Kriticheskie_urovni_1 (А.В. Жирмунский, В.И. Кузьмин - Критические уровни в развитии природных систем), страница 15

х./хо ~~ (1./1о) . (3. 40) 3.3. Критические уровни моделей экспоненциального развития Известно, что при постоянных внутренних и внешних условиях развитие происходит по экспоненциальному закону, В разделе 3.1 показано, что при изменении характеристик системы в некотором диапазоне внутренних и внешних условий развитие также остается экспоненциальным, если выполняются определенные ограничения на параметры процесса, описываемого уравнением развития. Введем безразмерный аргумент 1/10 = О.

(3.44) Тогда для степенной зависимости получим х = А)о О = А~О Введем новую переменную п т)=!пО, (3. 45) которая также безразмерна. Тогда х =- А, ех р т), т. е. получена экспоненциальная зависимость. В связи с тем что для аллометрического процесса устойчивого типа, согласно (3.33), соотношение возрастов в двух последовательных критических точках О„ ~ е', получим т). = !и О,(е, (3. 46) Условие критического режима (3.27) в этом случае имеет вид х(1.) 1.=1, п его подстановка в (3.18) приводит к отношению х„/хо = 1/е, (3.47) т. е.

в критической точке, где 1, =т и выполняется условие критического режима (3.27), отношение размеров в двух последовательных критических точках равно е. Отметим, что выражения (3.8) и (3.27) соответствуют широко используемому в теории размерностей эмпирическому правилу, в соответствии с которым в окрестности критической точки величина т. е. для экспоненциальной функции соотношение аргументов в последовательных критических точках не превосходит е.

Представим некоторые соображения по проверке соотношения (3.46). Рзссмотрим уравнение развития устойчивого типа (3.17), когда реализуется критическая точка, в которой запаздывание равно возрасту системы, т. е. 1, =т. Тогда характеристическое уравнение (3.20) для критической точки перепишется в виде 2 (1 ) 1„+ е (1,) = /е (1,) ехр [2 (1,) 1,]. безразмерной переменной имеет порядок единицы (Мигдал, 1975). Показано (Эшби, 1962; Гурецкий, 1974), что для развития систем с запаздыванием характерно включение механизмов регуляции (адаптации к новым условиям развития) с периодом, равным времени запаздывания. Это соответствует известному способу оценки критических состояний, при котором в критической ~очке величина запаздывания близка к возрасту системы (Паташинский, Покровский, 1975). Динамику релаксаций часто считают экспоненциальной функцией времени (Дей, 1974).

Для процессов с экспоненциальным изменением запаздывания со временем т = т»ехр(га). Откуда в соответствии с (3.47) т./тз = е и из условия равенства запаздывания аргументу в критической точке г,/1, = е, т. е. воспроизводится соотношение (3.46). Отсюда последовательность критических значений аргументов можно представить последовательностью 1»=е1» и 8=0, 1, 2, ..., (3.48) где я — номер критической точки. Если аргументом является воз- раст системы, значение 1, характеризует критический возраст (или критический рубеж).

Таким образом, для экспоненциальных про- цессов развития систем критические значения аргументов отстоят друг от друга так, что их отношение постоянно и равно е. Число Непера как критическое хорошо известно и широко ис- пользуется в теории и практике моделирования.

Так, при модели- лета ровании роста с использованием уравнений Берталанфи и Го мертца отношение предельного размера к размеру в точке перегиба равно е (Мина, Клевезаль, 1976). Содержательность этих моделей, очевидно, связана с тем, что в них критический характер соо н ш- ния м р то сразмеров развивающейся системы в е раз представлен самим видом используемой зависимости.

х «Постоянные времени» вводят как величины, когда изучаема я ма ии арактеристика убывает в е раз (Гинкин, 1962). В теории инфоации известно, что максимум помехоустойчивости получается, когр да вероятность равна е-' (Шеннон, 1963). Этот результат согла- суется с обшимн свойствами функций типа энтропии, которые на- зывают степенно-показательными (Савелов, 1960). отн Еше одна область, где величина е фигурирует как критическа, я, тносится к построению иерархических структур из большого числа однородных элементов.

Идеальной по времени распространения ин- формации является иерархия с модулем, равным е (Флейшма, 1971), В ). В целочисленном варианте это соответствует троичной н, 68 структуре, находящей широкое распространение в линейных иерархиях (Обэр-Крие, 1973). Для процесса неустойчивого экспоненциального типа в критической точке 1, = т из отношения (3.42) следует 8. = 1./1« = 2 ' 1. 293/Зп или в соответствии с (3.5) (3.8) и (3.9) 2 1.293/Зн=ехр( — 1.293), откуда 8, = 1,/1» — — ехр ( — 1.293) = 1/3.644.

(3. 49) Значит, отношение возрастов (значений аргументов) в двух последовательных критических точках для экспоненциального процесса неустойчивого типа равно 3.644... Полный диапазон для лары процессов устойчивого и неустойчивого типов составляет в этом случае 1./1,=ехр2.293 ... =9.905... (3.50) Таким образом, полный диапазон пары процессов устойчивого и неустойчивого типов близок к изменению возрастов в критических точках на порядок. 3.4. Иерархия критических констант В разделе 3.3 рассматривалась иерархия процессов развития.

