1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 84

% 59. Вероятностные задачи кинематики и динамики 59.1. Самолет летит нз начального в конечный пункт, расстояние между которыми равно 1500 км. Скорость полета и постоянна во времени для каждого полета, но для разных полетов принимает различные значения. Предполагается, что скорость представляет собой случайную величину с гауссовским распределением, с математическим ожиданием т,=250 м/с и средним квадратическим отклонением о, = 10 м/с. Определить симметричный интервал для времени полета, соответствующий вероятности 0,999. Ответ: (5180, 6820) с.

59.2. Самолет летит по прямой линии от начального пункта. Угол ф отклонения этой прямой от заданной прямолинейной траектории в разных полетах может принимать различные значения. Предполагается, что угол $ является случайной величиной с гауссовским распределением, его математическое ожидание равно нулю, а среднее квадратическое отклонение равно оч = 2'. Определить значения вероятности того, что на расстояниях 7.

501 100; 200 км боковое отклонение от заданной траектории не превысит 5 км. Ответ: 0,997; 0,86; 0,52. 59.3. Поезд двигался с начальной скоростью 15 м/с. При торможении ускорение замедленного движения постоянно во времени, но может принимать различные значения. Предполагается, что ускорение гв является случайной величиной с гауссовским распределением, с математическим ожиданием пь — 0,2 м/сз и средним квадратическим отклонением о~ = 0,03 м/сз. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение тормозного расстояния до остановки, а также верхнюю границу тормозного расстояния, вероятность превышения которой составляет 0,05.

Ответ: 540 м, 81 м, 670 м. 59.4. При расчетной оценке точности стрельбы в мишень принимается, что скорость полета пули постоянна, учитывается случайное отклонение оси ствола и случайное отличие скорости пули от номинального значения. Считается, что пуля попадает точно в центр мишени, если при точном задании направления оси ствола скорость вылета равна номинальному значению 600 м/с. Углы отклонения ф и ф оси ствола от заданного направления и отличие Ьо скорости вылета от номинального значения считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с нулевыми математическими ожиданиями и со средними квадратическими отклонениями соответственно ач = ач — — 0,5 1О з рад и о, =75 м/с. Расстояние до мишени равно 1= 50 м.

Определить симметричные интервалы для горизонтального и вертикального смещений точек попадания в мишень относительно ее центра, соответствующие вероятности 0,99. Ответ: ( — 65, +65) мм, ( — 69, +69) мм. 59.5. Снаряд выпущен из орудия с поверхности Земли. Угол бросания ф и начальная скорость оз могут отличаться от расчетных значений; они считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с математическими ожиданиями, равными расчетным значениям тч = 1О' и т„= 1000 м/с, со средними квадратическими отклонениями оч =0,1' ив„=10 м/с.

Пренебрегая силой сопротивления воздуха, определить интервал дальностей возможных точек падения снаряда на Землю, соответствующий вероятности 0,90. В выражении приращения дальности сохранить слагаемые только первого порядка относительно отклонений угла и скорости от расчетных значений. Ответ: (31,0; 37,4) км. 59.6. Вагон, центр масс которого находится на высоте 2,5 м от уровня полотна железной дороги с шириной колеи 1,5 м, движется по криволинейному участку с радиусом кривизны р = 800 м. Подъем наружного рельса над уровнем внутреннего выбран так, чтобы при скорости вагона, равной о = 20 м/с, давление колес на оба рельса было одинаковым. В действительности скорость вагона может быть различной.

Принимается, что скорость является случайной величиной с гауссовским распределением, с математическим ожиданием т, = 15 м/с и средним квадратическим отклонением в, = 4 м/с. Определить отношение сил давления колес на внешний и внутренний рельсы при скорости, соответствующей верхней границе интервала, определенного для вероятности а = 0,99. Ответ: 1,17.

59.7. Автомашина движется по дороге без уклона со скоростью 15 м/с. При торможении сила трения постоянна во времени, но может принимать различные значения. Принимается, что удельная сила трения при торможении является случайной величиной с гауссовским распределением, ее математическое ожидание равно 3000 Н на 1 т массы, а среднее квадратическое отклонение составляет 700 Н на 1 т массы. Определить значения вероятности того, что тормозной путь до остановки превысит 40 м; 80 м.

Ответ: 0,45; 0,02. 59.8. Ротор массы М, представляющий собой однородный цилиндр радиуса )т' и длины 1, насажен на вал с перекосом и смещением, так что его ось симметрии отклонена от оси вала на малый случайный угол у, а его центр, расположенный посередине между подшипниками, смещен относительно осн вала на случайную вели.

