Двайт - Таблицы интегралов и другие математические формулы, страница 16
Описание файла
DJVU-файл из архива "Двайт - Таблицы интегралов и другие математические формулы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математика" в общих файлах.
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 16 - страница
— - — !' —.— К). дК ! тЕ "! См, подстр. прим. па стр. !6!. 800. Цифференннальное уравнение Бесселя имеет внд: пт» 1 ди ! па 1 — + — +!1 — — ~п=О. дкл кдк '1 кл ~ Бесселева функция первого рода й„(х) й Обозначнм —,/„(х) через 1; н т. д. — х !лл1 801'3' 2п" л — х ~и-1 + хил!1 х1„' = — юl„+ х./„1.
801,4. 2,/„' ./л 1 †./ м 463 )801,92 803.4Ц ввссваввы еяикпии 801.92. 1;=21 +(1 — — ',)1ь ввссвавва еянкпия пвового вода Асимптотические ряды для больших значений х ./;-(", — 1)./,+(5 "-) ' 801.94. 1з = — ( — — 1) 1 — ( — — — + 1),/. 8 / 12 1 / 192 40 х (кз ) о ( хз .зз д. / 9бО 84 1 / 1920 408 т 11 аблнпы 1,(х) н 1, (х) см. ПО, !5; 17, !9в, 20). ° (~")' (~")' 8021. 1о(х)=1 (2 «) + П з 1з Зз Зз+ ° 802.21../, (х) = †./, (х) = — х —, +, 802 22 /з(х) = — — — + — — — + ° хз к' 2з2! Зз1!3! 2'2!4! 2зЗ!б! 802.3, При и целом положительном — ( — х) ( — х) л! ( 1 (л+ 1) + 1 2 (л+ 1) (л4- 2) Прн л целом 1 „(х) = ( — 1)" ./„(х).
Если л-не целое положительное число, то в формуле 802.3 заменить л! череа П(л). (См. 863.1.) 802.4. 802.6. 1 3 хо 5хз 7 хо 802.61.,/д (х) — — — + — — — + " 2 гз1!2! 2з2!3! 2зЗ!4! 802.62. 1; (х) = — — — + — — — +., х 4 ха бх' 8хт 4 2з1!3! 2зг!4! ЗзЗ!б! кз / !я+2) хзз! 802.69../„(х) =,„(,)! —,„„, ( ! + (л+ 4) хз+з (л+ б) х" +з + 2зззг! (л.!-2)! 2з+зЗ! (и ! 3)! +'" (и целое положительное).
803.1 ° 1о (л) = ( — ) ~Ро (х) сов (х — — ) — ()о (х) в1п (х — — )1, где 1з . Зз 1з. Зз, бз. 7з !з ° Зз ° 5з ° 7з -9з ° 11з 803.11. Ро (х) ззы 1 2! (Зк)з + 4! (Зх)з б! (Зх)з + ' ' 1з 1з Зз бз !з 3" 5' 7з 9' 803.12. ()о(Х) 1!Зх + 3! (Зх)з б! (Зх)з + " Знак ~ означает асимптотяческое равенство. 8032../д (х) =( — ) ~Рд (х) сов ~«- — ) — Яд (х) в1п (х — — )1 где !з ° 3 5 !з ° Зз бз ° 7 ° 9 !з Зз бз 7з 9з.!1 13 803.21.
Рд(х) + 2! (8х)* 4! (Зх)з + б! (Зх)з Начиная со второго члена знаки чередуютсзь 1 3 1з Зз ° 5 ° 7 1з ° 3' ° 5з ° 7з ° 9 ° 11 803.22. (/д (х) ! !8« 3! (Зк)з + б! (Зк)з / 2 1!/зг лл л1 803.3. 1а(х) — — ) Р„(х) сов х- 2 — — )— — Я„( )в1п(х- — — Д где (4лз — 1з (4лз — Зз) (4лз — бз) (ллз — 7з) + 4! (Зх)з 4лз — 1з (4лз — 1з) (4лз — Зз) (4лз — бз) 803.32.
()а (х) ~о Пбх 3! (Зх)з +' " 803 4. 1а (х) = — ( — ) /)Рз" (х) в1п (х — — — — ) + + я'ы («) сов (х — —" — — ")1, где согласно 801А ззз.41. г х ( > 1 ди'.—..Йз *й~хае з 2! (Зк)з (4лз — 1з (4лз-Зз) (4лз — бз) (4лз+7 Х 9) + 4! (8х)з 154 (303.42 БВССВЛВВЫ ФУНКЦИН 303.3! 165 БВССВЛВВА ФУНКЦНЯ ВТОРОГО РОДА 803,42 805.84 806.86. 806*9!. У; ='Уо — — '. У; = — У1.
