В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (Тихонов В.И. Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982)), страница 118

Зададимся следующей линейной оценкой: С (1) — а "З(1 )+Ь К(1,) и докажем, что если Ь = О, то процесс $ (1) должен иметь экспоненциальную корреляпионну1о функцию. Оптимальные значения коэффициентов а и Ь, как и в предыдущем примере, определяются соотношением М ((8 (1) — й (гт) — ЬР.((з)] 1=О, $((т) ) еь (гз) 1 т. е. )( (1 — 1г) = аЯ (0)+ Ы (11 — 1з) = О, Й (1 — гз) = аЯ (гт — 1з) + Ы (0).

Полагая Ь = О, отсюда получаем Й (1 — (з) = )т (1 — гт) )т ((т — (з)И (О) или Я (лт + Хз) '* Я (Х,) )] (ьз)/Я (0), лз = 1 — 11, Ха ° 11 — (з. Известно, что 606 единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей этому равенству при любых Лт и Лз, является экспоненциальная функция вида Й (т) = — с ехр ( — а ]т]). Отметим, что при определенном таким образом коэффициенте а разность с(1)— — а 3 (Гт) ортогональна я (1з).

Однако само 4 (Г) не обязательно ортогонально $ (гз). Поэтому если В (Гх) неизвестно или известно неточно, ~то знание 3 (Гз) будет улучшать оценку з (1). Такое свойство харантерно для марковских процессов. Если рассматриваемый процесс К (Г) гауссовский (для него линейная оценка является оптимальной), то он одновременно является и марковским. Пример 5.11.5.

Нужно получить линейную оценку значения стационарного дифференцируемого процесса 3 (1+ Л) по известным значениям процесса 3 (1) и его производной К'(Г) = п$ (1)?пт в другой момент времени. Напомним, что для дифференцируемого стационарного процесса производная от корреляционной функции должна удовлетворять условию Я' (О) = О. Ищем линейную оценку в виде з (1+ Л) — ая (1) + Ь|' (1). Оптимальные значения коэффициентов находим из условия, что ошибка ортогональна $ (1) и ч'(1): М((з (1+Л) — аз (1) — Ь$' (1)], ) =О.

% (1) й (1) С учетом формул (5.6.16) и (5.6.17) получим )? (Л) = а)с (О), — )с' (О) = — ЬЯ" (О). а = Я (Л) / Я (О), Ь = Я' (Л) ? ??" (О). Отсюда Значение среднего квадрата ошибки определяется выражением езпзп = М((я (1+ Л) — а $ (1) — Ьз'(1)] 5 (1 + Л)) = Р (О) — аЯ (Л) + Ы' (Л). Для малых значений Л имеем )?' (Л) — ??' (О)+Я" (О) Л=Я" (О) Л, а — 1, Ь хз 1 и, следовательно, З (Г+ Л) — $ (1) + ЛЗ' (1), что согласуется с обычной методикой вычисления приращения непрерывной функции. В примере 5.11.2 получена оптимальная оценка стационарного дифференцируемого процесса по наблюдению, представляющеиу собой сумму этого процесса и шума.

Нетрудно убедиться, что принцип ортогональности приводит к такой же оценке производной. Пример 5.!1.6. Требуется оценить значение определенного интеграла от стационарного случайного процесса 3 (1) по значению процесса в конечных точках интервала интегрирования: г )г я (1) Ш аз я (О) +от з (Т) . о Согласно (8) постоянные а, и аз должны удовлетворять соотношению м(((аен — лм — п<ч] )-а, 1 Ц (0) о ~ 8(Т) г Т т. е. ]г)1 (1) М =аз Я (О)+ах Я (Т), ]с Я (Т вЂ” 1) Й =аз)? (Т)+а, )? (О). о о Интегралы в левых частях обоих уравнений равны. Поэтому Т и, =а.