чину Ь. Расстояние между подшипниками равно 2Е. Предполагается, что у и Ь представляют собой независимые случайные величины, угол у имеет нулевое математическое ожидание, расстояние Ь вЂ” математическое ожидание тл и средние квадратические отклонения соответственно равны в„ и ол. Угловая скорость ы вращения ротора вокруг вертикальной оси считается случайной величиной с математическим ожиданием т и средним квадратическим отклонением в . Определить средние квадратические отклонения оа и и реакций подшипников 1г1 и Йь 59.9.

На груз массы 1 кг, подвешенный на нити длины 1 м, в начальный момент времени находившийся в состоянии покоя на одной вертикали с точкой подвеса, кратковременно действует горизонтальная сила, постоянная во времени в течение интервала действия, Сила Р н интервал времени ее действия т являются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с математическими ожиданиями, равными соответственно те = = 300 Н и т, =0,0! с и средними квадратическими отклонениями, равными ох =5 Н и в, = 0,002 с. Определить значения вероятности того, что амплитуда свободных колебаний груза на нити после окончания удара превысит 60' и 90'.

Ответ: 0,46; 0,04. 59.10. Груз падает с высоты Н на упругую пружину, массой которой по сравнению с массой груза можно пренебречь. Статический прогиб пружины под грузом равен 2 мм. Высота Н считается случайной величиной с гауссовским распределением, с математическим ожиданием, равным 1 м, и средним квадратическим отклонением, равным 0,3 м, Определить верхнюю границу интервала возможных изменений максимального значения ускорения при ударе для вероятности нахождения в этом интервале, равной 0,95.

Ответ: 380 м/со. 59.11. Длина ! математического маятника известна неточно. Предполагается, что ! представляет собой случайную величину с гауссовским распределением, с известным математическим ожиданием вп = 0,25 м и с неизвестным средним квадратическим отклонением оь Определить допустимое значение оь при котором значения периода свободных малых колебаний различаются не более, чем на 0,1 о/о с вероятностью 0,99.

Ответ: 0,19 мм. 59.12. Физический маятник представляет собой тело массы т, вращающееся вокруг горизонтальной оси; его момент инерции 7 и смещение ! центра масс относительно оси считаются заданными. Силы сопротивления, пропорциональные скорости, таковы, что при свободных колебаниях маятника отношение предыдущего размаха к последующему равно д. Точка подвеса маятника совершает горизонтальные случайные колебании. Ускорение в точки подвеса можно считать белым шумом постоянной интенсивности Во. Определить установившееся среднее квадратическое значение угла отклонения маятника при вынужденных колебаниях, а также среднее число выбросов и угла за уровень, в 2 раза превышающий среднее квадратическое значение в течение времени Т.

Во I он (Чо+ яо) т /т~! Ответ: во= — ~/ и= — ~/ — е о. о еч 1/ Луо ' зя 1/ Х 59.13. Точка подвеса физического маятника, частота свободных колебаний которого равна й = 15 рад/с, а отношение последующего размаха к предыдущему при свободных колебаниях равно т = 1,2, совершает горизонтальные случайные колебания. Скорость точки подвеса при колебаниях можно считать белым шумом 44т интенсивности Ог = 1000 мг/с.

Определить среднее квадратическое значение угла отклонения маятника. Ответ: 23'. 59.14. Прибор установлен на упругих линейных амортизаторах на подвижном основании, совершающем вертикальные случайные колебания. Силы сопротивления при колебаниях прибора относительно основания таковы, что в режиме свободных колебаний отношение предыдущего размаха к последующему равно и = 1,5.

Вертикальное ускорение при колебаниях основания можно считать белым шумом интенсивности Вг = 100. Определить, каковы должны быть частота свободных колебаний прибора на амортизаторах и статическое смещение под действием силы тяжести, чтобы среднее квадратическое значение абсолютного ускорения в при вынужденных колебаниях прибора было равно о~ = 50 м/сг. Ответ: его= 30 рад/с, 5= 1 см. 59.15. Линейный акселерометр, основным элементом которого является инерционная масса, связанная линейной пружиной с корпусом и находящаяся в вязкой жидкости, имеет амплитудно- частотную характеристику с резонансным пиком, причем частота, соответствующая пику, равна гэо 100 рад/с, а относительная высота резонансного пика (по отношению к значению амплитудно- частотной характеристики при в = О) равна 1,4, При тарировке акселерометра получено, что если установить его измерительную ось вертикально, а затем повернуть акселерометр на 180', его выходной сигнал, пропорциональный смещению инерционной масеы, изменится на 5 В.