806.90. 806.92 806.93 / 2 11!2 ./! (х) =( — ) в!п х. 804.01. ./з(х)=( — ) ( — — созх). 804.03. 806.94 805.96 2 1/о у, (х)=( — ) сов х. з 804.21, Уо(х) = — С+ 1п —,/о (х)+— 806.1. хУ,= — НУ,+хУ 21 л 1 л-1 1 лс1. 4У„' У,,— 2У + У з. — (х)„) х У 806.6. (Х У ) х л У бх 2УТ Уз — — — УФ х 80683 Ув=(х, — 1) Уз — — ' ° 806.82. 4ло+ 1 Х 3 (4л' — 1о) (4ло — Зо) (4ло+ 5 Х 7) (~л ( )Фы 3! !Вх)о +" Закон образования следуюших членов очевиден. Следует помнить, что приведенные здесь ряды для больших значений х являются асимптотическими, и сушествует предел точности, которую они могут дать.
804.06. /в (х) = ( —.) ~( —, — 1) в!и х — — сов х~. 804.23. У з (х) = ( — ) ( — ып х — — ). 80425../ з (х)=( — ) ( — в!Нх+( — — 1)сОвх), з Бесселева функция второго рода У„(х) Некоторые авторы употребляют вместо !'„(х) .1бозивчеиие Ул (х). 806.1. х У„' л ӄ— х У„п 805.2. 806.3. 2НУЛ ху„,, +хУ 1. 806.4. 1, 12 ( 16) (334 72 ) 21'о / 41 У'.
о+/1 ) У х 1 х/ У; =( — „-„-,'+ !) У,-( — '„'"'-'— ",'-+13) У'. Таблицы Уо(х) и УТ(х) см. (10, 15, 17). где С вЂ” эйлерова постоянная 0,5772157. (См. 861.1.) 806.2, Уз(х) = — (С+1п — ~./1 (х) — —— Оо л ~ р1(р+1)! (2) ( ( + 2 +"'+ р) + р+!)' л — ! 806.3. У,(х) — — (С+! и — ) ./„(х) — — ~~~~~ ( — ) в=О л 7 р!(л+р)! (2) ('+2+ 3+" '''+ р+ + 2 +'''+л-!-р)' где л целое положительное. При р=б последнюю скобку следует положить равной (1+ — +...
+ — ). 1 11 2 " л/' 167 166 еп.з[ БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ 808.94 807.1 808.95 807.2 807.3 809.1 ° 809.2. Прн п целом поломгнтеиьном 1л(х) =г "l„(1х) = 809.3. (-к) ~ ( — к) (-х) . (~ )"" р! (л+р)! ' Х1„= П1„+ Х1л г 808.3. х1„= — п1л+ х1л,. 808.4. 2п!„= х1л,— х1„+1. 1л-1+ 1л+у 808.1. 808.2. 808.5. 809.4.' При п целом 41л = 1,- з+ 21л+ 1лв ° . — (хо1„) = х"1л,. 808.7. 211 1 1 — — '. з о 1 „(х) = 1„(х),' „-"(Х-"1л) =х-л 1лло 808.6.
808. 82. 808.83 808.84 808. 85 1о = 11 808.90. 811.2. 808.9!. 808,92. 811.3. 1 (4 +1) 21, (хо+1) 1о ( 1+5) 808.93. Асимптотнческне ряды для большня значений х 1 о (Х) — ( — ) [Рв (Х) 5!П (Х вЂ” — ) + (;!о (Х) С05 (Х )1(Х)= ( ) [Рз(Х)5!П ( 4 ) +(оз(Х) Соя (Х 4 )) .( )лл( — „')" [.()" (.-7-+)+ +1;! (х)соа (х — — — — Д . [Ряды для Р н () см. 803.] )л(Х)= ( ) [1'л (Х) С05 (Х ) !» 1 лл пй — () (х) Гйп (х — — — — )~ л 2 41 [Ро!(х) н (),',л!(Х) см. в 803.4! н 803.42.~ Бесселевы функпнн от мнимого аргумента первого рода 1л(х) 1, = (24+ 1) 1,— 8 ( 5, + ! ) 1 =(7+-".+ ) ' — "(-"+') ' БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИЙ ОТ МНИМОГО АРГУМЕНТА (850+84+,) (!220 ~ОВ, ) 1, Таблицы 1 (х) и 1 (х) см.
