Некоторые вопросы теории сплайнов и приложения

Московский ГЬсударственный Университет имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики На нравах рукописи НИКОЛАЙ ВЛАДИМИРОВИЧ МЕДВЕДЕВ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ СПЛАЙНОВ И ПРИЛОЖЕНИЯ ( 0).008-вычислительная математика ] А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата.

физико - математических наук (автореферат написан нз русском языке) Москве Ю73 Работа вмповиеиа иа кафедре вмчисввтеиькой математика Московского государствевиого увиверситета имеви М.В.Ломоносова Научиме руководители: - каидвдат фивико-математических паук, доцеит А Д.ГОРВУНОВ - кандидат физико-математических паук, Дсцевт В.А .МО1ОНОВ Офвциальвые оппоиевтн:- доктор фяэию-математических ваук В.Я.АРСЕНИН - каадвдат физико-иатематических наук Ведуиая оргааиеацяя: Ивстятут математика в механики АН СССР г.Сверчковом. Автореферат равослвв " 1973 г Запита диссертация состоятса " 1973 г. ва заоедааии Учекого Совета фекувьтета вмчисвитевьясй математики и кяберветикя МРУ.

Отвывм по давиой работе ( в двух акееяпкярех) просим напрев вать по адресу: Мосвва, 117234, Леыявскве горы, МГУ, Учеимй Сове~ факувьтета вичислительной иатеиатвкя и кяберветякк. С диссертацией мовво озыакоиятьса в читальном ваке факуль'- тета. УЧЕНИИ СЕЕУИТАРЬ СОВЕТА факультета вмчисвитевьвой иатематики в киберветвкв д.ф.м.в. (Н.Н ЕУВНННОВ) старым вопросам теорыи кусочно-полириловюниям. блнжения, илв, как их теперь назычах являются более естественным апочлены и имеют ряд преимуществ перед лижениями, в частности, при решении числительных машинах. К иим относят- ся практически важные задачи интерполирования и сглаживания Функ- цый, численного дибзреренцировайия и численного интегрирования, а такке численного решения динйеренциальных и интегральных уравненяй.

Широкое распрост1внение сплаййы получилы и как промежуточный аппарат в различных математических исследованиях. диссертация состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются кубические стохастнческие сплайны. ' Исследованы стохастические изтерполяционные сплайны третьего порядка и ыекоторые их свойства, а именно: пусть на некоторрм вероятностном пространстве У=(й,б,Р~ [1) задана система случайных величин ь(и (а)), 1с =О ,..., К , удовлетворяющах условиям Ци„(М)-Я[ц (оу)~~=бкнб~ где Е Я вЂ” знак математического ожидания, а б> Π— числовой па|вметр.

Шреруется построить случайаую Функцию М(оз>Х), непрерывную (в смысле среднего квадратического) воете со своими производныыи первого и второго порядков ы удовлетворявшую соотношеняям МЯХа)=МЯЛ),ж о,...,Х. Случайная Функция Я(ЩХ), удовлетворяющая перечисленным выше условиям, в работе названа стохастическим ивтерполяционинм сплайном третьего порядка. Если систему случайных величин Ыя(со),Ы~„.,Фрассматривать венстза для дисперсий интерзоляцяонных сплайнов (теорею 1.3). для любой дзаиды непрерывно диФФеренцируемой гильбертовой случайной Функции И(сю,х)юИ, удовлетворяющей условиям ол( )4Щзь ц~е Й - знак дисперсии, а Функции уц)( ( ю 0,1,д) неотрвцательвы и такие, что Ьц фФу)=О, имеют место предельные соотвомевв~ 6~0 (теорема 1.4) С0л вах Е [и(в,д)-и(л,а,д3 = Ьм аад Е ~4ф"-~-~ф-"Я= лн о озхи й,н О Озне~ Полученные предельные соотнонензн для случайных Функций паазм- вьют, что известные свойства сходимости для детермннирювавимх нвтерполяцнонных сплайноз (и] сохраняются н для стохастическнх нвтерполяционных сплайноз.

пусть и и(ыз,д) - дзвиды непрерывно диФФеренпнруемм случайваи Функция н Ил(сз) - ее значения з узлах сетки (Хф Если через3,~ч обозначить мвокестзо всех дзавды непрерывно днФФереицвруемых анз'- чайвых Функций, совпадающих с Иа(оу) за сетзв (Ха~, то имеет юето сзойствс минимальности для стохастическото иатерпоияциоввоюз сплайна (теорема 1.5): Исследованы обобщенные стохастические сплайны третьето порндив н нх применение к обработке экспершментальной инФормацвн. Следуя работе В.А.'морозова [3) задачу обобщенного стохастического интерполирования можно сФормулировать так: найти Функцию с((,Х)Е~» удовлетворяющую условиям: 1 ~р ~бам(оэ,х)ф ~Е~бэйбо,х)~й~ ~~Ц" гдеЦ~=~Ы(мХ)аЦйс: Е~И(~о Хя) чйо Хмфб ~, а ч(озХ)- Фиксированная непрерывная Функция, заданная на [0,1~ж9; Це - класс дважды непрерывно дыФФеренцнруемых случайных Функций.

