Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ, страница 4

Терминология здесь немного «плавает». Иногла, в случае 2.1.4, говорят о сходимасти а„к бесконечному пределу. Иногда добавляют еще два понятия: стремление к минус или плюс бесконечности (пишут ая -ь ~со), если по любому М $ О можно указать такое Дт, что ая ~ ~М лла всех и > Дт. Еще одна беда — но все же не катастрофа — расходящиеся последовательности называют бесконечно большими величинами. 2.2. Теорема о трех собачках Определение 2.1.1 при доказательстве сходимости само по себе не очень эффективно из-за того, что опирается на знание предела а.

Тем не менее, какую-то совокупность задач удается решить в условиях «слабой вооруженности». Как правило, это задачи, где так или иначе угадывается и обыгрывается ст)эемление «чего-то» к нулю. В процессе решения часто используется следующий прием, известный в кулуарах как теорема о трех собачках. 2.3. Критерий Коши 23 2.2.1. Если а„< бп < с„при любом и, и «крайние» последователь- ности а„, с„сходятся к одному и тому же пределу, то к этому же пределу сходится и Ьп. Если а„, с„сходятся к одному пределу и с какого-то момента все попадают в е-окрестность предельной точки, то Ь„, зажатое между а„и с, попадает в зту же е-окрестность. Вот и все доказательство.

Ответы формалисту— в качестве упражнения. Примеры 1. Если в разложении и = [1+ (з«/й — 1)[" по формуле бинома Ньютона взять всего лишь одно слагаемое С«1(Г/и — 1)', получится неравенство п(п — 1) „ п > (~/и — 1), 2 откуда 0 < ( /и — 1) < —, что по теореме о трех собачках дает 2 п — 1 Щ -1 1 2. Учитывая предыдущий результат и непрерывность функции !ой х при х = 1 (см. разд. 2.7), получаем ,/й(з/и+1 — з/й) = ! 1 1 2 1+ 1+— и В данном случае хорошо видно, как используется бесконечная малость 1/и н, опять с опережением событий, непрерывность функции зГ! + х в нуле. Упражнения Доказать: ал 1 1 1 — -» оо (а > 1), /г» = 1+ — + — +...

+ — » сс, и 2 3 и 1 и 51П вЂ” -Ф !. и 2.3. Критерий Коши Пока остается неясным, как быть, если предел «не угадывает- ся». Пгавный инструмент, который позволяет устанавливать сходи- мость а„, не опираясь на знание предела, основывается на понятии фундаментальной последовательности. 24 Глава 2.

Последовательности и пределы 2.3.1. Определение. Последовательность а„называется фундаментальной, или последовательностью Хоти, если по любому е > 0 мозкно указать такое зч', что ~аи — а„~ ( б для любых и, уп > Ж. Иными словами, у последовательности Коши члены с большими номерами не могут сильно отличаться друг от друга. 2.3.2. Критерий Коши. Последовательность а„сходится в том и только том случае, когда она фундаментальна. Это полезный и важный результат. Интуитивно естественный.

В одну сторону (если а„сходится, то она является последовательностью Коши) — доказывается элементарно. В другую— «с приключениями», уводящими довольно далеко, в теорию вещественных чисел, в дебри которой на первых порах не имеет смысла углубляться 2!. Для понимания существа дела вполне достаточно наивного варианта теории„которым человечество обходилось до конца девятнадцатого века. Действительные числа — это бесконечные десятичные дроби.

Вот и вся теория. Известная проблема неоднозначной записи чисел решается, например, в пользу представления конечных дробей в виде периодических 0,6 = 0,5(9) = 0,5999... Логический «прокол наивной теории состоит в следующем. Например, т/2 мох»но вычислять все более и более точно, определяя посеедовательные приблихсения; 1, 1,4, 1,4! и т.

д. Бесконечная дробь для ~г'2, которую выписать сразу невозмозкио, на самом деле является пределом указаииои процедуры. Получается замкнутый круг. Пределы опираются иа дроби, дроби — на пределы. Выход из полол«ения дают так называемые дедекиндовы сечения мнохсества рациональньск чисел, но зто не лучший отиравнои пункт для изучения анализа (ничего слохсного, но скучновато, см. гл. 8). «Созрев для Дедекиида, проблему моясно рассматривать вместе с какой-нибудь аиорией Зенона типа «Доюнит ли Ахиллес черепаху . Пока хсе проще решить, что»догонит», и что бесконечные дроби *даны Богом». 2.3.3.

Лемма. Если последовательность а„монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится. т! Одна нз особенностей системы образования — навязанный сервис. Спрос еше не лозрел, но покупать уже заставляют. 2.3. Критерий Коши 25 Этот интуитивно прозрачный результат в определенном смысле — стержневой.

Его доказательство распутывает все остальное, включая критерий Коши. Уровень строгости, естественно, определяется выбором «теории вещественных чисел». В нашем варианте у растущей и ограниченной последовательности с увеличением и перестает меняться все большее число знаков после запятой. Это последовательно определяет бесконечную дробь а, которая и является пределом а„, ибо а„ может отличаться от а лишь в более и более высоких разрядах по мере увеличения и.

Вот еще один важный и часто используемый результат. 2.3.4. Лемма. Пересечениелюбого бесконечного множества вложенных друг в друга отрезков 1п+! С 1„, ]ап+!,Ь„+г] С ]ап,бп] прилюбом и = 1,2,..., длина которых стремится гс нулю, не пусто, т. е. имеется точка, принадлежа!моя всем отрезкам. По условию о, « ... о„ « ... 6„ « ...