При этом последовательность моделей иерархических уровней получалась путем введения зависимостей темпов роста (илн величин относительных приростов от времени — аргумента процесса), т. е. для экспоненциального роста — темп постоянный, для аллометрического режима — обратно пропорционален возрасту (аргументу процесса), для огибающей аллометрических режимов — обратно пропорционален 11п 1 и т, д, Модель экспоненциального типа является описанием характеристик развития на нижнем уровне, аллометрическая модель появляется как огибающая процессов экспоненциального типа при убывающих темпах, аналогично происходит агрегирование последовательности моделей аллометрического типа.

В разделе 3.1 было показано, что уравнение развития (2.4) обеспечивает возможность экспоненциального изменения характеристик системы в области, ограниченной соотношением вида и=а/т, (3.51) где константа а = 1.293„, (3.9) для процесса неустойчивого типа и а = — 1 для процесса устойчивого типа (3.16). Отсюда при реализации процесса развития в окрестности критической границы (3.51) х = (а/т) х.

69 г„э )льЪть Ф Лг В резуль~ате агрегирование происходит указанным выше способом за счет того, что в процессах экспоненциального типа с падаю- щими темпами соблюдается равенство 7 кС З т= Ь|А Отсюда х = (и/Ь1!) х = (В/г) х, т. е. возникает аллометрический режим.

Последовательность алло- метрических режимов характеризуется равенством т = Ьз! !и Г, гз к 1~).~1~1 откуда пх огибающая получается как реализация процесса в окрестности критической границы г/х/т/! = (и/(ЬзГ 1п Г)] х, т. е. запаздывания предыдущего уровня формируют в уравнении развития функцию /з(!) последующего уровня. Таким образом, иерархия моделей развития, в которой за первый уровень будем считать равномерный процесс, последовательных критических уровней имеет вид 4(х,/ й = й,х, (! — Ы), т/хз/т/т = (Вз/Г) хз (т Ьз ! и Г) г/ха/т(! = 1Вч/(г)и !)] ха (т' — Ьа! !п ! !и!и т), где х, (! = 1,2...) — размер системы на уровне иерархии Ь Будем измерять время в длительностях характерного элементарного процесса на нижнем уровне иерархии !о, О= /1,.

Тогда, согласно функциям, являющимся аргументами процессов на разных иерархических уровнях, существует пороговое значение относительного возраста развивающейся системы, начиная с которого включается соответствующий иерархический уровень. Так,экспоненциальные процессы начинаются с нулевого момента времени развития (значения аргумента). Аллометрические процессы включаются с О = 1, огибающая аллометрических режимов, определяемая временем 04 = !п 1и О, включается с 0 = е. Следующий уровень развития запускается при О = е' и т.

д. Можно заметить, что запуск процесса на данном уровне иерархии происходит при значении безразмерного времени, определяемом критическим отношением возрастов (значений аргумента) в двух последовательных критических точках на уровне, находящемся по отношению к рассматриваемому через один вниз. Так, критическое соотношение в е раз между последовательными критическими возрастами характерно для экспоненциальных процессов ( . 6), и оно включает процесс, являющийся огибающей аллометрических режимов развития. Соотношение е' (3.33), характерное 70 Рнс. 26.

Зависимости аргументов процессов с убывающими относительными прнростами от безразмерного времени пля различных уровней иерархии. точки включения уровней иерарянн определяются значением безразмерного времени, прн котором Т З,П вЂ” экспоиеициальнмй процесс, Ьц — аллометрический процесс, ТУ и У вЂ отибаюптпе аллометряческия процессов. для процессов устойчивого аллометрического типа, запускает развитие на уровне, отстоящем от аллометрического через один уровень и т. д.

(рис. 26). Таким образом, в процессах развития систем формируется иерархия структурных уровней, которая характеризуется критическими отношениями для процессов устойчивого типа, определяемыми в зависимости от уровня иерархии рекуррентным соотношением М» — — ехргэ!» „Ь= О, 1, 2 ..., (3.53) где А㻠— отношение между возрастами (значениями аргумента) в двух последовательных критических точках. Назовем эти значения критическими константами. Для процессов устойчивого типа Л'о —— = О, откуда последовательность критических соотношений по уровням иерархии имеет вид, приведенный в табл.

2. В соответствии с выражениями (3.42) и (3.48) для процессов неустойчивого аллометрического и экспоненциального типов критические константы появляются на уровне экспоненты и определяются начальной критической константой Фо=ехр( — 1.293 ...). Следовательно, весь период развития разбит на стадии. Переход от стадии к стадии происходит скачком, характеристики которого фиксируются в изменении скорости экспоненциального роста, либо 7! Отношение между зизчеииямн аргументов в последовательных критических точках. Мй Уровень иерархии. включаемый Уровень иерархии, й Нзименовзнне уровня иерзрхни при Ленном отношении Таблица 3 0 1 е ее ее е Равномерный Экспонента Аллометрия Огибаюшая алло- метрий Удельная производительность, и Вид змбрионельный рост постзмбрио- нзльный рост всего Севрюга Шука Курица Мышь Крыса Морская свинка Свинья Человек 2.2 1.8 9.5 8.9 13.7 13.6 15.7 21.0 17.2 15.3 3.8 2.3 4.3 2.3 4.9 3.3 19.4 17.1 13.3 11.2 18.0 15.9 20.6 24.3 и = ~ [В(Г)/1[И, ! (3.54) 73 72 Таблица 2 Критические константы для процессов устойчивого типа и относительные возраста включения уровней иерархии параметра аллометрии, либо параметра огибающей аллометрий и т.