доказано существо- ванне решений задачи обобщенного стохастического инте)полирования (теорема 1.7) ы установлеыа внутренняя структура этих решений (теорема 1.6). Устанавлываетсн возможность применения решенвй эа- дачи обобщенного стохастического интерполирования к обработке эксл пернментальной инФормацнн (теорем 1.9): доказано, что если У(Х)- -Фиксированная дважды непрерывно диФФеренцыруемая детерминированная Функция в Цы(оэ,Х) - ее б- прнблняенне, т.е., яехх Е ~~АОО"це(оз хфб, то решение А(~,а(сб>х) задачи обобценноочхц го стохастнческого ннте1аолвровання при 'т(га,Х)=Ыш(хя,Х) удовлетворяет предельным соотыоненням (2), если в этих соотвоненнях заменять ь((сюх) на ьг(к) и СГ(й,а,х)- на Йы,а(оэ,х) Во второй главе рассматриваются полнномнальные обобщенные сплайны и некоторые их прнлокення.

Изучается детермнннрованная задача обобщенного интерполирования: необходимо определить Функцию ((к(Х)еЦа, зависящую от па1аметра Т, которая удовлетворвт соотвоневню ь~ (щ 3[И1 ю 3 [мш), где Л [А4 ййлА3ьа, 1. - оператор обобщенного днФФереыцнровення порядкайв2, а ця~ - кхасс тц раз непрермвыо дифферепцируемых функций, заданных ва отрезке (0,1) в удозлштворншщнх условия«ш~ Ы(Ха)-цаава)146, «Ке «уб(Хя) - значеввя некоторой фиксированной непрерывной функции Мй(«) з узлах Хш ( 2=0,...,2«) равномер«ой сетки 1Хк~, определенной ыа отрезав (0,1) . (предволагается, что лаЖ+! ). Функция ю~(х),удовлетзоряшщая перечисленным выше условиям, иазюю обобщенным полиномнальным сплайном.

при Я«ю2 зта задача 1шоомотрена в работе[4 Показано, что решение задачи обобщенного интерполирования существ пуст (теорема П.1) н является фувкпвей из класса зв И~В(Х) 3(Х) ЕСззье~ ф [Х.,п;«=О 'прв )=н«,в«+«,...,2«з-й н — рп-БО, где Хщ(Хн,Ха,ДЬ4~ Фф «Р й(Х) «(Х (лемма П.2). Провфдено всследованне векото1мх аппрокси«я«званых сюйотв решений детерминированной задачи обобиевкого ивтерполироювия, а ванно: если М(Х) - фмксвроваввая я«раз непрермвю днффереицнруеюя функция, удовхетворает.условю ~ й(Х)-«уу(Х)) ай и фуккцпя ««й(Х)щС,(0,13 удовлетворяет условию согласования (ру (ин««зЩ~'мО, то имеет меото предельные соетюпеиияй,ф 6 Йз«й«(ь,б-Йфь =О (теорема П.2) и « («з«ф~4М-Щ.« О (теорема П.З), «Ке Я«,,б ЙЬ б(Х) -решение 'в,б о задачи обобщенного интерполировании.

А Из последних соотношений следует, что семейстю репеиий Мз,й задачи обобщенюго интерполирования, прв сформулпроюипшх мие условинх, равномерно приблииает П«1аз нвпрермвио дпффереищшрйшмуш функции Их)вместе с ее проинищ«инки де ( и«-«) пейндяа включительно (теорема П.Ч). детерминироьанная задача обобненного интерполнронания допускает обобыеные на случай, когда з - опе1втор обобценного днфферепцирования порядка Яь 2, действуюиий в гильберговом пространстве И случайных Функций ЫМХ), определенных на множестве (0,1 хЯ, где $У=(Я,бтра~ - некоторое нероятностное пространство, а (0,11 - отрезок действительной оси. Если через Ц обоев начать класс ( В-1 ) - раз непрерывно дифференцируемых случайных Функций м =и(ю,Х) таких, что 11л!1,~ <+оп и Я [ц(<д «„) ц фс Х„Яз-базкаб, где б - числовой паЩметР н хь(со.хк), ((ш(со,жк) - значения Функций х((со,х) . мш(сд,х) в Узлах сетки ~Хк~ (Д=О,...,И), то стохастическаа задача обобиенкого интерполирования Формулируется так: найти функцию -ь( (сох)ч=Ц, удозхетнорншщую услОВиям: (ц~ ~~~хф~~цД, й.

(Цт(оо,Ха)-ци(хб>ХаЯ 46, где и а Ц~ ~ ~ь() а ~ Я Щ~й~, о Показано, что решение стохастической задачи обобиенного ингерполироиавия суиествуют (теореыа П.б) и установлена внутренняя структура стих решений, а именно: 1) есла ы(<о,м) и М(хб,Х) — решения стохастической задачи обобиенного интерполнрозания, то случайная Функциям(сох)-м(азх) с нероятностью, равной единице, есть случайный полипом степени не ныне, чем ( й-$ ) (лемма П.8 — П.11). 2) решение бюс,Х)' стохастической задачи обобыенноп> нйеРполироиаиия с нероятиостью, равной единыце, удовлетворяют условиям лзс й (лемва П.12) Е ( 7! х 1 О .

