Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание), страница 12

овщля твогвмл о повтогвнин опытов Пользуясь понятием производящей функции, можно сформулировать обшгю теорему о повторении опьыов в слсагюшем пиле. Вероятность того, что событие А в л независимых опытах появится ровно и раз, рзвна коэффициенту при г~ в выражении производящей функции: где р,— вероятность появления события А в 1-м опыте. о,=1-о,, Вышеприведенная формулировка общей теоремы о повторении опытов в отличие от частной теореиы не дает явного выражения для вероятности Р, „, Такое выражение в принципе написать можно, но оно является слишком сложным. и мы не будем его приводить.

Однако, не прибегая к такому явному выражению, все же можно записать общую теорему о повторении опытов в виде одной формулы: П (Чг + РФ 2,а Рт лз (4.2.1) Левая и правая части равенства (4.2.1) предстазляазт собою одну ту же производящую функцию а„(г), только слева она написана 'виде одночлена, а справа — в виде многочлена. Раскрывая скобки левой части н выполняя приведение подобных членов, получим все амроятности: Ра„, Р,л,...,Р„„ к коэффициенты соответственно при нулевой, первой и т. д. сте- Ф нях а. Очевидно. частная теорема о повторении опытов вытекает ив 1)бщей при Р=р= ° ° ° =р =р 41 = Ча = ° ° = Чл = Ч В этом случае производящая функция обращается в и-ю степень ймнома (у+рл): т' (з)=(ч+ра)"* Раскрывая вто выражение по формуле бинома, имеем: (о+-ра)"= ~ С„р 4" т=0 Ьфуда следует формула (4.1.1). ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ [ГЛ. 4 Отметим что как в общем, так н в частном случае сумма всех ВЕРОЯтНОСтсй Рт „раВНа ЕРВН ~Р ° т,в=-1.

тВВ (4,2 2) откуда, по теореме сложения, гс „=Р „+Р, „+ ... +Рв или короче (4.2.3) При вычислении гг „часто бывает удобнее не пользоваться непосредственно формулой (4.2.8), а переходить к противоположному событию и вычислять вероятность гтт „но формуле т — 1 Пример 1. Производится 4 независимых выстрела по одной н той же цели с различных расстояний; вероятности попадания прн зтнх выстрелах равны соответственно р1 — — О,1; р,=0,2; рз 0,3; р„=0,4, Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех н четырех попаданий: Рмп Рь;, Реп Рь и Рзи.

Решение. Составляем производящую функцию: ч, (г) = И (нг+ р1г) 1=1 (О 9+ 01г) (О 8+ О 2г) (О 7+ 0 Зг) (О 6 + О 4г) = 0,302+ 0,440г + 0,215гг + 0,040гз+ 0,002г', откуда Ре, —— 0,302; Р1и * 0',440; Ран 0,215; Рьч = 0040; Р, = 0,002. Это следует прежде всего из того, что события В, тз1, ..., 8„ образуют полную группу несовместных соб пия. Формально к равенству (4.2.2) можно придти, полагая в общей формуле (4.2.1) я =1.

Во многих случаях практики, кроме вероятности Р „ровно гм появлений события А, приходится рассиатривать вероятность и е м е н е е ш появлений события А. Обозначим Ст событие,, состоя1нее в том, что событие А появится не менее а раз, а вери1яощв собьп и С ооозначим Й Очевидно, Ст=В„+В „,+ ... +В„ 65 овшля тпоппмх о повтоввиии опытов П р и мер 2. Производится 4 независимых выстрела в одинаковых уело. вилх, пРпчем веРоЯтность попаданиЯ Р есть сРеднЯЯ нз веРоЯтностей Ро Рь Ре Р.

прслыдущш о примера; 1 Р = (Р + де+ де+ рд) =0,25. 4 Найти вероятности Решен не. По формуле (4.1.1) имеем: Ре, = д'= 0316' Р, = С Р~У' = 0,421; 1 3 Рт 4 С~р~т~ 0 21 1 ' зи = о(Р ч = и гни Уьье = Р = 0,004. Пример 3. Имеется 5 станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь прерывается нз-за зтмосферных помех. Вследствие удаленности станций перерыв друг от друга связи с каждой из иих пронсхо. дит независимо от остальных с вероятностью р 0,2. Найти вероятность того, что в данный момент времени будет иметься связь не более чем с двумя станциями. Решение. Событие, о котором идет речь, сводится к тому, что будет нарушена связь не менее чем с тремя станциями.

По формуле (4.2.3) получим: Рз з — — Рз з+ Ре з+ Рз з — — Сзз ° 0,2з ° 0,8 + Сз ° 0,2" ° 0,8+ 0,2 = 0,0512+ 0,0064+ 0,0003 = 0,0579. П р и и е р 4. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 10 единиц. Каждый из объектов может быть (независимо от других) потерян с вероятностью О,!. Найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян. Решение.

