В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (Тихонов В.И. Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982)), страница 119

е. а (х„) = О, и что в этих точках функция а (х) имеет непрерывную производную а' (х„) + О. Нетрудно убедиться, что 6[а(хЦ=~ [а'(х ) ! (1-!7) Иначе говоря, б [а (хЦ равна последовательности дельта-импульсов(рис. 1-2,в) при х = х„с площадью [а' (х„Ц-т. Для доказательства формулы (17) разделим ось х на интервалы (с;, со+о) таким образом, чтобы функция а (х) изменялась монотонно в этих интервалах, т. е. при с; < х < с;+м Если интеграл с бесконечными пределами от выражения [(х) б [а (хЦ представить в виде суммы интегралов в примыкающих интервалах (с;, свох), то из выражений типа (1 6) получим формулу (17). Возвратимся теперь к первому равенству (7): сбп а (х — х,) б (х — хо) =1пп (1-18) а и (х — хо) В результате использования этого соотношения получаем Вш " 1(х) бх [(х).

ае о а (л — хо) Рассмотрим более общий случай. Пусть функция а (х) является монотонно возрастающей в интервале (а, Ь) и пересекающей ось х в точке хо этого интервала (рис. 1-2, а): а (а) < а(хо)=0 < а (Ь). Для монотонно возрастающей функции уравнение а(х) = 1 имеет однозначную обратную функцию х (1), причем х (0) = хо. Произведя формальную замену переменных, на основании (6) получим Ь а ЬЫ ](х) 6[а(хЦ о(х= ), б(Г)о(1= = о (1.16) Г б [х (гЦ 1 [х (ОЦ 1(хо) ,3 а' [х (ГЦ а' [х (ОЦ а' (х,) а а (а) Следствиеи выражения (!8) является важное тождество — еа((к "'1 "ни= ) е+ зл((к к'1 но=6(х — хо). (1-19) 1 2л Действительно, ок — ) ее!(к к')ио(и=!!пт — ее !(к — ко)и !и=Ею к — к и ° 1 к к .

з(пл(х хо) 2л а.о 2л,) а-о л (х — хо) Понимая в тождестве (19) под х время (, а под переменной интегрирования и круговую частоту а, получаем представление дельта-функции б (( — (о) интегралом Фурье: 6 (( — Го) = ) еоо'(( ~'~йо= — ) сова(à — Го) о(а. (1-20) 2л,) Из обратного преобразования Фурье с использованием формулы (6) находим спектральную функцию для 6 (( — (о) 6 (г г ) — !и( кг е — !е(.

(1-21) При !о —— 0 отсюда следует, что спектр функции 6(() равномерный на всех частотах с интенсивностью, равной единице: б (() е '" б! = 1. (!-22) Тождество (19) позволяет установить связь между дельта-функциями для обычной г и круговой частоты а. Так, понимая во второй части равенства (!9) под х обычную частоту Г, а затем делая замену переменной з = 02л, получаем 6(о о) )' а тл((! — !о)(б( )' ее((а — ио]( (( 2л ) ех зи! (а — еа(зо(з=2лб(а — ао) б () (о) = 2л 6(а — ао).

Следовательно, 612 (1-25) Если спектральной функцией для дельта-функции, расположенной в нуле, является постоянная величина, то спектральной функцией для полусуммы двух дельта-фуннций б (Г+ (,) и б (( — (о), симметрично расположенных относительно начала координат, является косйнусоида. Действительно, 1 Г 1 (б ((+Го) +6 (( — Го)) е !е Л= — (е(" '+е '"') =сова(о. (!23) 2,) 2 Из обратного преобразования Фурье получаем 1 — (6 (1+(о) +6 (( — Го)) = — ) соз а(о е!"~ о(а = — ) соз а(о соз аЫа.