Ьь Поэтому последовательность о„монотонна и ограничена, и в силу 2.3.3 сходится, о» вЂ” » о. Поскольку Ь„ = о„ + (Ь„ — о„) и Ь„ — о„ -+ О, то и Ь„-» о. Точка о в силу о„< о < Ь„приналлелшт всем отрезкам. м Вернемся, наконец, к доказательству критерия Коши. Как уже отмечалось, импликация «если о„сходится, то она является последовательностью Коши» вЂ” очевидна. Действительно, в случае о„-» о все о„при достаточно больших п оказываются в сколь угодно малой е-окрестности точки о, и там уже о„от о не могут сильно отличаться (не более, чем на 2е). Пусть теперь о„— последовательность Коши.

Покккем, что она имеет предел. Возьмем произвольную сходяшуюся к нулю последовательность е,,..., е»,..., где все е» > О. И пусть Ф!,..., Лг»,... таковы, что (о„— о ) < е» при п,гп>Ф». Тогда все о„при п > 2У» принадлежат отрезкам уь = (он„— ею он, + аз), 27 2.4. Число е и другие пределы Переходя в (2.1) к пределу (и -г оо) при фиксированном й, получим неравенство 1 1 ! е>1+ — + — + ..+ — =Уь 1! 2! Й! справедливое при любом й.

Кроме того, очевидно, х„< у„. Теорема о трех собачках в итоге приводит к еше одной полезной формуле для числа е, (2.2) Вот пример «из другой оперы», самостоятельное значение которого «никакое»„ но он иллюстрирует возможную технику манипулирования. Рассмотрим вариаптуз! хл = Р+ Р+ ". + з/Р. и радикалов На каждом шаге (при увеличении н) последнее р в записи х„меняется на р+»/р, поэтому х„возрастает. Ограниченность легко устанавливается по индуюгии. Неравенство х„< з/р+ ! верно при и = 1, а в предположении его справедливости лля и — 1, оно оказывается таковым и для н: хз„тр+Х- <р+ /У+!< (з/р+ !)'. Поэтому лемма 2.3.3 обеспечивает х„-г а. Значение а определяется переходом к пределу в равенстве х» т р + х„,, что дает для а квадратное уравнение 3 а' — а-Р=О.

т Вернемся к рассмотрению варианты (1+ 1/и)". Из установленной монотонности ее возрастания вытекает неравенство (1+ 1/и)" < е, что после логарифмирования дает и 1и (1+ 1/и) < 1, откуда 1 / 1з — > !и ~1+ — /! = 1п(а+ 1) — 1пп. и ~ и) Суммирование и первых таких неравенств приводит к ! 1 1 Ь„= 1+ — + — +... + — > 1и (и + 1), 2 3 и что влечет за собой расходимость последовательности /г„. В случае неопределенности х„/у„типа со/оо нередко помогает теорема Штольца: 2.4.2. ТаораМа ШТоЛЬЦа.

Если последовательность у„монотонно возрастает и у»-++со, то обе последовательности х» х«х»-~ и У У» У»-~ имеют одинаковый предел (либо обе расходятся). Зто синоним яля числовой последовательности. 28 Глава 2. Последовательности и пределы Это довольно тонкий инструмент. Его доказательство никуда далеко не уводит, но требует определенной виртуозности, и может рассматриваться как достаточно сложное упражнение.

Теорема Штольца особенно хорошо работает в ситуациях типа следуюшей; о~+...+а» О» -Ф е -г о. и Результат моментально вытекает из (2А.2), если положить я„=о, +...+е„, р„=п. 1+Я+ Л+...+,»Я 1. 1пп = 1. 1 +2 +...+п" 1 2. Еш -к п»ь' Ь+1 2.5. Леммы Больцано — Вейерштресса и Гейне-Бореля 2.5.1. Определение. Пусть ггь — произвольная расходящаяся последовательность целых чисел. Последовательность и„, называют подпоследовательностью последовательности а„. Упражнение Если а» -+ а, то и любая подпоследовательность а»ч -г о. 2.5.2.

Лемма Бопъцано-Вейврштрвсса. В ограниченной последовательности а„всегда мохсно выделить сходящуюся подпоследовательность. Это удобный инструмент для проведения рассуждений и доказательств во многих ситуациях. Результат визуально очевиден, поскольку ясно, что у ограниченной последовательности должны быть точки сгущения, содер:кашне в своей окрестности бесконечное число членов о„. Тем не менее, попытка строгого обоснования этого факта может вызвать затруднения. Это, кстати, нормально.

Краткость доказательства или очевидность задним числом вовсе не свидетельствует о его легкости. Поначалу может «не хватать идеи». 2.5. Леммы Больцане — Вейершграсса и Гейне — Бареля 29 Итак, в силу ограниченности, все а„принадлезкат некоторому отрезку 1» — — [а, Ь[. Рашелям Хь пополам и выберем ту его половину 1„которая содержит бесконечно много элементов а„. Затем разделим 1, пополам и выберем ту его половину 1,, которая содер:кит бесконечное число элементов а„. Продолжая процесс до бесконечности, получим бесконечную цепочку вложенных отрезков (2.3) 1» .з 11 О " .з 1» О " ., длины которых стремятся к нулю. В силу леммы 2.3.4 все 1» имеют общую точку с. Любая подпоследоватсльность агч б Х» будет сходиться к с.