Антидемидович 5 - ДУ (Антидемидович), страница 16

Интегрирующий множитель исходного уравнения ищем из соотношения $5. Уравнения в полных дифферевииалах. Иитегрирующвй мналгвтель 65 Следовательно, 1 )г~(а) = —, тга' х 1 Мх,у)=, = (2х>у). ьг2х" — х'у,г 2х — у Заметим, что для 2х < у аналогично можно найти р(х, у) = — г —. ! т~у — 2х ' В обоих случаях после интегрирования уравнения в полных дифференциалах и упрощений получаем стает (2х — у)(х — у ) = С.

м 157. х их + (ху — у') ву = о. и Пслесообразна записать уравнение в форме хох+ха — — о — = О 2 и положить 2- = и. То~да получим хая+ (х — 2и)ои = О. Уравнение для интегрирующего множителя этого уравнения имеет вид: ( Вы Вх~ йм (х — 2и) — — х — ) — = — р. Вх Ви,) В„ г (й( г х — 21 Ф(х, и) = / + / — а( = салаг. ~/Щ Дх=(! Паоле интегрирования и перехода к переменным х и у, общий интеграл исходного уравнения примет вил зяп (2х — у') ф2х — у'$ (х+ у ) = С, или (2х — у ) (х+ у ) = С. и 158. Уз Вх + 2(х' — ху') йу = О. < Для кажлого из уравнений у йх — 2ху ау=о; 2х ау= О находим рч — — — г, и~ = -тт' рг = — г, ит = у.

1 х. 1 ху у х Следовательно, интегрирующий множитель лля исходного уравнения удовлетворяет соотно- шению 1 1 И = з 'Ри(„т) = з Рз(У). Если взять )зг(у) = у ', то получим, чта уь (а) = а '. Таким образом, р(х, у) = у- и х у — ох+ 2 ~- — -~ йу = О ут г1 уХ х' ~у д Если взять ы = х — и, та отсюда получим уравнение 2игр'+ р = О. Следовательно, р = )э~ 1 = г = ()х — и!) Г. Поэтому левая часть уравнения хах х — 2и + Ии = О Дх — ~4 Дх — и~ является полным лифференииалом некоторой функпии Ф.

Выбирая хе и' О, ие — — О, получим общий интеграл уравнения в виде Гл. 1. Дврфереиавшивые ураввеиия вервего порядка — уравнение в полных дифференциалах. Записав его общий интеграл в виде Ф(х, у) = / — +2/ <- — — ) «1 =согиг, l Ь х./ получим общее решение з у =Сез.м г 159. (у-х)«у+у«х-х«1-'1=О. з,у/ х/ хх з( х х) я е р ~ 1 — — ) «х + 1 1 — — + — ~ е з «у = О.

у у у Интегрируя, получаем: з 3 е з (1 — — 1 «г+ / «1 = салаг (Уз зе О), уз ( о Ю у + у — х = Суе з, или е з=С.и у'+у — х 1чкР (бхуз+ хз) «У У(ЗУз х)«х О М Поскольку уравнение бху «у — Зу «х = О имеет з и интеграл и~ —— х, а уравнение х г(у+ ху«х = О— з и интеграл и, = ху, та, согласно методу разбиения на неладного уравнения ищем в виде интегрирующий множитель р, = — т 1 уху интецзирузощий множитель )зз — — — з— 1 х у две части, интегрирующий множитель 1 з 1 р = —, узз <У«-) = — хз(ху), х !У з, з з откУда находим т)зз <Ух ) = Рз(хр).

ПолагаЯ Узз ш у, полУчаем Узз <У вЂ” ) = лх-. Следовательно, 1 Зу (х) р = — з —. Умножив данное уравнение на р(х, у), получи~ уравнение в полных дифференциалах 1 ху < 3 — — — «х — < 6- + -~ «у = О. Его общий интеграл запишем в вице Ф(х, у) = ~ ~ — — -) «( — ~ (6 — + -) «Г = сопзз. з з Вычислив интегралы, окончательно получим з~ е з ух = С.