(1-24) 2 ' 2л,) л,) о Приведем еще одно полезное равенство, следующее из (15) и (19): ~ соя( )хг(х=алб(ю*оэр)=лб( ) ° о (1-26) Воспользовавшись тождеством (19), находим преобразования Фурье для косинуса, синуса и единичного скачка: е !вгсояюяСМ= — ) е !ог(е!ед +е !м'~)г(1= 1 2 = гт (б (ы — юо) + б (ю + юе)) — (' 1 е !о~я!ноготь= —, ~ е !е~(е!о'г — е !"' )М= 21,) !л (б (и+и ) б (ы я)] (!-26) (1-2?) 1 Г, Г ! — ) (1+янп!) е !о~ г!1= ) е !"г Ж=лб(ю)+ —, ° (1-29) 2 !ю о Последнее соотношение следует из того„что преобразование Фурье функции 1 прн 1>О, Яйп1= — 1 при 1<О равно 2г!ю. Действительно, обратное преобразование для функции 2/)ю дается вырагкением 1 Р 2 г !' Бпйг Г я!Пю! — ) — е!о йо= ) — йо=2 ) — Йо=яйп1. 2л,) )ю лог лОЗ о е "!" !"="'! '= ~Ч~Р ~п сов 2лл (х — хя) Т,= и=- И=о — б(х — х,— — ), (1-30) где с о = ! Е и = 2 при и ~ О.

Справедливы также следующие соотношения: ( — 1)" Епсоя2лп(х — х„) Т,= — ~ б(х — хр — — ), (1-31) Т, ла ~ ' 2Т, )' «г=- л= ~„соя 2л (х — хя) Т,сов 2лпу=- — [б(х — хо+у+ — )+б(х — хн — у+ ™ )~', (132) а=- 613 Разлагая в ряд Фурье периодическую последовательность дельта-функций б (х — х, — т(Те), т = О, ~1, ~2, ..., получаем формулу Х 1 кл ! и 1 с „соз 4пи (х — ка) Та = ~~ б ( х — хр — — ! ° (1-33) 2Та ~ Та ! л=— и=— Применяя формулу (34) к двукратному интегралу вида ьь к'=) ) г(х, у) 6" (х — у) дхду, аа получаем, что прн выполнении равенства дз((х, у)1 „дз)(х, у) ~ )." (у, у) =,' ( =)у" (х, х) = дх' ~к=у " ' ду' )ук порядок интегрирования с дельта-функцией не имеет значения, т.

е. ь Ь к =) 1' (у, у) ду =) 1„" (к, х) дх. (1-38) (1-37) Аналогично дельта-функции одного аргумента можно ввести двумерную дельта-функцию бз (х — хо у — уа) = 6 (х — ха) 6 (у — уа) определив ее как единичную массу, сосредоточенную в точке (х„у,). Для двумерной дельта-функции справедливы соотношения Ц 6,(х — к., у — уа)дхду=), (1-38) О й (к, У) бз (» ка У Уа) ахду=)(ха Уа) (1-39) )(х у) бз(х — ха, у — уа) ду=((х, уа) 6(х — х,).

(1-40) Приложение П СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ к 1 Ф (х) = — е Г дт, Ф ( — х) =1 — Ф (х) . (/2п (П-1) к 2 Г (х)= — ) е ~ Ж. )к'и 1 ег1 (х) = — е д(, ег1с л~ (П-2) 614 Применяя формальное интегрирование по частям, можно убедиться, что свертка производной и-го порядка дельта-функции с любой функцией, имеющей непрерывную производную и-го порядка в точке х„равна ка+з у(х) 6(л1(х ха) Их=( 1)л(да1(хо) з)0 (134) к,— а Если пРоизводнаЯ 1<л> (х) имеет в точке ха РазРыв пеРвого Рода, то к,+к л ((к) бглг(х — ха) ух=( — 1)л — (,1'"1 (ха+)+/1а1(х;)), з)0.