=] 11 (1) й ()? (О) +)с (Т)]-т. о Для малых значений Т = йТ -ь 0 отсюда имеем аз ат из йТ?2 и приходим к известной трапецеидальной аппроксимации: г ~» (1) б( - (5 (0)+5 (Т)] йт?2. з 60? Результаты данного примера можно обобщить. Пусть требуется оценить значение интеграла не через два, а через несколько зквидистантных отсчетов процесса, т. е. ит )Г ь (1) йе - ась (0) + аз и (Т) +... +ан $ (иТ).

о Воспользовавшись принципом ортогональностн, для определения л + 1 постоянных аг, ! = 0,1, ..., и, получим систему п + 1 лиаейных уравнений пт ~ 11 (!Т вЂ” 1) йе =а< )! (1Т) +... +а; 1! (0) +... +ни Л (!Т вЂ” лТ), 1 =О, 1,..., и. о Пример 5.11.7. Требуется получить линейную оценку производной сигнала з'(1) по результатам наблюдения процесса т) (1) = а (1) + и (1) на всей временной осн ! (от — со до сс). В качестве линейной оценки примем следующую: (1) ) т! (1 о) й (") й" Для определения оптимальной весовой функции й (1) имеем уравнение !1, „(! — и) = ) 1!ч (! — о — и) А(о) йо для всех и.

илн ПолагаЯ ! — и == т, можно написать )С,, ч (т) = ) )Еч(т — о) й(о) йо. Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей и учитывая, что преобразование Фурье от Л,,ч (т) есть ! ю 5, (ю), находим частотную характеристику оптимального линейного фильтра вч( ) ч( Оптимальный фильтр можно представить в виде последовательного соединения линейной системы с комплексной частотной характеристикой (20) и днфференциатора с частотной характеристикой )ю. Приложение 1 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ Формально дельта-функцией 8(х — хе) называется такая функция, которая равна бесконечности, когда ее аргумент равен нулю, и равна нулю при остальных значениях аргумента (рнс. 1-1), причем интеграл от дельта-функции, распространенный на сколь угодна малый отрезок, заключающий особую точну х„ равен единице: оз при х=х, 8 (х — хе) = 0 при х~х,; х,ба 8(х — х,) йх=! при любом е)0. х,— а 608 Рассмотрим функцию в виде прямоугольного импульса 1/а при х,— (а/2) < х< хо+(а/2), ф (х — х)= 0 при других х.

Для такой функции при всех а ) 0 справедливо равенство 0 хр фа (х — хо) Ых=1. Рнс. 1.1 Дельта- функция Если теперь положить а-о О, то ширина импульса будет стремиться к нулю, высота к бесконечности, а площадь под кривой будет постоянной и равной единице. Поэтому можно принять 6(х — хо) =!!ш фа (х — хо). а-оа Хотя функция в виде прямоугольного импульса является простым прототипом дельта-функции, однако она разрывна. Во многих задачак бывает удобно исполь- зовать исходное семейство функций, обладающих производнымн. Укажем не- сколько таких семейств: ! 6 (х — хо) = — 1!ш а-о Г":-"."'3=.'-.( - '.—.

= — !нп а (х хо) и а-о ехр ~ — ~) = 5!По а (х хо) а (х хо) (х — х))+а (х — хо) — а 1 = — !!ш ~ н а-» 1 К 1 = — !!ш 1нп н а-о ао (х — хо) +! мо (х — хо) а-оо Я =1!ш ~ ф„(х) ф„(хо) л=о где гр„(х) — любая полная ортонормированная система функций. Справедливы также следующие формальные соотношения: 1 до 6(х — хо) = — — ) х — хо )) 2 дхо (1-7) (1ой) 609 Часто желательно определять дельта-функцию так, чтобы она была четной функцией своего аргумента: 6 (х — хо) = 6 (хо — х).