1 ° В, зц+т,...,2а-й и - 11— случайных функций Я(со,Х), удовлетворяющих соотношениям а). Оказывается (теорема Ш.Ф, лемма Ш.1), что заданием элеыента Я(оз,Х)ЯС~ минимальный интерполяционный стохастический сплайн Мй(со,Х) с вероятностью, равной единице, определяется однозначно н имеет место предельное соотношение 1ыа й хь,й-Ыйй~О г де М„ [оэ»Р — полное гильбертово пространство (теорема Ш.5), норма в котором определяется скалярным произведением (ц,11) =3 ШЕ [(ах ) »Мх„)~+(Еи,1л)„»,Щсюх),т(сьх)ей .

4» Шо 2 Локазано (теорема Ш.5), что для любой случайной ФункцннЧ=Ч(мфЕЗ„ справедливы соотношения (цу й111й-1ч!~й»=!Ич4М~ н Л,чЦы= Ва~ю ~3 2 1 2 т я =1~ЩРЬ1ф+ЙЧЫ»~~ь»,где 1Х»=ЫЧ(оса) — решение задачи а),б) "2 4 Л' при $(<ой)=М(сю>Х), т.е. на элементе Ц~(сстХ) получается оптимальное, в смысле нора пространства л„э, прибликенне к значенкю оператора 1, на элементе Ч(оеХ) . получено решение следующей вариационной задачи (теорема Ш.б): найти элемент ~ м ~(аз,Х) Е С, [о,ч), на котором ВцУ ! $ ®-Р(и~)), ~(,Х) -=С„- тц(ц, Ч'бчй Е где Мб ш01(о>д) — миниьшльный ннтерполнциопньй стохастическим сплайн для Функции у(И,Х), 1(г1) - некоторый лннейнпн . зкцпонал, заданный в пространстве У» .

Оказываетоя, что сити: зльпсе решение вмпе сформулированной вариационной задачи .сть прнбликение к значению линейного Функционала 1(Я): !(ий) =р %Е [и (ыэ,Х )Ч(ы,Х,Я +Ф0й,~Л)Ш . В атой ие главе 1вссматрнваются среднеквадратическне стохастичес- - 12- кие спхайны. Элемент Шй=5в(со,Х) называется среднеквадратическим стохастическим сплайном для элемента д(са,х)е Сь, если выполняются условия: 1) ЬВ(со,Х)а(2 - ядру оператора 1. М Н й г) М~ Х И[а(оэФ )-д М~ =Х И[ай(со,Х)-д (ы)!, ©х о й=о доказано, что среднеквадратический стохастическим сплайн Зй для элемента 9 =фс4Х)~ С„сувествует и может быть конструктивно определен как предел (теорема э.7) зй(со,х)= Ьх тес,й(оэ>х) с1-есо (з пРостРанстве пн ), где ((л,й (щх) - РзгУла1мзиРованный стохастический сплайн.

Кроме того исследованы некоторые свойства невязка )э6~)=ХЯ~1эфЩ94фля функпяонала ф [ц;д] «со Следствием теорем Ш.Э, Ш.4, Ш.7 и лемм Ш.'Ы, Ш.Э является милл,а ау., уМ) ° гр ° ую .ввэр. цей и имеет место соотношение)Оьу~1)лйЮ [ШШФОЛа)-Як00)1 ° во Х 2 таким образом, для всякогэ у:ЮФ~КЗИ[$й(сбфк)-яс(ю)1 уравнекэо ние я(0=~» имеет, по крайней мере, одно реиениеоьу:у~яр)=у. Рассмотрены некоторые аппроксимативные свойства регуляризярованных стохастических спхайнов.

Пусть х1=М(Х) - уд раз непрерывно дифференцируемая детерминированная вункция и Яи(~и,ХМС~ т - ЕЕ 6'-ПРИбяяжэпяа, т.Е. !!М-УЕ!!,э46, УДОВЛЕтВОРИВИаи УС- ловко согласования: Ьа в!!Де!! „=О . Пусть, далее,'я,=й,(о34)- $,6-ео - проекция элемента ХЬ на ядро (з!, оператора 1, . Тогда имеет место предельное с~ютноиение (теорема Ш.р) !~ Ь ~йЯ[ (Я,Х.)-д,М,Х.)1'=!!а,-й!!' . и н.ьо '~ 3 ! -19- Если Мт*й, то теорема Ш.9 и принцип невязки (теорема Ш.о) позвоияет выбрать параметр сС =о1(Ш,Ш) так, что регулярязированный стохастический сплайн Ме при у(<е,Х)м~е~~о>й), соответствующий параметру с1п, удовлетворяет предельным соотнощениям ЬГ йт йМ,-М!1„;=ЬПХИМ;ЕЩ -О ~теорею Ш.1О).