XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 11

Поэтому и(а, у) К(а, р) М(а) = р(а) = Л р(а) где Л может быть определено по одной из формул: если о, ф. О, если ф„ф О. Аналогично $3 Инхеграаьное преоереэование на о'»резке где Таким образом, выражение Ж16) — У~а), входящее в правую часть уравнения (5.8), выражается через правые части граничных условий, а само уравнение содержит лишь одну неизвестную функцию с»'(р, р), определенную на множестве Оо хР. Пример 5.2. Круглый однородный стержень длиной Е с теплоизолированной боковой поверхностью имеет постоянную вдоль длины начальную температуру Х„. На концах стержня поддерживается постоянная температура То и 7». соответственно.

Требуется найти температуру стержня в зависимости от времени 1, 1 > О, и координаты стержня ~, О < х < А. Данная физическая постановка приводит к одномерной математической модели: гди + г д~ дг»г и(х, 0) = Т„, и(0, ~) = То, и(Х,1) = Т~. Уравнение теплопроводности, входящее в зту задачу, подчиняется условиям 1)-4) по переменной г: 1см 5.2). При зтом яд и Е1я = аг —, д сг Мо =То, Уь = 7ь. ди Хо~и) = —, д1 а=О, ео = 0 К~6, р) если йь ф О, оь —., И,И если».»ь ф О. Рь 5 Интегральные преобразования Отсюда, имея в виду, что а1~ = а~„61 = с1 = О, находим весовую функцию а'„(з1) — Ь1 (м~) (Ь1 ац (а~) р(т) = ехр и получаем р(ж) = а11р(а') = а2 и д(ж) = — с~ р(х): — О.

Задача Штурма — Лиувилля (5.1О) для ядра интегрального преобразования сводитс» к следующей: — а — =Р К, 0<а< Х , д'К д~з К(о;р) =О, К(Х„р) = О. Общее решение для дифференциального уравнения„входящего в задачу (5.13), имеет вид к (т, р) = с1 ы с<и (-и) + ср ы нп (-г), и мы, используя граничные условия, находим пса Ржав Ф ~титл~ Е(х, р„) = С(р„) ип ~ — ~ „и = 1,2, Функция С(р„) определяется из условия нормировки и равна С(в„) = ~/27Х. Окончательно получаем 2 . ать К~х,р ~ т — агап ( — ), в= 1,2, Х Х, $.3. Интегральное преобразование на отрезке Изображение неизвестной функции ц(ж,Ф) ищется но фор- муле уравнение (5.8) принимает вид что вместе с начальным условием + ГУО - (-Ц"'Ч Формула обращения (5,11) в нашем с)1учае приводит к окончательному ответу и~х,~) = — ) — )т„— то — ~-1)"(т„— тле ( т ) ~+ я а у тигй~ + ~То — (-1)"7Ц ип ~ — ~, Ф > О, О < я < А.

Полученная формула при $ -+ +ос приводит к установившемуся распределению температур йп ~™ (5.14) полученным из исходного начального условия в результате интегрального преобразования, приводит к задаче Коши для функции У относительно переменной Ф, Решение полученной задачи Коши дает решение исходной задачи в изображениях 5. Интегральные преобраэования 110 Это распределение на самом деле имеет линейную зависимость н (х? ='Га+%, — То) —, Л' а формула (5.14) представляет собой разложение этой линей- ной функции в ряд Фурье на отрезке (О, Ц по синусам кратных углов.

~ Й связи с рассмотренным примером отметим два момента. Во-первых, использованный метод решения — это новая интерпретация известного метода разделения переменных для уравнения теплопроводностн. Во-вторых, полученное решение представлено в виде ряда, сходящегося относительно нормы пространства А~~О, Ц. При этом равномерной сходимости на отрезке ~О, Ц нет, так как полученный ряд сходится в точках О и Х, к О, а не к значениям То и Т~„как следовало бы. Это значит, что сумма полученного ряда в указанных точках разрывна, чего при равномерной сходимости не могло бы быть. Эта неприятность объясняется тем, что начальные и граничные условия не согласованы, и функция и(х, Ф) при поставленных условиях не может быть непрерывной по совокупности переменных в точках (О, О) и (Ь, О).

