Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (Рихтмайер - Принципы современной математической физики), страница 4

а(Ьи) =-(аЬ) и; 4. а(и+ч)=-аи+ач, (а+Ь) и=аи+Ьи; б. Имеется единственный нулевой вектор О, такой, что и+О=-и для всех и; 6, 1и=и, Оп=О. Обычно ( — 1) и записывают как — и, а и+( — 1) ч — как и — и; кроме того, часто пишут О вместо О, например, и — и= — О. В ко- нечномерном случае далее предполагается, что в 1г найдется и (но не и+1) линейно независимых векторов; если в таком про- странстве 1г выбрать базис, то оно будет в точности эквивалентно описанному выше пространству )га. Упилжннния 1. Покажите, кто и — и=О длн всех и. 2, Покажите, кто единственность нулевого вектора 0 следует нз других аксиом, т. е, если и+О,==в н н ' От =и длн всех н, то От=Ох.

3. Докажите, нто при заданных и и та уравнение н+т =в нмеет единст. веапос реюение ч=в+( — 1) и, Липенпое пространство У называется норм!лрованнылг, если для любого и из )г определено вещественное число (!и)'„ назы- ваемое нормой вектора и, так, что 7. 11 и () ) О п ри и че О; 8. 100-О' 9. )) аи)) = ) а ) )) и )); !О. 1и+ч1 ))и1+Цч))г с В пространстве )га в качестве нормы 1и~ берется обычно длш!а а вектора и: ~ и)з =- ~„) и )з. 1=1 Уппджненин 4. Покажите, что аксиома б линейного пространства может быть полузеиа из других аксном (вклюнан аксиомы нормы).

Указание. Доказывайте последо- вательно, что длн любого и 0 и=О, н — и =О, 1-н — и=о, 1.н= н. С другой стороны, если оставить аксиому 0 н=-О, то аксиому 8, 1)01=-0, мох!но ову- ствть, Т.л, Ральберяова нроанраяслео !.3. ГИЛЬЕЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО: АксиОмы и элементаэные следстВия 0 ='(и+ао, и+ао) =(и, и)+(и, ао)+(ао, и)+(ао, ао); поскольку (ао, и) комплексно сопряженно к (и, ао), то — 2 Ке (и, ао) ()) и ~'+ ! а Г 1 о ~'. Возьмем 1и, е)(и)) 1(и, о) 1() о)) ' (1.3.1) тогда из (1.3.1) с учетом равенства (и, ао)=а(и, о) получим 2 ( (и, о) ! ) " ~~ ( 2 ) и )!', Гильбертово пространство Н (вещественное или комплексное)— это полное пространство со скалярным произведением.

Это означает, во-первых, что Н вЂ” линейное пространство, определенное как в предыдущем параграфе; во-вторых, что для всех и н о из Н определено скалярное произведение (и, о) — функция со значениями в поле скаляров г= Й или В, которая линейна по о и эрмитово симметрична ((и, о) =(о, и)), а значит, полулинейна по и, причем соответствующая квадратичнан форма положительно определенна: (и, и))0 для всех и и (и, и)=0 лишь при и=О; в-третьих, что Н пблно относительно нормы)и(= = (и, и)'~', т. е. любая последовательность Коши имеет предел в Н. Важность полноты для квантовой механики обсуждается в гл.

14, В определении гильбертова пространства не требуется, чтобы оно было бесконечномерным, хотя это обычйо предполагается, если только не оговорено противное. Вопрос о размерности обсуждается в З 1.5. Веи)ественное гильбертово пространство — просто бесконечно- мерный аналог обычного и-мерного евклидова пространства; скалярное произведение (и, о) (которое здесь симметрично, (и, о) = = (о, и), и линейно по каждому сомножителю) — аналог скалярного произведения и т.

В комплексном случае (и, о) аналогично эрмитову скалярному произведению я~р~итог. Положительная определенность нормы и равенство !)аи))= )а))~и)~ следуют непосредственно из свойств скалярного произведения и определения нормы, 1и))= (и, и)'Ы. Докажем теперь неравенство треугольника. Для любого числа а и любых и и о из Н имеем Гл. 1. Гильбертова простпаысгыап 18 это неравенство Шварца (которое в русском литературе называют неравенствога Бум анапского).