Вероятность потери хотя бы одного объекта Рь.э можно было бы найти по формуле )гьы — — Р,не+ Рен, + ... + Рыле, но несравненно проще воспользоваться вероятностью противоположного события — ии олин объект ие потерян — и вычесть ее из единицы: етгие ! 'оо ы 1 09 065' Пример 5. Прибор состоит из 8 однородных элементов, но может работать при наличии в исправном состоянии не менее 6 из ннх.

Каждый из элементов за время работы прибора Г выходит из строя независимо от других с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что прибор откажет за время Г. Решен ие. Для отказа прибора требуется выход из строя не менее лвух из восьми элементов. По формуле (4.2,4) имеем: гсцз=1 ('и э+ Р1з) 1 — (0,8 +Се 0,2 0,8г) ж 0,497. П р имер 6. Производятся 4 независимых выстрела с самолета по самолету. Вероятность нопадаиия при каждом выстреле равна 0,3. Лля 5 е. С.

Бентчель 55 ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ [Гл о Р(А) =Р(Но) Р(А [ Но)+Р(Но)Р(А [Но). Имеем Р(Но) =Ро,с =07 =0.240' Р (Н[) Рт о Со ° 0,3 ° 0 7 0,412; Р(А[Но) 1; Р (.4! Но) = 1 — 0,6 = 0,4, Следовательно, Р (А) = 0,240+ 0,412 ° 0,4 яз 0,405, Р (А) = 1 — 0,405 = 0,595. откуда попая;сипя (зыхотз пз строя) самолета заведомо достаточно двух попаданий; при одном понадзинн самолет норзжзепж с всростпссгзю о,6. ([зйтп ге[ оят- ность того, что самолет будет поражен. рс -ение Пзозча решзется по формуле полной вероятности.

Можно было бы расс-отреть гипотезы гг, и гзчолет попал 1 снаряд, Н, — в самолет попало 2 снаряда, Но†в самолет попало 3 снаряла, Н, — в самолет попало 4 снаряда п находить вероятность события А †поражен самолета — с помощью зтих четырех гяпотез. Однако значятельно проще рассмотреть всего две гипотезы: Но — в самолет не попало нн одного снзр .ы, Н, — в самолет попал 1 снаряд, я вычислять вероятность события А — непорзжеиия самолета: ГЛАВА 3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 6.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения В разделе курса, посвященном основным понятиям теории вероят. ностей, мы уже ввели в рассмотрение чрезвычайно важное понятие случайной величины. Здесь мы лздим дальнейшее развитие этого понятия н укажем способы, с помощью которых случайные величины могут быть описаны и характеризованы. Как уже было сказано.

случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее — какое именно. Мы условились также различать случайные величины прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин ' могут быть ааранее перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть ааранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток. Примеры прерывных случайных величин: 1) число появлений герба при трех бросаниях монеты (возможные значения О, 1, 2, 3); 2) частота появления герба в том же опыте (возможные значе- 1 2 нияО,—,—, 1); 3' 3' 3) число отказавших элементов в приборе, состоящем на пяти элементов (возможные значения О, 1, 2, 3, 4, б); 4) число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя (возможные значения 1, 2, 3, ..., п....); 5) число самолетов, сбитых в воздушном бою (возможные зна-.

чения О, 1, 2, .... АГ, где М вЂ” общее число самолетов. участвующих в бою). Примеры непрерывных случайных величин: 1) абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле; 2) расстояние от точки попадания до центра мишени; 3) ошибка измерителя высоты; 4) время беаотказной работы радиолампы. 68 .СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [ГЛ. З Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать боль11111чн Ггиез1П1. " Вх еоз11ожные знз 1с1111я — Геотэс!'стз119 ~~ ч! н буквами. Например, Х вЂ” число попаданий прн трех выстрелах; возможныс значения: х = 0; х. —..

1; х =-- 2; х4 3' ! рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями хн х,, ..., х„. Каждое нз этих значений возможно, но не лостоесоно. н вслячпнз Х мож т прш1ять ка>хдос нз ннх „- некого рой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно нз этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий: Х=х,, 1 [5.1.1) Х=х„. Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами: Р[Х=х!)=р;, Р[Х=х)=р; ...; Р(Х=х„)=р, Так как несовместные события (6.1.1) образуют полную группу, то Х Р1=1 1 1 т.

е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единипе. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т, е. в точности ука1кем, какой вероятностью обладает каждое из событий (5.1.1). Этим мы установим так называемый закон распределенин случайной величины. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими нм вероятностями.

Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному вакону распределения. Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины Х. Простейшей формой задания этого закона является таблипа, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности: х, Х1 хе Ре Рп зл1 вяд ядспвидилиния.