5.4. Интегральное преобразование на полуограниченном или неограниченном интервале Если интервал (а,Ь) изменения переменной х1 является неограниченным либо слева (а = — оо), либо справа (Ь = +ос), либо с обеих сторон, то стандартные граничные условия Ш рода на обоих концах интервала поставить уже нельзя. Та же ситуация наблюдается, если интервал (а,Ь) ограничен, но на одном нли обоих концах коэффициенты а11, Ь~, с~ оператора Ь1 имеют особенности.

В описанной ситуации поставленная нами задача Штур ага†Лирвилля для ядра К(х~, р) интегрального преобразования ЬА. Полуограничениий или неограниченный интервал 111 М(+со) = 11п~ Ф(х1) = 1пп р(ж1) Щи(, д); К(., рЦ(ж1) = О. (5,15) Это требование необременительно, так как оно выполняется, например, если и(ж1,р) -+ О при ж1 — ) +оо, а ядро К(ж1,р) ограничено. Мы будем рассматривать решения и(ж~, у), для которых и(,р) Е Х 1а,+со), но тогда функция и(ж1,р), как правило, является бесконечно малой в +со. Поставим задачу Штурма — Лиувилля для ядра К(ж~, р) интегрального преобразования дК(~„у) И~1) +йх1)К(ж1,р) = М~1)К(~ьр), (5.16) где Л = р2 (в дальнейшем для удобства мы будем использовать вместо р параметр Л и писать К(ж1,Л) ).

Для использования известных результатов (см. 3) модифицируем задачу (5.16) при помощи замены трансформируется в свой сингулярный вариант, а вопрос существования интегрального преобразования решается на основе полученных результатов (см. 3). Сначала рассмотрим случай полубесконечного интервала, 1а,+со). Предположим, что по переменной х1 в точке а поставлено условие Ш рода (5 9).

Тогда, предполагая, что ядро интегрального преобразования К(ж1, р) удовлетворяет в точке а соответствующему однородному условию, мы можем, как и в регулярном случае, определить Ф(а). Поэтому, чтобы уравнение (5.8) не зависело напрямую от функции и„достаточно выполнения условия 5.4 Полуограниченный или неограниченный интернал 113 где есть интегральное преобразование функции Дх) с ядром К(х, Л) и весом р(х), а е® вЂ” это спектральная функция задачи (5.17), (5.18).

Условия (5.19) равносильны условиям К(а,Л) = о„ вЂ” (а, Л) = ~3„ дК дх1 и мы получаем окончательный результат. Теорема 5,1. Пусть а11,61,с1 Е С~'~~а,+со), а11(х) > О при х Е ~а, +оо). Если К(х, Л) — рещение задачи (5.17),(5.20), то для любой функции Дх) Е Б~Р1а, +оо) определено изображение Дх) К(х, А)р(х)<Ь интегрального преобразования с ядром К и весом р. При этом имеет место формула обращения где о(А) — спектральная функция задачи (5.16). 4~ Напомним, что спектральная функция определяется однозначно, только если дифференциальное уравнение в задаче (5.16) имеет решения, не принадлежащие Е~~~а, +оо).

В противном случае определено однопараметрическое семейство спектральных функций. 5. Интегрмьние преобразования Приыер 5.3. Найдем интегральное преобразование, ядро которого определяется задачей д~К +ЛК=О, х)О, Для этой задачи р(х) = — 1, д(х) = — О, а = О, а„= 1, ф, = = Н, р(х) = — 1. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид К(х, Л) = А(Л) сон(хЛ) + В(Л) в1п(хъ~Л), и с учетом условий (5.2О) получаем Н К(х, Л) = сое(рх) + — ип(рх), Р где р = «IЛ вЂ” значение и верхней полуплоскости С.

