Трофимова Т.И. - Курс физики, страница 9

2 Определить значение гх, соответствующее равновесному положению частицы. Является лн это положение положением устойчивого равновесия) (г„=2А/В] З.б. При цензральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой пт, ударнется в покоящееся тело массой гпх, в результате чего скорость первого тела уменьшается в я= 15 раза.

Определить: !) отногпенне т,/ти 2) кинетическую энергию Т1, с которой начнет двигатьсп иторое тело, если первоначальная кинетическая энергия первого тела Т, = 1000 Дж. [1) 5, 2) 555 Лж ] 3.7. Тело массой т,=4 кг движется са скоростью и,=3 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы.

Считая улар центральным и неупругим, определить количество теплшы, выделившееся при ударе. (9 Лж ] Глава 4 Механика твердого тела 2 !6. Момент инерции /= ~ т,гз. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу /=~ г'От, Рис. 23 При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно осн вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на нвадраты их расстояний до рассматри.

ваемой оси: где интегрирование производится па нсему объему тела. Величина г в этом случае есть функция положения точки с коардннатамн х, д, з. В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой Ь и радиусом )7 относительно его геометрической аси (рис. 23). Разобьем Фвзв >ссвис агнцвы мц>пинки Таблица ! Пвлвжгвв» всв врвв>вввя Мовен > инерции тв>в Ось симметрии Пг>гнгй танкпстснный цнлпндр радиусом И> '/г т>7 Та же Сплошной цилиндр или диск радиусом >г '/,> гп!г >!Рамой тонкий стержень длиной ! Ось пернендн.

вулярна стержню н проходит через его середину '/, т!' Ось перпендикулярна стержню н проходит через его конец 1!рямвй тонкий стержень длиной ! Швр радиусам Г! Ось проходит через центр шврв Рнс. 24 цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины б» с внутренним радиусом г и внешним— — г+дг Мг>мент инерции каждого полого цилиндра б/=хват (так как с)г«г, та считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно г), где >)т †.масса всего эл> ментарного цилиндра; его объем 2лгй бг.

Если р — плотность материала, то бт=р 2пгИ г1г и оу — --2лйрггг)г. Тогда момент инерции сплошного цилиндра 1=~ б/=2лйр ~ г~бг= '/впй(7'р, но так как л)7 И обьем цилиндра, то ега масса т=лй>ИР, а момент инерции 1= >/хтф. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относи~ельно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела 1 относительно любой оси вращения равен моменту егп инерции 1 относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произнедением массы т те- ла на квадрат расстояния и между осями: 1 =/с+ тгг . (1б 1) В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однароднымн, т . масса тела) 17. Кинетическая энергия вращения Рассмотрим абсолютно твердое тело (см, э(), вращающееся около неподвижной оси з, проходящей через него (рис.

24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т>, ть ., >и„, находящиеся на расстоянии г>, гь ..., гв от оси вращения. 11ри вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами т, опишут окружно. сти различных радиусов г, и имеют раз. личные линейные скорости в,. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое те.

ло, то угловая скорость вращения этик объемов одинакова: >в=и>/г> — — иг/гг=.. =пв/гв. (17.1) Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов. г 2 г т, и, тэпг твс„ Т,= + — +..+ 2 2 2 4 э(!м ни!; !.гнл л! г,' илн и ьд =1 2 Используя выражение (17.1), получим где У, — момент инерции тела относитель- но оси в. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела Т„г=/нм /2 (17 2) Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (7= ам!'/2), гледует, что момент инерции вращательного днижения — мера инертности тели. Формула (17.2) справедлива для тела, врапгающегося вокруг неподвижш>й оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного двиксения и энергии вращения: Здесь М вЂ” псевдовектор, его направление совпадает с направлением посзупательиого дни кения правого винта при его нраще- нииотгкГ. Модуяь момента силы М=Ег мп а=Р(, (18.1) где а — угол между г и Г; г гбп а=(— кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой Π— плечо силы. Моментом силы относительно неподвижной оси л называется скалярная величина М„равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси и (рис. 261.

Значение момента М, не зависит от выбора положения точки О на осн з. Если ось г совпадает с направлением вектора М, то момент силы представля- '" "г /сы э э Т = — ---+— 'э 2 где а! — масса катящегося тела; ис — скор!кть центра масс тела; Ус — момент инерции тела относительно оси, проходя. щей через его центр масс; ы -- угловая скпрость тела. Моментом силы Г относительно неподвижной точки О называетсн физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу Г (рис. 25)! М=(гГ ). ни* ..'а 2 т и тгафияиал ч 18.

Момент силы. Уравнение динамики врагцателтьного движения твердого тела 3 Рнс. 2б Фнычгг .н«н ннг н гннн н Зе йгр Учитывая, что ы= —, получим Й' Уравнение (|8.3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Можно показать, что если ось вращения совпадает г главной осью инерции (см. $20), проходящей через центр масс, то имеет место нектарное равенство Рн'.

ат М, =[гг),. М=уе (18А) где 7 — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси). в 19. Момент импульса и закон его сохранения При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О назынается физическая величина, определяемая векторным произведением: 1 ==[гр)=[г нгч[.

.:. Фг-' гг ,,Р+ Рис. гк йА=йТ, но поэтому Мгйгр=ггы й"' нли Мг Тгы 'й ' й( ется в виде вектора, совпадающего с осью: Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 27) Пусть сила г приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии г, сг — угол между направлением силы и радиусом- вектором г. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечко малый угол йгр точка приложения В проходит путь йз=г йгр, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения; йА=Т гйп ге гйр. (!82) Учитывая (!8.|), можем записать йА =М, йр, где гг з!п а=И=М, — момент силы относительно оси г.

Таким образом, рабата при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: гх йТ=й ~ — * ~=у,ы йн, М, = 7„— = /,е. (18.3) йм 1 и л в а ! Механика гверхога тлл Продифференцируем уравнение (19.2) по времени. бйг - ..бы — =У' — ' — У е=М, дГ ° г д( г т.

е. 81., — — =Д4 . 81 Это выражение — еше одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же осн. Можно показать, что имеет место векторное равенство — =М. б(. (19.3) бг В замкнутой системе момент внешних б!. сил М=О н — =О, откуда бг Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т, е.

ие изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изогропностью, т. е. с ин- тр,гс ~=! 1- З,Ы,4згмг 3 ) и т. е. (! 9.2) 1.,= У,ы. Рнс. 2Я где г — радиус-вектор, проведенный нз тачки О в точку А; р=тт — импульс материальной точки (рис. 28), Š— псевдо- вектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к р. Модуль вектора момента импульса 1.=гр з1п а=тог гйп п=р1, где и — угол между векторами г н р, 1— плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси з называется скалярная величина Уь равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной асн. Значение момента импульса У., не зависит от положения точки О на оси з. При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной осн з каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса г, с некоторой скоростью т,. Скорость т, и импульс т,т; перпендикулярны атому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора т,ю, Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы 1 ~г тли (19,!) и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.