Kriticheskie_urovni_1 (А.В. Жирмунский, В.И. Кузьмин - Критические уровни в развитии природных систем), страница 14

Онн описываются уравнением развития устойчивого типа х = — )ех (1 — т), где !г ) О, т ) О. Будем искать решения этого уравнения в экспоненциальной форме, для чего получим характеристическое уравнение з = — й ехр( — ит). Это уравнение при отсутствии колебаний (о =О) имеет вид и = — )е ехр( — ит), (3. 14) его графическое решение приведено на рис. 24. Наибольшее значение мт, при котором имеются решения, соответствует йт = 1!е, (3.15) при этом ит = — 1.

(3.16) Таким образом, соотношения (3.8) и (3.9) определяют ограничения на пространство параметров уравнения развития неустойчивого типа, а (3.!5) и (3.16) — уравнения развития устойчивого типа. Соотношения (3.9) и (3.16) содержательно определяют огра- ничения на пределы применимости функций плотности распределения математической статистики, в результате чего нейользуются при обработке экспериментальных данных, ориентированных на выявление диапазонов, внутри которых статистические совокупности однородны (Евтнхнев, Кузьмин, 1982; Кобринский, Кузьмин, 1981).

3.2. Критические уровни моделей аллометрического развития Гассмотрим общие свойства модели развития устойчивого типа, представленной уравнением (2.5): х = — Ее (1) х [Š— т (1)]. Будем искать решения уравнения (3.1?) в виде х = х, ехр [ — г (1) 1]. (3.18) В связи с тем что е(1) и т(1) являются переменными, темп изменения размера системы также ищется как функция времени. Из (3.18) следует х = хю [г (1) + г (1)] ехр [ — г (1) 11 (3.

19) и подстановка (3.18) и (3.19) в (3.17) приводит к уравнению г (1) Е + г(1) = Ее (1) ехр [ — г (Š— т) (1 — т) + г (1) 1]. (320) Тогда из (3.20) и (3.21) следует г(1.) 1. + г(1„) = Ею(1,) ехр[ — г(1.) 1,]. С учетом (3.22) перепишем (3.23) в виде 0 ) г (1.) Е, = — г (1.) + й (1,) ехр [ — г (1„) Е „].

Из (3.24) по.лучим г (1.) ) й (1.) ехр [ — г (1„) 1.]. Умножив обе части неравенства (3.25) на 1„, получим г(Е.) 1„) й (Е.) Е,ехр [ — г(1.) 1,]. (3.23) (3.24) (3.25) В связи с невозможностью иметь величину запаздывания, большую, чем возраст системы, что изменило бы класс уравнения (3.17), критической точке 1, соответствует условие 1.=т.

(3,21) Соотношение (3.21) общепринято как характеристика критического состояния. Класс процессов, у которых относительные приросты с возрастом убывают, определяется условием г (1,) ~(0. (3.22) Графическое решение этого неравенства (см. рис. 23) показывает, что оио выполняется только при г (1.) 1, = й (1,) Е. ехр [ — г (1,) 1,].

Тогда Ею (1,) 1. = 1/е г! (3.26) (3. 27) г (1,) Е. = 1. Отсюда, подставляя (3.27) в (3.18), получим х,/хю = !/е. Из (3.26) и (3.27) следует г (1,)/й (1.) = е (3.28) нли в результате чего оказывается, что оценкой концов стабильных траекторий снизу является константа, определяемая параметром аллометрического процесса В, т. е.

углом наклона траектории процесса на его линейном участке в двойном логарифмическом масштабе. Оценкой траекторий процесса сверху является случай, когда отсутствует запаздывание, т. е. процесс описывается уравнением х = — (В/1) х, интегралом которого является степенная фуннция х= АЕ в результате чего оценка сверху определяется соотношением х./хю ~ ~(1./Ею) (3.32) г(1,) = Ее(1,) е.

(3. 29) Выражения (3.26) и (3.27) характеризуют предельные условия развития, так как при переменных Ее(1) и т(1) их произведение не может быть больше значения, определяемого уравнением (3.26). В связи с этим достижение величиной й(1) границы (3.26) характеризует конец стабильного режима развития. Умножим правую и левую части соотношения (3.29) иа 1, и подставим полученные значения в (3.!8). В связи с тем что условие (3.21) дает оценку решений снизу, получим х,/хю Ъ ехр [ — г (1.) 1,] = ехр [ — й (1,) е1.]. (3.30) В разделе 1.3 говорилось о том, что широко распространены аллометрпческие процессы, у которых й(1)= В/1, т.

е. относительные приросты убывают обратно пропорционально возрасту системы. Рассмотрим аллометрическнй режим и подставим е(1) = В/1 в неравенство (3.30). Тогда х./х,) ехр( — Ве), (3.31) Из (3.3!) и (3.32) следует ехр ( — Ве) ( х./хч ((1./го) г./!о ( е' = 15.15426 ... откуда (3.33) Следовательно, отношение между значениями аргумента, соответствующими началу и концу стабильного аллометрического развития, является величиной постоянной и равной е" (Кузьмин, Жирмунский, 1980а, 1980б).

