Трофимова Т.И. - Курс физики, страница 7

Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них,-- консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется днссипативной; ее примером является си. ла трения. Тело, находясь в потенциальном иоле сил, обладает потенциальной энергией Н. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна прирапгепию потенциальной энергии, взитому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии: дА = — дП.

(12. 2) Работа бА выражается как скалярное произведение силы Г на перемещение дг и выражение (12.2) можно записать в виде Гб = — дп. (12.3) Следовательно, если известна функция П (г), то из формулы (12.3) можно найти силу Г по модулю и направлению. Потенциальная энергия может быть определена исходи из (!2.3) как П= — ) Г бг+С, где С вЂ” постоянная интегрнронания, т е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произнольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в ннх входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, илн производная П по координатам.

Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нули> (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Для консервативных сил дП дП дП Г„= —, Г = — — —, Г,=.— — —, дх ' " ду ' ' дг ' или в векторном виде Г= — пгаб П (12 4) где дП . дП дП пгад П = — 1+ — )+ — й (12.5) дх ду дг (й ), К вЂ .единичные векторы координатных осей).

Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом сналяра П. 24 Фн»нч««ки« о«позы ш «гни«и ?(лн него наряду с обозначением йггд Г! применяется также обозначение т?П. т? («набла») означает символический вектор, называе. мый оператором Гамильтона * нлн павла-оператором. д . д, д т? = — 1+- — 1+ — — и. (!26) дх ди дг Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля Например, потенциальная энергия тела массой ят, поднятого на высоту и над поверхностью Земли, равна П=пгий, (12.

7) где высота l~ отсчитывается от нулевого уровня, для которого Па=О. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести прн падении тела с высоты й на поверхность Земли. Так как начало отсчета выбирается произвол~ но, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительно)).

Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина й'), П = — тдй'. Найдем потенциальную энергию упругодсформнроаанного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации: Е»г«р — — — йх, где Е,„«„-.

проекция силы упругости на ось х; й" коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак минус указывает, что Е.т.р направлена в сторону, противоположную деформации х. По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е. Элементарная работа дА, совершаемая силой Е, при бесконечно малой деформа- * У. Гамильтон (1805 в 1865) — ирлзидскнй математик н физик. цни дх, равна дА = Е„дх=йх дх, а полная работа А =~ йх дх « йхз/2 а идет на увеличение потенциальной энергии пружины.

Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела П=йх /2. Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия: Е=Т+П, т. е, равна сумме кинетической н потен- циальной энергий. В 18. Закон сохранения энергии Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711 — 1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю.Майером (1814 18?8) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821 — 1894).

Рассмотрим систему материальных точек массами ть ягз, ..., т„, движущихсн со скоростями эы чь ..., ч,. Пусть Е',, Рг, ..., Е', — равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а Еь Е„..., ń— равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еше и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим 1ь !ь 1,. При о«с массы материальных точек 1 л л в э 3 Рлпо1л и внеси ия постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следуюшие: д», т, — '= Г', + Г, +!о д» гн — =Г +Г +1, й д»„ т„—"- = Г„+ Г„+ 1„.

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени дг совершают перемещения, ссютветственно равные дг,, дгм ..., дгл. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемешение и, учитывая, что дг;=»,й, получим: т, (», д»,) — (Г, + Г,) дг, =1, дг„ тт(», д»з) — (Г,+Г,) дг,=(, дг,, т„(»„д»„) — (Г„+ Ге) дг„=!л дг„.

Слои;и эти уравнения, получим Л Л т, (»1 д»,) — ~ (Г,'+ Г,) дг,= г=1 Л = ~г $, дгс (! 3.1) Первый член левой части равенства (13.1) Л т, (»1 д»,) = ~ д (гп, »,'(2) = д Т, где дТ есть прирашение кинетической энер- Л гни системы. Второй член ~ (Г,'+Г,) дг, 1=1 равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному прирашеиию потенциальной энергии дИ системы (см. (!2.2)).

Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем д (Т+ П) = дА. (13.2) При переходе системы из состояния ! в ка- кое-либо состояние 2 ~ д (Т+ П)=А1м 1 т. е. изменение полной механической энергии системы нри переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что д(Т+П)=0, откуда Т+ П = Е=сопз1, (13.3) т.

е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (1З.З) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т, е. не изменяется со временем, Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системамн. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии свята н с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала сгтсчета времени. Например, при свободном падении тела в иоле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать, Сушествует еше одни вид систем— диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеха- 2б ! Физические основы механики нические) формы энергии. Этот процесс н(м(учил название диссипации (или рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в прироле являются диссипативными. В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной.

Могут происходи~ь лишь превраще. ния кинетической энергии в потенциальную и обратно а эквивалентных количествах, гак что полная энергия остается неизменной. Поэтому, как указывает Ф, Энгельс, этот закон не есть просто закон количестненного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, вырижающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон сохранения и превращения энергии — фундаментальный закон прароды, он справеллив как лля систем макроскопических тел, так и для систем микротел. В системе, в которой действуют также нсконсервативиые силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив.

Однако при «исчезновении» механической энергии всегла возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезаег и не появляется вновь, она лишь преаращаетсл из одного вида н другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превра(ценна энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.