м ~ Для уравнения (у — х) «у+ у «х = О интегрирующим множителем является функция р, = = у, а интегралам — и, = уез. Для уравнения х«< — 1 = О интегрирующим множителем <У/ является функпия рз = —, а интегралом — из = —. В соответствии с методом разбиения имеем 1 х х' У' 1 я 1 Р= —,Р <Уе ) = — Рз®. Если положим рз(а) = а, та отсюда получим„что — ее = уззз — ). Следовательно, р = — ее есть 1 У (у/ У интегрирующий множизтль для даннага уравнения, которое после умножения на,и принимает вид $ б. Уравнение Эйлера — Рвкиати $6.

Уравнение Эйлера — Риккати б7 6.1, Уравнение Эйлера — Риккитн. Специальное уравнение Рнккати. Уравнение вида — = Р(х! + ('„2(х)у+ Я(х)у йу г (1) дх называется уравнением Эйлера — Риккагни. Если положить Р(х) = 6х', ('„2(х) ш О, В(х) = -а, где а, 6, и — постоянные, то уравнение (1) примет вид — +ау = Ьх'. Юу (2) йх Оно называется снециальныи уравнением Риккати. Уравнение Эйлера — Риккати, вообще говоря, не интегрируется в квадратурах. Даже специальное уравнение Риккати приводится к квадратурам 4й 4й только в том случае, когда а = х) — -~~, где й — целое илн со. Если равенсг.во а = -!à — 2й выполняется при й > О, то в (2) делаем замену у = — г + — „, приводящую (2) к внлу 1 Фи аи2, 2 — + — = Ьх'~~, йх х' Полагая далее и = —, имеем 1 ««2 г — +Ьх е =ах Фх Наконец, после замены х'ю = г приходим к уравнению йи Ь, а — + — е = — х .~з, йз а+3 о+3 Эти преобразования проводим до тех пор, пока не получим уравнение с разделяющимися переменными.

Если равенство а = 3--2у выполняется при й ( О, то указанные преобразования следует 4й проводить в обратном порядке. 6.2. 2(аноническое уравнение Эйлера — Риккати. Уравнение и = хи + ге(х) (3) называется каноническим уравнением Эйлера — Риккати. Если в (!) функция Я дважды дифференцируема, то с помощью замен у =а(х)г, х = и+))(х) (4) уравнение (1) приводится к каноническому виду. Иногда форма (3) позволяет сравнительно легко установить частное решение уравнения (1). Если у,(х) — частное решение уравнения (1), то заменой у = у, + — уравнение Эйлера— 1 Риккати приводится к линейному.

Путем подбора частного решения решить уравнения. 161. х'у'+ху+ агу = 4. а Ищем частное решение в виде у,(х) = х, где а = сопя!. Подставив его в данное уравнение, получаем -а+а+а =4 откуда а = х2. Пусть а = 2. Тогда, произведя замену у = у + г, имеем линейное уравнение 2 1 г г г х х — 5хв — х =О, Интегрируя его, нахслим х = Схг — х. Следовательно, 2 4 у= — + Сх' — х 68 Гл. 1.

Дифференциальные уравиевшз первого порядка есть общее решение исходного уравнения. Частное решение уз — — — палУчается отсюда при 2 С=ос. и 162. ху' — (2х+ 1)у+ у = — хз. м частное решение у,(х) ишем в виде у,(х) = ах+ ь. подсзввив его в уравнение, получаем тождество относительно х: ах — (2х+!)(ах+Ь)+(ах+Ь) и -х, из которого следует, что 2аЬ вЂ” 2Ь = О; а = !; -Ь+ Ь = О.

Возможны два решения последней системы уравнезлллй: а = Ь = 1 или а = 1, Ь = О. Пусть а = 1, Ь = О. Тогда у,(х) = х есть частное решение. Производя замену у = х+ у, получаем линейное уравнение ! 2 х ! — — ~ — (2х+1) ~х+ — ) + ~х+ — ) = — х, 2 Л 2 или хз'+ 2 — ! = О. Интегрируя его, находим х = 1+ —, вследствие чего х у=я+ —.