Для вычисления функции Вейся — Титпчмарша найдем также функцию 1 . Цх, Л) = Н сон(рх) — — ип(рх). р Региекие Вей,фя, принадлежащее ХР[О, +со), с точностью до множителя, зависящего от Л, имеет вид и(х, Л) = ~(х, Л) + ти(Л) К(х, Л) или после преобразования по формулам Эйлера Н+ — + т(Л) 1 —— Н вЂ” — + и(Л) 1+— 6.4. Палуограииченннй или неограниченный интервал 115 Так как е'" ~ Ьг~О, +со), в чо время как е '~~ ф А~~О,+ос), заключаем, что Н вЂ” — + т(Л) 1+ — = О, откуда ш(Л) =,, р= Л.

1+ урн И вЂ” р~ ' Через функцию Вейля — Титчмарша по теореме 3.7 находим спектральную функцию, имеющую различный вид в зависимости от знака Н. Если 0 > О. то Нп(Л) = я(цг .+ Л) НЛ, Л>0, О, Л<0. Прямое интегральное преобразование имеет вид ~(Л) = У( ) соя(хъ~Л) + — я1п(х ~/Л) Л 4х, (5.21) обратное— Переходя от параметра Л к р = Я, получаем смешанное пре- образование Фурье и соответствующее ему обратное преобра- эование: +со Л Цр) = Я(х) соя(рх) + — яп(рх) сЬ, 0 р +СО Дх) = — ЦЛ) Н . соя(рх) + — яп(рх) р 2 Ир. (5.23) рг+ О Б.

Интегральные ареобрааяаанил Если Н < О, то функция ш~Л) имеет в точке Л = -Н~ полюс с вычетом, равным 2Н~1+Н~). Формула прямого преобразования (5.21) сохраняется. В точке Л = — Н2 получаем +ею Г~ — Н ) = ЯхЯсоа~чНх) — т е1п(аНх)]сЬ = о Дх) е ах. Обратное преобразование имеет следущий вид: Г~Л) с сов(хЛ) + — в1п~хЛ) «/Л ~~х) =— — 2Г( — Н )Не р'Ф~ р2+ Н р 2за) Н .

сон~рх) + — е1п(рх) Для построения интегрального преобразования на бесконечном интервале ( — оо,+ос), как и на полубесконечном ~а, +ос) с особой точкой а или на конечном ~а, 6) с двумя особымн точками а и 6 оператора Е1, используется двусторонняя задача Штурма — Лиувилля. Интегральное преобразованне приводит к двум изображениям, определенным в верхней полуплоскости С (которые можно рассматривать как единое иэображение, заданное и в верхней полуплоскости, и в нижней). Эти два иэображения определяются двумя ядрами К1 ~х, Л) и Кр(х, Л). Обратное преобразование задается магрицей иэ четырех спектральных функций двусторонней задачи Штурма — Лиувилля.

Опуская детали по интерпретации результатов (см. 3.4), сформулируем окончательный результат. Переходя от А к р, получаем форыулу (5.22) для прямого преобразования и формулу для обратного преобразования: 5.4. Полуо1'раничениый или иеограничеиный интервал 117 Теорема 5.2. Пусть а11,Ь1,с1 б С1Ц( — оо,+оо), причем а11(х) > О при х Е (-оо,+со). Если К1(х,А) и К1(х,А)— решения дифференциального уравнения д дК вЂ” Р— +дК = Л~1К, дх дх удовлетворяющие граничным условиям К (о,А)=1, — (а,А) =0 дК1 дх Кг(а,Л) = О, юг (5.26) — (а,Л) = 1, дх то для любой функции Дх) е Хр(-оо,+оо) определены изображения +со Г;(Л) = Ях)К (х, Л)р(х)сЬ интегральных преобразований с ядрами К1, Кг и весом р.

При зтом имеет место формула обращения а=1,у=1 где (е;~(А)) — зто матрица спектральных функций соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. ф Отметим, что матрица спектральных функций определена однозначно, если дифференциальное уравнение (5.24) имеет на интервалах (-оо, а) и ~а, +со) решения, не принадлежащие Х р(-оо, а~ и Х,Яа, +оо) соответственно. В противном случае образуется одно- или двухнараметрическое семейство таких матриц. 5. Интегральные преобразования Пример 5.4. Найдем интегральное преобразование, ядро которого удовлетворяет дифференциальному уравнению да ~..