уравнения Р(х, у, у') = О существуют такие функции х = (в(и, е), у = у)(и, е), у' = д(и, е), что Р(р(и, в), р(и, е), д(и, э)) гв О относительно параметров и и е из некоторой области их задания. Тогда, используя соотношение Иу = у'Их, получаем ду) ду) /д(в др — Ии + — Йе = д(и, е) ( — Ии + — Ие), ди дп ' (,ди дп Ие — = 7(и, п). (4) Ии Если уравнение (4) имеет общее решение е = а(и, С), то общее решение исходного уравнения записывается в параметрической форме х=(р(и,а(и, С)), у=ту(и,а(и, С)).

(5) Неполные уравнения Р(х, д') = О и Р(у, у') = О приводятся к каааратурам, если их можно разрешить относительно х или у соответственно. Если, например, х = уз(у'), то вводим параметр р по формуле у' = р. Тогда х = р(р) и Иу = рйх = рту(р) Ир, откуда у = /р)з'(р) Ир+ С. Аналогично поступаем в случае, когда уравнение Р(у, у') = О можно разрешить относительно у. 7.1. Уравнение, не разрешенное относительно производной. Уравнение вида Р(х, у, у') = О, где Р— нзвестнач функция, называется уравнением, пе разрешенным ашпасаглеяько производной Если функция Р— многочлен степени и относительно производной, то уравнение Р = О пазыааегся уравнением первою порядка п -ад смелели и имеет вид к р рк(х, д)у = О, (1) к=с где р, — известные функции. Разрешив уравнение (1) относительно у', получим: у = Л(х у) (" = 1~ и). (2) Пусть уравнения (2) имеют общие интегралы )зк(х, у) = Св (й = 1, и). Тогда общим интегралом уравнения (1) будет (р,(х, д) — С,) ((в,(х, у) — Сз) ...

((в„(х, у) — С„) = О. 7.2. Общий интеграл уравнении Р(у') = й. Уравнение Р(у') = О имеет общий интеграл Р (~ — — ) = О, причем, если Р(д') = О на некоторых частях области определения функции Р, то отношение д — — будем считать произвольной функцией от х со значениями на зтнх же частях.

Гл. 1. Дифференциальные уравнения верного порядка Найти общие интегралы уравнений. 173. Уа — (Зх — 2у)у'+ 2х — ху — Зу = О. и Решая зто квадратное уравнение относительно производной, получаем два лнфференциальных уравнения первого поряака: у' = 2х — Зу и у' = х + у. Оба уравнения линейные, позтому их общие решения находим без труда: 2 2 у = Сзе + — х — — и у = С,с* — х — 1. 3 9 Общий интеграл исходного уравнения можно записа гь в виде (3)„п. 7.1: 2 2з зз (у — — х + -) е * — С,) ((д + х + 1)е — Сз) = О.

м 3 9) 174. Уо — (хз + ху + уз) д'+ хд(х + у) = О. м Уравнение допускает очевилное решение д' = х. Остальные решения находим из квадрат- 2 ного уравнения у' + ху' — (х + у)у = О: у=у и у=-х — у. Общие решения полученных дифференциальных уравнений соответственно имеют вид х у= — +Сз, У=Сзе*, У=Сзе * — х+1. 2 Общим интегралом исходного уравнения будет с з г-е— -с)(гг -с)Ь *-Пà — а)=о ° 2 175. у' нпх — (уз(па — соз'х)у' — (усох'х+ япх)у'+ уз(ох = О. и Очевидное решение д' = ни х позволяет найти другие два решения кубического уравнения: д' = у и у' = — — „„. Решив полученные дифференциальные уравнения, имеем 1 у = — сов х + Сз, д = Сзе, у = 1п ~сзя — ~ + Сз. 2 Следовательно, общий интеграл данного уравнения записывается в виде (у+ созх — С )(уе — Сз) ~д — 1п~сгб — ~ — Сз) = О.

> 2'1 Найти решения уравнений. 17зз хздР + х'уу'+ а = О а Решив уравнение относителыю д а У ауз зу вводим параметр р по формуле д' = р. Тогда из (1) следует, что а у = — — — х(з. (2) хзр Для выражения х через р воспользуемся равенством з(у = рак. Дифференцируя (2) и принимая во внимание указанное равенспю, получаем: 2а а рах = — з(х+ г(р — х з(р — рг(г, х'р хзрз 75 й 7. Уравнения, ве разрешенные отиосителыю производной откуда ( — — 2р) йх+ ( — — х) Нр= О, или ( — — х) (Йр+ — йх) = О.

Очевидно, последнее уравнение имеет решения х = э/ат и х = ч-~. Подставив их в (2), С Р Л~~' находим у = -2ээграэ и у = — — ьт ькп р- стэй(. получили все решения в параметрической форме. С Исключив параметр р, получаем эти же решения в явном виде: 4о а с х= — и д= — +-.М э с х 177. 9уу' +4хэд' — 4хэу = О, и Полагая у' = р и разрешая уравнение относительно у, получаем: 4х'р У= 4хэ — 9рэ Яифференнируя (1) и принимая во внимание равенство йу = р э(х, находим: (12 4р 27хэрэ я ~) э( ° + (4 5+9рэ 1) йр раз — 4 (4х' — 9рэ)э или 9р' э(х = 4хэ э(р (считаем, что 4Х'+9р' и' О), Из последнего уравнения следует, что 4х'-9р = = 4СХ'рэ, поэтому из (!) окончательно получаем: 9 у' = Сх'+ — С'. > 4 178. д' — ху'у' — у' = О. м В данном случае уравнение удобно разрешить относительно х: ,2 У У х = — — —.

У У Полагая в (1) у' = р и продифференцировав полученное, имеем Ну 2рг(р 4рээ(у Иу у Йр Р У~ У Р Р Из этого уравнения находим: э) дэ р = Су и р ы -д)1 —. (г' 2 Подставим значения у' = р в (1). Получим 2 э'э 1ээ э х=С вЂ” — и а=~Л+-Э вЂ” (у э.м Су ) эГ4)) 179. х = у'ьэп у'. < Уравнение разрешено относигельно х, поэтому можно ввести параметр р = у'.