и а+С 163. Выразить общее решение уравнения Эйлера — Риккати через три различных его решения. М Если известно одно частное решение уравнения Эйлера — Риккати У1(х), то его общее решение имеет вид 1 У = У1 (х) 4 2(х)' где 2(х) — общее решение соответствующего линейного уравнения первого порядка. Так как обшее решение последнего выражается через две функции, т.е. 2(х) = а(х) + С!)(х), то общее решение уравнения Эйлера †Рикка представляется в виде 1 + (1) Пусть уз(х), уз(х) — частные решения рассматриваемого уравнения.

Тогда из (1) следует, что 1 1 УЗ = Уз + , ~ Уз = Уз + (2) а+ Сззу' а+ СЗ)у' где Сз, СЗ вЂ” постоянные, соответствующие частным решениям уз(х) и уз(х) (Сз и' СЗ). Разрешив систему уравнений (2) относительно а и )У и подставив их значения в (!), получим У2(уз у!) + СУ1(уз У2) У= Уз Уз + С(уз Уз) где С = С вЂ” -~- — произвольная постоянная, и С вЂ” С 1 2 Решить уравнения. 164. у'+у'= 2х '. м Это специальное уравнение Риккати. Так как а = -4, то Ь = 1 — целое. Следовательно, его можно привести к квадратурам.

Произведем замену и 1 у= — + — (а = !). х Тогда получим уравнение и'х' + вз = 2. Разделяя переменные и интегрируя, находим: $ б. Уравнение Эйлера — Риккати Окончательно имеем ~/2+ а(ху — 1) зщ е* =С.> уг2 + х(! — ху) 2(о и 2 — — — =2х 3. 2(х х з Произведя замены и = —, х з = з, снова имеем специальное уравнение Риккати 2(е 10, 5 з — + — Е = — — 2 3. бх 3 3 Выполняя эти же замены повторно, получаем: 2(вз 2 — — 5е, = 102, 022 ГДЕ2, =ХЗ, Е= ! ЕЗ2 к уравнению + !б-. Применение проведенньгх преобразований еще раз приволит 3 2(вз 2 — — 10ез = 5, без 3 —. Решая последнее уравнение, находим 1 ! ГДЕ З, = 2,, Е, = — т— 6222 ! ез = — !д (5уг222 + С) .

222 Возвращаясь к переменным х и у, окончательно получаем: 2 ъ22 (х 3 — 0,3хЗ) с!а ~52222х з + С) + 0,3хз — 1,2 — ! у=х ) ~ ) . м 0,32/2х з сзб (5 222х з + С) — 0,06х з + 1 166. у' + у' = х М Здесь а, = — Т, слеДовательно, й = — 1. Рассматриваем данное уравнение как такое, 4 которое получено в результате проделанных в прелыдущих примерах преобразований. Таким образом, можем написать (см.

п. 6.1): Ь а =1; — =1; а+3 ' а+3 Из этих равенств следует, что и = О, а = Ь = 3. Теперь видим, что в уравнении у'+3У'=3 а+4 4 а+3 3 были проведены замены по формулам и 1 У 2+ в результще чего получилось уравнение з и= —, х=я, е (2) т.е. исходное уравнение, 165. у' — у'=2х з и Это также специальное уравнение Риккати.

Так как Ь = 3, то в данном случае придется провести указанные в и. 6.1 преобразования трижды. Итак, полагая у = — г — —, получаем я 1 Гл. 1. дззффереиииазишме уравнения нерва!в иоряака 70 Решая уравнение (1), получаем з (") е(Зхэ+хз) +3 +У -ы -6 Ьг 1-! ! е =С. у ,(,5. 3 з)+3 Поскольку в исходном уравнении через у обозначена функция, а через х — аргумент, то епз общим интегралом будет з Зхз +3 ) ... е =С.м Зху)+3 у(хз + у(хз— з по формулам у! = — т + Тб —, и = —, х, = х.

В свою очередь, смотрим на уравнение (1) как на и 3 ! з х, хз ' такое,которое получено в результате преобразования уравнения — — 5уз = 10 з(уз 2 (2) дхз посредством замен уз = — г — 5 —, е = —, хз = хз. е 1 ! хз' уз' Решив уравнение (2), получаем Уз = зз2 !8 (5зг2хз + С) . Возвращаясь к переменным х и у, окончателыю имеем з г ухз (50хз — 31 — 10 = !8(5з/2хз + с) . и 5зг2х ! (!О+ Зуз) 1б8.