Отсюда следует непрерывность скаляре ного произведения по .каждому сомножителю. В самом деле, если о„- о (т.е.если)о„— о1- 0), то $(и,о„— о)$(фи11о„— оД ". 0; следовательно, (и, о„)- (и, о). Наконец, (и + о, и+ о) = ~1 и 1а+ 2йе (и, о) + (1 о 1в ( «, '1 и 1в + 2 ! (а, О) ( + '1 О 1а ( ( )/ и 1" + 2 ~ и)'1 о 1+ /! о,' = (1! сс 1+ 1~ о 1) в, а отсюда следует неравенство птреуголоника '1и+ о1(1и1+')о(. (1.3.3) Упрджн ем и в 1. Доканснее непрерывность скалярного произведения по обоим сомножн телам одновременно: если н» вЂ” е и и с» — е о, то (и„, о„) е (и, о).

Указание. донажите сначала, что 1иы( — е 1о1 и 1оя( — е)од Напоминание. Функция Г(х, у) может быть непрерывной по каждому аргументу в отдельности (т. е. непрерывной по х при каждом фиксированном у и по у при каждом фиксированном х), но не быть непрерывной по совокупности переменных. Например, функция Г (х, У) = ху/(хе+уз) при х'+у' Ф О, 0 , )=( при х=у=О непрерывна в точке (О, 0) и по х, и по у в отдельности, но не сов. местно, что можно увидеть, устремляя х и у к нулю по прямой, проходяшей под углом 45' к осн х. Можно получить две другие формы неравенства треугольника. Зля этого заменим в (1.3.3) о на ш — и, а потом поменяем местами со и и. После переименования переменных окончательный результат можно представить в следуюшем виде: 6и+о1 Ци1 — Ц о11( или < Д и1+Поф. (и — о'1 (1.3.4) которое называют правилолс параллелограмма.

Так как и, о, и+ о, и — о принадлежат двумерному подпространству, неравенства треугольника и правило параллелограмма выражают элементар. иые теоремы евклидовой геометрии на плоскости, Из определения нормы через скалярное произведение полу. чаем тождество 3 +о)*+~!и — 1=2!!а1к+П Р, (1.3.о) 54, Примеры еплвберлзввык лрасгпранегла Замечание. Банахово пространство В (см. гл. 15) — зто полное нормированное линейное пространство, однако его норма ие обязательно поролсдается скалярным произведением. Йордан н фон Нейман [1935) доказали, что если для всех и и и из В выполняется правило параллелограмма, то можно определить скалярное произведение так, что В станет гильбертовым пространством.

В атом случае скалярное произведение определяется через норму посредством так называемой процедуры поляризации: (и, и) = (1/4),~~ ссДсси+ пДз. (1.3.6) < =ьс-и-и Это равенство легко доказать, если известно, что скалярное произведение существует; труднее, однако, доказать, что равенство (1.3.6) определяет скалярное произведение со всеми его свойствами. (Равенство (1,3.6) обобщается в 3 1.11.) Имеется много банаховых пространств, для которых правило параллелограмма неверно. Рассмотрим, например, пространство д.'(зс), состоящее из всех функций (точнее, распределений) ~(х) такик, что ~ Д»(х)(г(х=ДГД(пп; если Г(х) и л(х) — непрерывные функции с непересекающимися носителями (т.

е. для любого х либо Г'(х) =О, либо д(х) =0), то ясно, что Д) ~дД= ~ $~(х)(с(х+ ) $д(х)(г(х=Д~Д+ДуД, Ф так что Д~+ Д+Д~ — ~Д =2С~П+Ы* и, следовательно, (1.3.5) не выполняется. И вообще так называемая Е~-норма функции или распределения 1 на Й определяется ! Ив для р) 1 как () (Г(х))ддх), но лишь для р=2 можно определить скалярное пронзведейие так, что ЦД=(Г', )» Уппджнпнив 2. Г!роверьте тождество (!.3.6), предполагая, чтп скалярное произведение стпгествует. ем.