Исследование уравнения (3.17) для аллометрического режима, т. е. при /г(!) = В/!, на основе теоремы Красовского (1959) показало, что устойчивость тривиального и асимптотического решений обеспечивается вплоть до критической точки (Жирмунский, Кузьмин, 1982). Из (3.26) следует, что для базовой переменной величина показателя степени В (угол наклона в логарифмическом масштабе) является постоянной и равна В = 1/е. (3.34) Таким образом, критические соотношения детерминируют одновременно значения функции и аргумента в последовательных критических точках и характер перехода между ними, что находит отражение в экспериментальных данных в теории критических явлений (Фишер, 1968; Паташинский, Покровский, 1975; Ма, 1980). В этой теории введена гипотеза подобия (Паташинский, Покровский, 1975), в соответствии с которой пз большого набора характеристик, фиксирующих критические явления, выделяется одна— характеристическая длина.

Исследуется ее зависимость от разности температур (Т вЂ” Т,), где Т и Т, — соответственно текущая и критическая температуры. Зависимости для изменения остальных переменных в окрестности критической точки устанавливаются с использованием соотношений теории размерности. Такой подход в настоящее время вызывает большой интерес в связи с тем, что при введении единой системы эталонов для измерения различных физических величин делаются попытки использовать одни эталон — временной, а остальные рассчитывать с использованием зависимостей типа степенных функций, основанных на фундаментальных константах.

Различные физические характеристики представляют взаимосвязи между состояниями систем, которые характеризуют один и тот же либо разные уровни иерархии. Отсюда можно ожидать, что значения показателя степени отражают информацию о том, характеристики каких уровней иерархии представляют анализируемые данные. Например, зависимость между массой тела и массой скелета у животных описывается зависимостью, в которой В = 1, что определяет принадлежность этих характеристик к одному иерархическому уровню. Зависимость между длиной тела и длиной головы человека имеет В = 2.6, т. е. данные относятся к разным иерархибв' ческим уровням (длина тела является характеристикой целого, а длина головы — его части).

По результатам экспериментальных исследований, сведения о которых приводятся Фишером (1968) и Ма (1980), в степенных за- висимостях теплоемкости и спонтанной намагниченности от (Т— — Т,) показатели степени в первом случае представлены диапазо- нами 0.11 — 0.17, 0.13 — 0.19, 0.125 ч= 0.015, 0.14 ч 0.06, 0.07 — 0.14, а во втором случае составляют 0.32 — 0.36, 0.32 — 0.39, 0.312-+-0.03, 0.37-~-0.04. Эти значения близки соответственно к 1/е'=0.135... и 1/е = 0.367. Можно убедиться, что и для остальных характери- стик, по которым приводятся экспериментальные данные, они со- ответствуют критическим соотношениям ряда, который рассмотрен полностью в разделе 6.

Таким образом, величина показателя степени несет информа- цию о принадлежности анализируемых величин определенным структурным уровням. В этом случае две величины одного струк- турного уровня ие дают при совместном рассмотрении новой ин- формации. Отсюда выполнение условия (3.34) для уровня алло- метрии является характерным признаком базовой переменной.

Для аллометрического уравнения неустойчивого типа х (г) = й (!) х [! — т(!)] (3.35) будем искать решения в виде (2.13) х = х, ехр [г (!) г]. Тогда характеристическое уравнение имеет вид г (~) г + г (г) = я (г) ехр [г (г — т) (~ — т) — г (/) !]. Используя неравенство (3.21), получим оценку решений уравнения неустойчивого типа снизу: г(г) г+ г(!) > й (/) ехр [ — г(г) г]. (3.36) Перепишем (3.36) с учетом неравенства (3.22) 0> г(1) г > — г(!)+ й(г) ехр[ — г(()(], откуда г (!) > й (!) ехр [ — з (г) г]. (3.37) В разделе 3.1 было показано, что в случае равенства в выражении (3.37) появляются псевдоположнтельные корни при йт = = (3/2)п (см.

3.2). Для этого же значения йт выполняется неравенство (3,37). При этом, согласно (3.9), гт = 1.293... Тогда г//г = 2 . 1.293/(Зп) или а (Г) = й (1) ° 2 1.293/(Зп). (3.38) Это равенство выполняется в критической точке, за которой идет режим колебаний с экспоненциально растущей амплитудой. А. В.

Жирмунскпя, В И Кжьмии т.хох а 11 е ттг ,е ей роз. рнс. 2й. Схема форх|нровання последовательных аллометрнчесьпх днапавоаов устончнвого (1) н неустон сового (В) тнпов Значение аргумента в этой точке обозначим, как и раньше, 1,. Умножим правую и левую части (3.38) на 1, и подставим в (2.13). Тогда х,/хо- ехр([2 1.293/(Зц)]й(1,)1,). Для аллометрического режима следует й(1) = В/1 и х./хо ) ехр ([2 1.293/((Зп)] В). (3.39) С другой стороны, оценка решений уравнения неустойчивого типа сверху дается уравнением аллометрического роста без запаздывания: х = (В/1) х. Из (3.39) и (3.40) получим ехр ([2 1.293/((Зп)] В) ( х./хо -'а- (1./1о)в или после сокращения на В— 1,/1о ) ехр [2 1.293/(Зп)], (3.41) По мере уменьшения т отношение возрастов в двух последователь- ных критических точках асимптотически стремится к величине './1о = ехр [2 1.293/(Зп)] = 1.316 ..

(3.42) Таким образом, два последовательных аллометрнческих режима устойчивого и неустойчивого типов при малых запаздываниях перекроют диапазон возрастов, определяемый произведением соотношений (3.33) и (3.42), т. е. 1./го=15 154 ' 1 316= 19 943 (3,43) ,'рис. 25) (Кузьмин, 1985). Откуда х= А(а и траектории этого уравнения не будут превосходить чистого аллометрического режима, т. е.