[10, 15, 21) 1,(х) У,(Ух) 1+( —, х) + —,, + —, где 1 [У вЂ” 1. 1 о ~ !з 2 ! ° 2з 3 809.5. Если и не целое положительное, то надо в 809.3 заменять п[ на П(п). [См. 853.!'1 Аснмптотнческне ряды для больших значений х 8!1'!' 1о(х) ~1 = [1+ [ +2! 8 ° + '''~ е" Г 4л' — 1з (4л' — )з) (4 аз — 3') ).2~ [~ — — !Ъ + (..). — "1 ° е [' 4л'+! х 3 (4л' — '1') <4лз+3 х 5) (4л' — 1') (4л' — 3*) (4лз+ 5 Х 7) 3! (8х) Члоны ряда 8!!.3 та же, что н в рядах 803.4! н 80ЗА2.
169 (8!4. ! 168 ВЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ К,(х) = — (С+1п-) 7,(х)+ 815.1. пКп хА»+1' 614.1. ХК, = — пК» — хК» 814.2. ' 814.3. 814,4. 2пК» = хК», — хК»,. 815.2. 2К» = — К,„,— Кп+, 814.6. — (х»К») = — х"Кп,. — (х-'Кп) = — -" К.+,. 814.7 Кп Кв+ 2К, х 814.82. 814.83 814.84 814.85. 8!4.90. К, = — К вЂ” К'. в 814.91. К'= — — — ( — +1) К, 2К> г 4 1 814.92 816.2 614.93. (12,) (24 „5) К, 8 ([2,) (!92 40 816.3 814.94 8! 4.95. Бесселевы функцяи от мнимого аргум4нта второго рода Кп(х) 814.5.
4К» = Кп-в+ 2Кп+ А»+в. К. =(24+ !) К.+ 8 (5+1) К,. [2 (15 ) (384 72 1)К Кв- — К> ° (950 84 ) ( !92! 408 3) К, Таелнцы К [к) в К, [к) см, !10, !5, 17, 2!). 8[а.з Весселевы Функции от мннмоГО АРГументА где С 0,5772157 †зйлеро постоянная. (См. 851 ° 1) К (х) =( — 1) + ( С+ 1п -) 1„(х)+ ( ПР(л — р — !)! 7 к 1»У"и „ + 2к- п> [2) Р в (1+-+ — + ° ° ° + — +1+ — + ° ° ° + — )> ! ! ! 2 3 ''' л 2 ' ' л+Р гае п — целое положительное. При р=О последнюю скобку ! 1[ следует положить равной (! + — + ...
+ -). л 7' Следует заметать, что иногда, особенно в более ранней литературе по бесселевым функциям, буквой Кобозначаетсн совсем другое выражение. 815.3. Прн п целом К п(х) Кп(х). 8!5.4. ПРи л пепелом Кп(х) = †„ (7„»(х) — 7„(х)).' Асимптотические ряды для больших значений а!ВП. (4лв — !») (4лв — 31) к> (84' К,(х)лп — ®ла »~1+ "+" + [4л' — 1') (4л'+3 Н 51 (4л' 1») 4л* — 3') (4л*+5 Х 7) + 2! (Зк)' 3! [8х) + .
° . !Из 8!4.4,! Нетрудно видеть, как продолжить этот ряд. 174 ВессвлаВы Функции (828.1 зессзлззы Функции от х73«'в 2-го рода 827.21 825.!. Лля больших значений х I:в ~ив и"в г + М,( — ) в!п ( — "+ 8)1. 825.2. Ке!хлл ! — 1! е "в * ! М ( — х)сов~ — + — )— 'в)' 2 8) — Ео ( — х) в!и (=+ 6 ) ~. См. 821.8 н 621.4 с подстановкой — х вместо х. ( льпв + То ( — Х) в!и (= — 8 )1. 825.3. Ке1 х= (2 ) е ~Т~( х)сов(= — 8)— — 5о( — х! в в! ( — "- — —;)1 825.4. См. 821.7 н 821.8 с подстановкой — х вместо х.
826.1. При целом положительном и Кетах+ т КЕ)„х в "К„(х г/в). 826.2. Кетах=(!и — — С) Ьег„х+-4 Ье)„х+ и !)л+Р(а Р 1)! ! х вввр-и (л+2р) л 2~о Р' сов + р=о 4 +„1+,+,+ + +1+ + +...+ )Х ! — 1)л+Р ( — х) Х,, сов — ° 826.3. Ке(„х=(!и — — С) Ье!лх — 4 Ьеглх+ 2 и л-в 1 к~ ( 1)л+Р(а р 1)! Г х двр " (и+2р) л 2 р! ~2) 4 р о 1'Гч/ 1 1 1 1 1 1 — — ~~ (1+ — + — +... + — + 1+ — + — +...