ПРИМЕРЫ ГИЛЬЕЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Пространства 1в(а, Ь», 1.в(йа) и т. д. квадратично интегрируемых функций (вернее, распределений), которые рассматриваются в гл. 5, являются гильбертовыми пространствами. Для зтих пространств скалярное произведение задается формулами типа ь (1, д) = ~ 1'(х) д(х) г(х а ЛХ Кароияальпья чзсло.

Сепаробельнозшь. Размеряоппь 2! УпРАжнение 2. Ззвершиге это доказательство, понизив, что Ч=(уп) принадлежит Л я (Ч вЂ” 5Ч1 — «О при / » ю, г. е. что Ч~ — + Ч в пространстве Л. Указание. Сначала покажите, что сходится (и, следовательно, является огрзничеяной числовой последовательностью) Д $~11). Замечание. Интуитивно может показаться, что эти гильбертовы пространства в каком.то смысле являются пространствами разных размеров а именно что Д имеет какую-то меньшую бесконечную размерность, чем Еэ(а, Ь), а !з(а, Ь) — пространство меньшей размерности, чем (.з(Кк). Мы увидим, что это не так: эти пространства — просто разные представления одного и того же абстрактного гильбертова пространства и изометрически изоморфны друг другу.

Последнее означает, что между всеми элементами этих трех пространств существуют взаимно однозначные соответствия, сохраняющие все свойства (скалярное произведение, норму и т: д.). 1Л. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. СЕЛАРАВЕЛЬНОСТЬ. РАЗМЕРНОСТЬ Кардинальное число (конечное или трансфинитное) множества (ионечного или бесконечного) указывает, сколько элементов содержит зто множество.

Если имеется взаимно однозначное соответствие А+-~В между элементами множеств А и В, то говорят, что этн множества имеют одно и то же кардинальное число, и пишут так: А =В. Если Л вЂ” конечное множество из а элементов,. то Л = п. Трансфинитные кардинальные числа определяются присвоением имен (символов) кардинальным числам конкретных бесконечных множеств, а тем самым и других множеств с тем же самым кардинальным числом. Например, если имеется взаимно однозначное соответствие А«-+(1, 2, ...) между элементами А н множества всех положительных целых чисел, множество А — нет называют счетно бесконечным и пишут А = зте («алеф нульэ).

Элементы такого множества можно выстроить в последовательность. Примзры Дножестио (О, 1, -1, 2, — 2...,) всех целых чисел; множество положительных четных целых чисел (2, 4, 6, ...), множество (2, 3, 5, ...) всех простык целых чисел нвляются счетно бесионечными. Утверждение. Счетное объединение счетных множеств счетно. (Замечание: слово «счетное» означает конечное или счетно бесконечное, однако утверждение нетривиально только для случая бесконечного числа бесконечных множеств.1 Чтобы доказать это утверждение, запишем последовательно элементы каждого мно- Гл.

7. Гильбгра!ааы аространгмаа 22 жества по горизонталям, а полученные последовательности по вертикали сверху вниз. Тогда взаимно однозначное соответ. стане с элементами множества (1, 2, 3,,. ) устанавливается путем перечисления элементов следующим образом: 1 24 7... 3 5 8 6 9 10 и т.д. (1.5.1) Именно так доказывается счетность множества рациональных чисел: ! ! 1 2 3 4 2 2 2 2 3 4 3 3 3 2 3 4 1 2 1 3 1 УПРАЖНЕНИЕ !. Локажите, что подмножество счетного множества счетно.

Этот принцип неящю используется в предыдущем примере, потому 'по данное там перечисле- 2 1 иие рациональных чисел содериснт много повторений, таких, как — для 4 2' 2 3 илн — и — для 1, а их нужно исключить перед тем, как устанавливать 2 3 взаимно однозначное соответствие между рациональными и положительными целыми числами. В теории функциональных пространств играет важную роль счетное множество всех полиномов от п переменных 'с рациональными коэффициентами: для каждого Л! множество всех полиномов р(х!...,, ха) степени = Л! и с коэффициентами вила г/а, гле (г)м..Лг, а 1 ° .з(Лг, является конечным, поэтому объединение всех таких множеств счетно, Хорошо известно, по множество всех вещественных чисел отрезка (О, 11 несчетно.