(1-35) 2 ! Ф (х) = ! — — ег1с( = , ег1 (х) = 1 — ег1с (х). (, )/2 /' ГВ (и) 1 в (з) — !(х, у) бх = ~ 1„' (х, у) 3х +8' (у) ! ф (у), у)— а (з) а (з) — а' (у) 7 (а (у), у) . (11-3) (П-4) .Рг( — —; —; — — кз =е к ( -)- )/2пхф(х) — х «к 2 ' 2'. 2 ) )г 1 (Ьх) ехр ( — рз хр) хы ( «(х= о "ежа г.' 2рыГ(т+П ( 2 4р' (П-5) (П-6) Право- и левосторонние пределы функции 7 (х) обозначаются соответственно Д (хе+О) Бш ! (х) ! (хр О) 1пп ! (х) к)х, к)к, (П-7) Неравенство Шварца — Буняковского для двух фуыкций7(х) ну(х) ымеет вид )з ~Р(х)д (х)дх -я,' ) !)(х) )збх ) )д(х) (збх, (П-8) причем знак равенства имеет место в том н только в том случае, когда (П.9) у (х) = с 7 (х), СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник для университетов.— 5-е изд., стереотип. — Мл Наука, 1969.— 400 с. 2. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. — Мл Наука, 1979. — 496 с. 3. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб. пособие для вузов, — М.( Наука, 1978. — 224 с. 4. Веытцель Е.

С. Теория вероятностей: Учебник для вузов, — 3-е изд., нспр. — Мл Науыа, 1964.— 576 с. 615 где с — некоторая постоянная. Если отношение ! (х)/д (х) остается ограниченным, когда х стремится к своему пределу, то пишут 7 (х) = О (д (х)) и говорят, что «7 (х) имеет порядок, не больший, чем у (х)». Еслы 7(х) lу (х) стремится к нулю, то пишутся (х) = о (у (х)) и говорят, что «7 (х) высшего порядка малости по сравнению с д (х)р. Если 7 (х)(у (х) стремится к единице, то пишут у (х) - д (х) и говорят, что «/ (х) асимптотическн равна у (х)э. Функция Бесселя и-го порядка от мнимого аргумента зп ксор 1ю (х) = — е» со' е соз т(р(йр.

(П-! О) о 5. РвропНв А. РгоЬаЬг1!1у, г одою чаг!аЫев апб МосЬаН!с ргосемез. — Нечг ЛогЕ: Мсбгаю-Н!!1 Воо1< Со,, 1965.— 584 р. 6. Лукач Е. Характеристические функции: Пер. с англ. — Мл Наука, 1979. 7. Оберхеттингер Ф. Преобразования Фурье распределений и их обобщения. Таблицы: Пер. с англ./Пер. М. С. Никулина. — М.: Наука, !979.— 248 с. 8. Крамер Г.

Математические методы статистики: Пер. с англ.— Мл Мир, 1975. 9. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. — Мл Сов. радио, 1961.— 558 с. 10. Малахов А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. — Мл Сов. радио, 1978. — 376 с. 1!. Таблицы функции ошибок и ее первых двадцати производных: Пер. с, англ / Пер.

Л. С. Барк и Л. Н. Большева. — Мл ВЦ АН СССР, 1965. — 276 с. !2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения в 2-х тл Пер. с англ. Т.2: /Пер. Ю. В. Прохорова.— Мл Мир, 1967.— 752 с. 13. Сарманов О. В. Замечания о некоррелированных гауссовских зависимых случайных величинах. — Теория вероятностей и ее применения, 1967, т. 12, вып. 1, с. !41 — 143. 14. Мавопвоп М. Оп 1Ье баивв!ап вшп о1 баия1ап чаНа1ев, 1Ье поп-йаивз!ап вшп о1 баня!ап чаг!а1ез апб 1Ье йашяап вшп о1 поп-баизв!ап наг!а1ез.

— Ргос.! ЕЕЕ, 1967, ч. 55, № 9, р. 166!. 15. Вюмп 3. 1.. Оп Гйе ехрапяоп о1 1Ье Ычаг!а1е йаию1ап ргоЬаЬ1РИу бепв!1у ив!пй гевиИв о1 поп11пеаг 1Ьеогу. — 1ЕЕЕ Тгапз., 1968, ч. !Т-14, № 1, 16. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений: Пер, с англ./Под ред. А. Н, Колмогорова. — М.: Наука, 1966. — 588.с. 17. Тихонов В.

И., Миронов М. А. Марковские процессы. — Мл Сов. радио, Г977. 18. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайвые процессы: Пер. с англ./ Под ред. Ю. К. Беляева. — Мл Мир, 1969. — 400 с. 19. Дуб Д. Вероятностные процессы: Пер. с англ. Мл ИЛ, 1956. — 606 с. 20. Горяинов В. Т., Журавлев А. Г., Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи: Учеб. пособие для вузов.