(1-2) ха х,+е В этом случае ~ 6(х — х,) о(х-.= ) 6(х — хо) о(х=)72, з)0 хо — О хо Дельта-функцию можно понимать как предел бесконечной последовательности обычнык функций. Пусть имеется функция р (х), непрерывная в точке хо, н дано семейство обычных функций фа (х), таких, что ь 1!ш )г ) (х) (ра (х — хо) о(х =) (хо), а < хо < Ь. (1-4) а-~ао о Тогда функция 6 (х — хо) может быть записана в виде предела 6 (х — хо) = 1!") 'Ра (х — хо) со ' ао (1-5) понимаемого в том смысле, что величина 7 (х,), определенная соотношением (4), следует из формальной занисн ~)(,) 6(...)б,=~ )(") пр" '< "<Ь (!О) с)т(х-х,) ( 0 при хо< а или хо> Ь.

1 д ( с при х.'<',х„ 6 (х — х,) = — — ф (х), ф (х) =~ Ь дх ~, с+Ь пря х) хо. Использование дельта-функции позволяет во многих случаях значительно упростить н в известном смысле автоматизировать вычисления. Это объясняется тем, что дельта-функция обладает-рядом замечательных свойств. Важнейшее нз них выражается формулой (6), и его часто называют фнльтрующим свойством дельта-функции. Не прибегая к строгому предельному переходу (4), формально формулу (6) можно получить так.

Поскольку 6 (х — хо) всюду равна нулю, кроме точки хо, а в бесконечно малой окрестности точки х, непрерывная функция / (х) приблизительно постоянна и равна / (х,), то, вынося ее за знак интеграла н используя формулу (1), получим (6). Если рассматривать / (х) как входной сигнал, воздействующий на линейный фильтр с импульсной характеристикой б (х), то на выходе такого фильтра согласно формуле (6) будет выделено (отфильтровано) лишь одно значение входного сигнала, соответствующее нулевому значению аргумента дельта-функции. Отсюда следует, что 6 (х — хо) имеет размерность, обратную величине х. се(х) а х х ш4х сс(х/ ф Рис.

1-2. Общий случай хо 6 х а) Отметим, что при хо — — а или хо = Ь интеграл (6) оказывается неопределенным. Иногда (если, конечно, зто не приводит к физическим недоразумениям) принимают ) /(х) 6(х — х,) о(х=1 ( /(а)/2 при хо — — а, (1-9) ( /(Ь)/2 при хо —— Ь. Если хо является точкой разрыва первого рода функции / (х), то ь 1 /(х) 6(х — хо) о/х= — (1(хо+)+/(хо)), а(хо<Ь, (1-10) 2 а где / (хо+) и / (хо ) — значения функции / (х) справа и слева от точки разрыва.

Если функция ф (х) непрерывна в точке хо, то ф (х) б (х — х,) = ф (х,) б (х — х,), (1-11) так как о Ь ~ Я (х) ф (х) б (х — хо) о(х =/ (хо) ф (хо) =)г / (х) ф (хо) 6 (х — хо) о(х, а ( хо ( Ь. а а В частности, Ь ) 6 (х — и) б (х — о) о(х=б (и — о) = 6 (и — и), а ( н, о ( Ь .

(1-12) а Произведя замену переменной интегрирования у = сх и воспользовавшись формулой (6), получим соотношение 610 ьо ~ [(х) б(сх — хо) о[к= — ~ У( — ) б(у — х,) о(у= — ]( — '), а ао а<х, [с[-г<Ь. (1-13) Поэтому можно написать "о ~ б (сх — хо) = — б ~ х — — ) . (1-14) [с! [ с Применяя формулу (6) раздельно к функциям аб (х — х,) и б ((х — хо)/а), нетрудно убедиться в справедливости равенетва [а! б (х — х,) = б ((х — хо)/а).

(1-15) Если а(х) является монотонно убывающей функцией, то знак получаемой зависимости будет обратным из-за перестановки пределов интегрирования. Таким образом, для обоих случаев вышеприведенный интеграл будет равен [ (хо) ! а' (хоЦ-т. Поэтому в формуле (6) можно полагать б [а (хЦ = б (х — хоИ а' (х,) !. Если функция а (х) не пересекает ось х в интервале (а, Ь), то интеграл равен нулю. Предположим, что равенство а (х) = 0 выполняется для конечного или бесконечного счетного числа точек х„на всей оси х (рис. 1-2, б), т.